Раздел 4. Периодические решения нелинейных систем

дифференциальных уравнений.

1. Периодические решения автономных нелинейных систем.

При анализе устойчивости по первому приближению было установлено, что если система первого приближения является стационарной, то вопрос об устойчивости нелинейной системы

(1.1)

где x={x₁,...,x_n}, решается собственными значениями матрицыAв следующих случаях:

1. Все собственные значения матрицы Aимеют отрицательные вещественные части.

2. хотя бы одно собственное значение этой матрицы имеет положительную вещественную часть.

В первом случае тривиальное решение уравнения

(1.2)

устойчиво в целом, т.е. оно асимптотически устойчиво относительно произвольно больших начальных возмущений, а тривиальное решение уравнения (1.1) асимптотически устойчиво, если нелинейное слагаемое F(t,x) при этом удовлетворяет требованию

равномерно по t,

Во втором случае тривиальное решение уравнений (1.1) и (1.2) неустойчиво при том же предположении относительно функции F. [стр.165]

2. Метод гармонической линеаризации.

Разнообразные задачи управления линейными системами приводят к необходимости применять управление по принципу обратной связи. Главная его особенность состоит в том, что управляющее воздействие в каждый момент времени выбирается в зависимости от состояния системы. Тогда управляющее устройство может оказаться нелинейным элементом, и, следовательно, вся система, состоящая из объекта управления и этого устройства, оказывается нелинейной. Примером такого типа системы является специальная нелинейная система вида

(2.1) .

полагается что функция f(σ) может быть нелинейной. Еслиf(σ) (рис 4.2.1) кусочно-линейная, то система (2.1) остаётся нелинейной за счёт того, чтоf(σ) имеет характеристику, состоящую из кусков прямых линий. Однако в этом случае её уравнение движения невозможно представить так, чтобы нелинейность характеризовать некоторым малым параметром, а следовательно необходимы иные методы решения этой задачи. Здесь мы рассматриваем метод гармонической линеаризации. Аналогичная ситуация будет в случае, когдаf(σ) является кусочно-постоянная функция (рис 4.2.2)

Заключение. Методы построения периодических решений нелинейных систем позволяют получить решения приближённо практически с любой точностью. Все они основаны на последовательном использовании соответствующим образом подобранных линейных систем уравнений. {стр. 173-174]

Раздел 5. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость.

1. Управляемость линейных нестационарных систем.

Теорема Леви. Если М- полное подпространство в Н, то для любого элемента xпринадлежащего Н существует однозначное представлениеx=y+z, гдеyпринадлежит М, аzортогонально М. при этом очевидно, что ||x||²=||y||²+||z||².

Теорема Рисса. Линейный ограниченный функционал f, определённый на всём гильбертовом пространстве Н, однозначно представим в видеf(x)=(u,x), где элементuпринадлежит Н однозначно определяется функционаломf. [стр. 187]

2. Управляемость линейных стационарных систем.

Теорема. Линейная стационарная система вполне управляема на отрезке 0≤t≤Tтогда и только тогда, когда матрицаW={B,AB,...,A^m-1B} имеет ранг равныйn. [стр.203]

3. Наблюдаемость и идентифицируемость линейных систем. Принцип двойственности.

Управление системой может выполняться по программе или по принципу обратной связи. Для практической реализации управления по принципу обратной связи необходимо знать состояние системы в каждый конкретный момент времени. Однако обычно оказывается, что не все фазовые координаты системы доступны изменению. Поэтому естественно рассмотреть вопрос о возможности полного описания поведения фазовых координат систем по результатам неполного наблюдения.

Теорема. Для того что бы система ибыла вполне наблюдаемой на отрезке 0≤t≤T, необходимо и достаточно, чтобы вектор функцииh¹(t),...,hⁿ(t) были линейно независимы на этом отрезке.

Принцип двойственности. Для того чтобы система была вполне управляемой (вполне наблюдаемой), необходимо и достаточно, чтобы системабыла вполне наблюдаемой (вполне управляемой).

Следствие. Для того чтобы линейная система ибыла идентифицируемой, необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы

был равен n. [стр. 204-205, 209, 211]

4. Свойства вполне управляемых стационарных линейных систем.

Теорема 1. Пусть линейная система вполне управляема и- произвольный многочлен с векторными коэффициентами. Тогда существует векторk={k₁,...,k_n} такой, что системаимеет φ(λ) своим характеристическим полиномом.

