Лекции по математическому анализу I-го семестра для факультетов к, б.

Лектор: Осколков В.А.

Множества.

Def.1 Множество–это наиболее общее понятие высшей математики – некоторый набор различных объектов.

Обозначаются большими буквами А,B,С,X... Элементы множеств -a,b,c,x..

Если А=B,то эти множества состоят из одинаковых элементов,

aA  aB , A={1,2,3},B={1,3,2}  A=B , {1,1,2,3} - не множество.

Операции над множествами.

1) Операция взятия подмножества (выделение):

AB - А является подмножеством множества В

аАаВ, (ABBA)  A=B (можно писать АА)

- пустое множество ,по определениюА

2. Операция объединения множеств:

(AB ):= (cA  cB) c AB

2. Операция пересечения множеств:

(AB) := (c  Ac B) c  A  B

2. Операция разности множеств:

A\B = те элементы в А которые в В не содержатся

Множества бывают конечные и бесконечные (с конечным и бесконечным количеством элементов).

Способы задания множества.

1. Перечисление A = {1, 2, 3, …, 10000}

2. C помощью задания общего свойства

A = {a: } – в это мнножество входят те элементы а, которые обладают свойством

Отображение множества функции.

Def.1 Пусть заданы два множества А В и пусть заданы два правила f и пусть

каждому элементу хА ставится в соответствии элемент уВ (хАуВ)

Тогда говорят , что на множестве Азадана функцияпринимающая значение на множестве

В или функция f отображает множество А на множество В . При этом множество А называется областью определения функции.Элемент у соответствующий элементу х называетсяобразом элемента, а элемент х соответствующий у -прообразомэлемента.

Примеры : f:AB , f:xy , f:xf(y) илиx:f(y).

Элемент ух обозначается f(х) и называетса значением функции в т. х

Классификация функций.

Def1 Пусть САoбразоммножества С при отображении f:АВ называется

следующее множество:f(С)={yB/ xC : y=f(x)}

f(A) - область значений функции.

Def.2 Пусть заданоDB иf:AB . ПрообразоммножестваDпри отображении f называется f^-1 (D):= {xA/y=f(x)D } .

Def.1 Отображение f:XY – сюръективное(отображениена) еслиY=f(x)

те дляухХ: y=f(x)

Def.2 Отображение f:XY - инъективноеесли дляx₁ , x₂ Xиx₁  x₂

f(x₁ )f(x₂ )

Def.3 f:xY – биективное,если f- сюрьективное и инъективное

f:XY - биекция,yY !x:y=f(x) xy , y=f(x) x=f^-1 (y)

Пример: y=x^1/2 (R, {0})(R,{0})

Пусть :y=f(x) f:XY , z=f(y) g:YZ g₀ f:XZ , g₀ f(x):=g(f(x)) , (x,y):y=f(x) - график функцииy=f(x).

Cравнение множеств.

1. A,B aA , bB A и B равномощны (AB),если для f:AB , является биекцией.

Def.1 A - счетноемножество,еслиAN:={1,2,3,...,n,...} , A:={a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ,...}

Th.: A, B - счетные множества AB - cчетно.

A={a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ,...}

B={b₁ ,b₂ ,b₃ ,...,b_n ,...}

AB={a₁ , b₁,a₂ , b₂,a₃ , b₃,...,a_n , b_n ,... } 

Cледствие: A₁ ,...,A_n - счетные множества A₁ ...A_n - cчетное множество.

Пусть k=1,тогдаA₁ - счетное множество,kk+1 (A₁ ...A_k )=B - cчетно

A₁ ...A_k  A_k+1 =BA_k+1 Итак,объединение любого кончного числа - счетное множество

Th. A₁ ,...,A_n ,...- счетное множество  A₁ ...A_n ... =:U_n=1^ A_n - cчетно.

A₁ ={ a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , .…, a_1n , …}

A₂ ={ a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , ..., a_2n , …} будем вычеркивать повторяющиеся элементы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A_m ={ a_m1 , a_m2 , a_m3 , ..., a_{m n} , …}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

[0;1]:={x:0x1}A[0;1] - континуум