Раздел 1: Математическое моделирование управляемых систем

1.Понятия об управляемых системах.

Под управляемой системой обычно понимается любая совокупность математических объектов, на поведение которой во времени можно влиять выбором целенаправленных внешних воздействий. Возможность такого выбора отличает управляемую систему от неуправляемой.

Математически управляемая система характеризуется двумя параметрами. К первой группе относятся все те параметры, которые определяют параметры системы. Их совокупность обычно обозначают через x,yилиz.В качестве х может фигурировать любой набор обобщённых координат и обобщённых импульсов системя. В этом случае х можно рассматривать как элемент конечного евклидова пространства. Для других случаев х может оказаться элементом какого-либо функционального пространства. Однако в каждом случае совокупность этих параметров должна однозначно определять состояние рассматриваемой системы. Её поведение во времени характеризуется функциейx=x(t). При этом важно отметить, что для различных систем целесообразно считать время, изменяющимся непрерывно или дискретно.

Если x– конечномерный вектор евклидова пространстваEⁿ , то функцияx=x(t) при непрерывно изменяющемся времени определяет некоторую линию вEⁿ . Её называют фазовой траекторией системы. Иногда этот же термин используется и в том случае, когдаtпринимает дискретные значения или когдаxявляется элементом функционального пространства. Процесс перехода системы из одного состояние в другое состояние иногда называют переходным процессом. Однако этот же термин используется для характеристики реакций управляемого объекта (системы) на внешнее воздействие в виде единичного ступенчатого сигнала.

Вторая группа параметров (их совокупность обычно обозначают через u) определяет внешнее управляющее воздействия. Их называют рулями, (управлениями) или управляющими параметрами. Поведение рулей во времени определяется функциейu=u(t). Тип управляемой системы зависит от того, каким конкретным пространствам параметрыxиu, какова зависимость между функциямиx=x(t) иu=u(t) и какие (непрерывные или дискретные) значения может принимать числовой параметрt. Пара (x(t),u(t)) называется управляемым процессом. [стр. 5-6]

2. Принципы управления. Основная задача теории управления.

Если существует какой то объект управления, то для него должны существовать какой то сигнал на входе u(t) и сигнал на выходеx(t). Ещё существуют системы программного управления и системы по принципу обратной связи.

Создание реальных систем управления неизбежно связано с решением целого комплекса разнообразных задач. Одни из них являются чисто инженерными ( выбор материала для различных элементов системы, определение средств защиты от коррозии и помех и т.д. ) вместе с тем возникают и теоретические вопросы, для решения которых следует применять математические методы.

Математический анализ управляемой системы требует прежде всего создания математической модели. При этом требуется не только получить уравнения движения ( поведения) системы, но и дать достаточно полное описание целей управления и разнообразных ограничений, предъявляемых к системе и к её модели.

После того как завершено математическое описание, необходимо исследовать управляемый процесс с целью поиска того поведения системы, которое удовлетворяет поставленным целями ограничениям. Итогом такого исследования обычно является получение управления в виде u=u(t,x(t)). Подставляя его в уравнение движения системы, получим уравнение замкнутой системы относительно фазовой переменнойx. Эти уравнения должны быть дополнительно исследованы на предмет поиска периодических решений, устойчивости, непрерывной зависимости решений от параметров и т.д. Для простых систем некоторые из этих вопросов решаются по интуиции или перебором различных разумных вариантов. Тем не менее все эти задачи специфичны и возникают, как правило, при исследовании управляемых систем. Лишь после выполнения таких исследований специалист по теории управления может дать заключение по конструированию или эксплуатации системы.

Таким образом, основные задачи математической теории управления состоит в математическом исследовании специфических задач, связных с сознанием и эксплуатацией управляемых систем. [стр.16]

3. Математическое описание управляемых систем. Основные требования к математическим моделям.

Объектом исследования в теории является управляемая система, а математика- средство (причём основное) для решения разнообразных задач этой теории. Поэтому в каждом конкретном случае для применения математических методов необходимо дать математическое описание объекта или, как говорят, требуется составить его математическую модель.

Прежде всего следует заметить, что технические системы управления обычно являются довольно сложными устройствами, динамика которых описывается дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, краевыми задачами математической физики или функциональными уравнениями. Достаточно полное описание процессов может быть получено лишь на основе глубокого знания соответствующих законов (физики, механики и т.д.), определяющих поведение системы.

Поэтому каждый математик, приступающий к составлению модели того или иного конкретного управляемого процесса, должен вникнуть в содержательную суть задачи и работать в постоянном контакте со специалистом, предложившим эту задачу. Разумное сочетание инженерной интуиции и математической строгости в анализе явления составляют основу обоснованного выбора математической модели.

На практике объекты с распределёнными параметрами приходится изучать при создании и эксплуатации систем управления, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы, высокочастотные электрические элементы и устройства и т.д.

Управляемый процесс с распределёнными параметрами может быть описан краевыми задачами для дифференциальных или интегро-дифференциальных управлений с частными производными или бесконечными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Требования предъявляемые к допустимым управлениям, в этом случае остаются в основном теми же, что и для непрерывных систем с сосредоточенными параметрами. Основные сложности в этом случае возникают при определении тех достаточных условий, при выполнении которых каждое допустимое управление определяет единственное решение краевой задачи, описывающей рассматриваемый процесс. [стр. 16-17,21]

4. Типовые элементы системы автоматического регулирования и их характеристики.

