Раздел 2: Основы теории устойчивости.

В отличии от той главы, в этой главе мы будем заниматься специфическими задачами, возникающими при исследовании конструируемых и функционирующих систем управления. К ним прежде всего относятся задачи теории устойчивости, существования периодических решений и автоколебаний. Решение таких задач, как правило, получается на основе качественного анализа переходных процессов.

Отмечая важность этих вопросов в теории управления, следует иметь в виду, что получаемые при таком анализе результаты относятся обычно к конкретным системам или переходным процессам в них. Они не связанны с задачами выбора управляющего воздействия или типа управляющего устройства на основе того или иного критерия качества. Иначе говоря, при решении, например, вопроса устойчивости предполагается, что управляющее воздействие в системе задано и нужно характеризовать свойствами системы при выбранном управлении. [стр. 71]

1.Линеаризация нелинейных систем

Исследование нелинейных систем автоматического управлении является довольно сложной задачей, так как отсутствуют достаточно общие методы решения дифференциальных, интегро-дифференциальных и других нелинейных уравнений, которые описывают поведения таких систем. Поэтому приходится пользоваться различными косвенными или приближёнными методами. Многие из них достаточно полно разработаны и широко используются на практике.

В частности, ряд вопросов, связанных с анализом управляемых нелинейных процессов, решается путём предварительного анализа соответствующих уравнений первого приближения. Именно поэтому велика роль уравнений первого приближения в общей теории управляемых систем. [стр. 81]

2. краткая характеристика нелинейных систем автоматического управления

Механика и электротехника дают разнообразные примеры нелинейных систем, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями или краевыми задачами для уравнений с частными производными. При этом нелинейность, как правило, определяется гладкими функциями, что в значительной степени упрощает математический анализ соответствующих систем. В теории управления приходится иметь дело с системами, содержащими звенья с более сложными нелинейностями. Такая система состоит из конечного числа элементов, причём динамику большинства из них можно описать линейными уравнениями, а один или несколько элементов описывается нелинейными уравнениями.

Соответствующие нелинейности при этом далеко не всегда удаётся характеризовать гладкими функциями, что вносит значительные трудности в их математическое исследование. Расчёты таких систем, выполненные в рамках теории, дают далеко не всегда удовлетворительный результат. В итоге оказывается, что спроектированная по линейной теории, казалось бы, высококачественная автоматическая система непригодна по своим динамическим качествам. Может случится и обратное. Расчёты по линейной модели проводят к потере некоторых весьма полезных свойств, которыми обладает исходная нелинейная система. Причина такого противоречия ледит в недостаточно аккуратном учете нелинейностей.

Одним из наиболее распространённых нелинейных элементов в системах управления является электрическое реле. Характеристики релейного типа могут быть и несимметричными относительно начала координат и координатных осей. Другой довольно распространённой нелинейностью в системах управления является зазор в механической передаче любого типа. [стр. 81-82]

3.Устойчивость по Ляпунову.

Определение: Решение η(t) уравненияy’=f(t,y) называется устойчивым по Ляпунову, если для любогоε>0 существует δ(ε,t₀)>0 такое, что все решенияy=y(t) уравненияy’=f(t,y), удовлетворяющие условию ||y(t₀)-η(t₀)||_Eⁿ<δ:

а) определены на полуинтервале [t₀, бесконечности);

б) удовлетворяют неравенству ||y(t)-η(t)||_Eⁿ<ε.

Определение: Решение η(t) уравненияy’=f(t,y) называется неустойчивым по Ляпунову, если оно не является устойчивым. [стр.87-88]

4. Устойчивость линейных систем.

Для того что бы любое решение уравнения y’=A(t)y+f(t) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение уравненияx’=A(t)x.

Теорема 1: для того чтобы тривиальное решение уравнения x’=A(t)xбыло устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы любое его решение было ограниченным.

Теорема 2: Для то го чтобы тривиальное решение уравненияx’=A(t)xбыло асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, что бы любое его решение обладало свойством

. [стр. 90-92]

5. Критерий устойчивости.

Будем рассматривать вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения x’=Ax, в котором А- постоянная матрица порядкаn. Ответ на этот вопрос полностью определяется распределением корней характеристического уравнения ∆(p)=det(pE-A) на комплексной плоскостиp=α+ίβ. В частности, тривиальное решение уравнения асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все корни этого уравнения лежат в левой полуплоскости комплексного параметраp. Основная задача состоит в том, чтобы указать ограничения на элементы матрицы А, при выполнении которых все корни полинома ∆(p) располагались бы левее мнимой оси комплексной плоскостиp. Использование таких ограничений позволяет не решать характеристическое уравнение при исследовании системы на устойчивость. Более того, таким путём удаётся указать границы значений параметров системы, в которых система остаётся устойчивой. [стр. 107]