Раздел 3: Основы теории устойчивости замкнутых систем.

1. Критерий Найквиста. Переходя к анализу задачи об устойчивости замкнутой системы, прежде всего отметим, что её решение можно получить с помощью критерия Гурвица или Михайлова. Однако, учитывая специфику замкнутой системы, естественно использовать информацию о свойствах передаточных функций W₁(p) объекта иW₂(p) управляющего устройства.

Критерий Найквиста 1. Пусть замкнутая система описывается уравнением

а уравнения

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Тогда для устойчивости замкнутой системы

необходимо и достаточно, что бы при изменении величины ω от число оборотов вектора Найквиста 1+К(iω) вокруг точки (-1,0) было равно нулю.

Годограф Найквиста:

Описывается вектором Найквиста 1+К(iω), при изменении ω от.

Если одно из звеньев замкнутой системы нейтрально, и его характеристическое уравнение имеет только один корень с нулевой вещественной частью ( причём этот корень простой), а другое звено асимптотически устойчиво, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы полное число оборотов Sвектора 1+К(iω) около точки (-1,0) по ходу часовой стрелки при изменении ω отудовлетворяло условиюS+1/2=0.

Критерий Найквиста 2. Пусть разомкнутая система нейтральна, а корень с нулевой вещественной частью её характеристического уравнения имеет кратность n.

Тогда для того чтобы замкнутая система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы полное число оборотов Sпо ходу часовой стрелки вектора 1+К(iω) около точки (-1,0) при изменении ω отудовлетворяло условиюS+n/2=0.

Критерий Найквиста 3. Пусть характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет один корень кратности nс положительной вещественной частью, и этот корень являетсяn-кратным полюсом функции

.

Тогда необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости замкнутой системы является выполнение равенства S+n=0, гдеS- полное число оборотов по ходу часовой стрелки вектора 1+К(iω) около точки (-1,0) при изменении ω от.[стр.132, 134-135, 139-140, 142, 144]

2. Устойчивость специальных нелинейных систем.

Системы автоматического регулирования и управления обычно представляют собой достаточно сложные устройства. Входящие в них регуляторы предназначены для поддерживания заданного режима работы объекта управления. Поэтому система должна быть сконструирована таким образом, чтобы все отклонения от заданного режима работы объекта, возникающие в системе, с течением времени стремились к нулю. Иначе говоря, такая система должна быть асимптотически устойчива. Это обстоятельство играет решающую роль в том, что значительная часть теории устойчивости к анализу специальных систем, имеющих непосредственное отношение к управлению реальными объектами. Такие применения были источником новых идей и методов, которые послужили основой многочисленных и весьма плодотворных исследований в теории устойчивости. [стр. 144-145]

3. Применение функций Ляпунова.

Вопрос об устойчивости замкнутой системы с заданными численными значениями её параметров решается сравнительно просто применением критерия Найквиста. Однако в теоретических исследованиях возможности этого критерия весьма ограничены. В частности, в ряде случаев с его помощью затруднительно строить область устойчивости системы в пространстве её параметров. Для решения таких задач целесообразно пользоваться вторым методом Ляпунова. [стр. 152-153]