Наиболее распространённые элементы системы автоматического управления описываются линейным обыкновенным дифференциальными уравнениями. Эти элементы обычно входят как составные части в различные измерительные и управляющие устройства. Поэтому их описание и анализ представляет определённый интерес для специалистов по теории управления.

При описании переходных процессов в различных звеньях системы обычно придерживаются определённых стандартов, чтобы облегчить анализ системы.

Эти стандарты состоят в следующем:

1) Управления звеньев записываются в скалярной форме и соответствующими преобразованиями приводятся к одному уравнению, чтобы сигнал на выходе объекта был скалярной величиной.

2) Линейные дифференциальные уравнения записываются так, чтобы сигнал на выходе объекта и его производные находились в левой части уравнения, а остальные члены- в правой части. Кроме того, принято, чтобы саам сигнал на выходе имел в уравнении коэффициент, равный единице.

Позиционные звенья такого типа описываются дифференциальным уравнением, в правой части которого m=0. простейшие из этих звеньев:

а) безынерционное звено (n=0):x=k₀u;

б) инерционное звено первого порядка (n=1):T₁x’+x=k₀u;

в) звено апериодическое второго порядка (n=2):T₂²x”+T₁x’+x=k₀u,T₁>2T₂;

г)колебательное звено второго порядка (n=2) :T₂²x”+T₁x’+x=k₀u,T₁<2T₂

Интегральные звенья. Простейшими звеньями такого типа являются:

а) идеально интегрирующее звено x’=k₀u;

б) интегрирующее звено с замедлением Tx”=k₀u;

в) изодромное звено x’=k₀u+k₁u’;

Дифференцирующее звено. Простейшие из них следующие:

а) идеально дифференцирующее звено x=k₁u’;

б) дифференцирующее звено с замедлением T₁x’+x=k₁u’;

Приведённая классификация простейших элементов системы управления не является единственной. Она опирается на форму дифференциальных уравнений, описывающих процессы в этих элементах. Однако предполагается, что эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными. [стр.47-49]

5. Качество системы автоматического регулирования.

Система автоматического регулирования, т.е. система управления, которая, во-первых, работает по принципу обратной связи, во-вторых, работает автоматически ( без участия человека) и, в-третьих, предназначена для поддержания стационарного уровня регулируемой величины. Предполагается, что на систему действуют некоторые возмущения, в результате чего регулируемая величина x(t) в некоторый момент времени (его выбирают за начало отсчётаt=0 ) не совпадает с требуемым стационарным его состояниемx_c. Величина ∆x=x(t)-x_c называется ошибкой системы.

Для её характеристики используют разнообразные показатели. Они определяют качество переходного процесса.

Современные методы анализа качества переходных процессов системах управления вообще, а в системах автоматического регулирования в частности, можно разделить на две группы. К первой группе относятся прямые методы оценки качества, основанные на непосредственном решении уравнений движения и их последующем анализе. Ко второй группе относятся косвенные методы. В их основе лежат разнообразные косвенные характеристики описывающего процесса ( распределение полюсов передаточной функции, свойства частотных характеристик и т.д. ). Те и другие нашли широкое применение на практике. [стр. 50]

6. Применение операторных уравнений.

При решении многих математических задач алгебраические, дифференциальные и иные уравнения записываются в операторной форме. Это позволяет избежать излишней детализации в анализе рассматриваемых уравнений и получать максимально общие результаты в решении уравнений, которые можно представить в такой форме. Однако операторные уравнения представляют не только теоретический интерес. В теории управления ими целесообразно пользоваться для того, чтобы применять аппарат функционального анализа для исследования различных свойств решения таких уравнений и краевых задач, которыми описан тот или иной класс управляемых систем. Это достигается тем, что рассматриваемое уравнение или краевая задача представляется как операторное уравнение в некотором функциональном пространстве. Такой способ описания имеет свои достоинства.

Особенно часто операторные уравнения используются при решении задач в теории управления системами с распределенными параметрами. [стр. 56]

7.Применение общей теории систем

Мы рассматривали системы, которые можно было описать конкретными математическими соотношениями. Это были обыкновенные дифференциальные уравнения, краевые задачи для уравнения в частных производных, уравнения в конечных разностях. Каждое из этих описаний можно рассматривать как некоторую конкретную реализацию операторного управления в некотором функциональном пространстве. И. таким образом, в каждом конкретном случае мы получаем математическую модель процесса, для исследования которого можно использовать не только аппарат конкретных уравнений, но и мощные средства функционального анализа.

Однако понятие управления и связанные с ним математические задачи являются несколько общими, что этого аппарата оказывается недостаточно, чтобы охватить все типы практически интересных и содержательных задач управления. Представляют значительный интерес системы управления, состоящие из подсистем различного типа. Одна подсистема может описываться уравнениями в конечных разностях, другая может характеризоваться набором неравенств, третья- дифференциальными уравнениями. В системе могут содержаться и конечные автоматы. Однако подсистема может описываться в чисто лингвистических терминах, не содержащих никаких математических соотношений. Всё словестное её описание может содержать лишь некоторые утверждения относительно элементов системы управления и отношения между ними. При анализе такого типа систем возникают различные задачи управления, и поэтому вполне естественно рассматривать их математические модели.

Общая теория систем представляет возможность создавать такие модели в максимально общей форме. Основой для этого служит понятие системы, определённое в теоретико-множественных терминах. [стр. 62-63]