Теорема 2. Если система вполне управляема, то для каждого полиномасуществует матрица К такая, что ψ(λ) является характеристическим полиномом уравнения[стр. 219, 223]

5. Асимптотические идентификаторы

Определение. Линейная динамическая система, входом которой является называется асимптотическим идентификатором системы, если

Теорема . Пусть задана линейная идентифицируемая стационарная система . Тогда можно построить её асимптотический идентификатор с произвольно заданным набором собственных чисел λ₁,...,λ_nматрицыA-lc*( комплексные числа, очевидно, могут входить в этот набор только попарно сопряжёнными).[стр.225-226]

5. Адаптивное управление.

Рассматривая различные задачи, мы исходим из того, что об управляемом объекте имеется полная информация в том смысле, что полностью определена его математическая модель. В частности, при анализе конечномерных линейных систем предполагалось, что процесс описывается уравнением гдеf(t) иu=u(t) характеризуют входные воздействия, а матрицыA(t) иB(t) считают известными. ЗаданиеA(t) иB(t) полностью определяются объектом управления.

Однако оказывается, что во многих практически важных случаях следует отказываться от этого предположения. Нужно рассматривать задачи управления при условии, что структура математической модели уточняется в процессе управления путём использования пробных управляющих сигналов. Таким образом, в подобных ситуациях управляющее воздействие не только для достижения какой-либо заданной цели управления, но и для уточнения математической модели управляемого объекта. При этом математическая модель должна, очевидно, уточняться лишь в той минимальной мере, в которой это требуется для достижения поставленной цели управления.

Оказывается, что подобный подход целесообразно использовать, опираясь на идеологию управляемых случайных процессов, задаваемых, например, семейством условных распределённых вероятностей, зависящих от управления. Неопределённость задания объекта состоит в том, что семейство условных вероятностей содержит неизвестные параметры или функции. Класс семейств условных распределений ограничивается указанием возможных процессов изменения этих параметров или функций.

Алгоритм адаптивного управления опирается на информацию о состоянии управляемого процесса, поступающего по каналам обратной связи, и обеспечивает достижение заданной цели управления каждым объектом класса, хотя остаётся неизвестным, каков в точности объект-элемент этого класса. Следовательно, заданный алгоритм можно считать алгоритмом адаптивного управления лишь тогда, когда указаны цель управления и класс К управляемых объектов таких, что этот алгоритм приводит к выбранной цели каждый объект из выбранного класса.

В процессе адаптивного управления оценка параметров производится на основе наблюдения за поведением объекта. Оценки могут быть статистическими, и поэтому без ущерба для достоверности результата нельзя заранее указать продолжительность оценивания.

Отсюда следует необходимость ставить задачу адаптивного управления на неограниченном интервале времени. К этому же следует добавить, что момент времени, начиная с которого объект оказывается близким к назначенной цели управления, определяется будущей эволюцией объекта, и его наступление не может наблюдаться. Отсюда вытекает принципиальный вывод о том, что любой наблюдатель не может утверждать, что рассматриваемая адаптивная система управления к какому-то моменту времени уже исчерпала свои возможности адаптации, и управление объектом с этого момента нужно выполнять, опираясь уже на иные принципы и цели.

Главное содержание математической теории адаптивного управления состоит в выводе достаточных условий адаптивности управления. При этом не только доказывается существование алгоритма адаптивного управления, но и приводится их описание для различных классов объектов и целей управления. Необходимые условия существования адаптивного управления известны лишь для необходимого числа случаев.

Теория адаптивного управления посвящена использованию и разработке методов решения классов задач, связанных с созданием и эксплуатацией систем управления различного типа. Поэтому её можно рассматривать как один из важных разделов общей теории управления. [стр. 243-244]

6. Краевые задачи.

Задачи для волнового уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе называются смешанными задачами. Краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями приx=0 иx=lодного рода, а смешанной краевой задачей будет называться задача для волнового уравненияс начальными ( или финальными) условиями и краевыми условиями приx=0 иx=lразных родов.

Для волнового уравнения (1)

С начальными условиями (2)

Или финальными условиями (3)

Сформулируем краевые задачи.

Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условию (1) вQ_l,T, начальным условиям (2) (финальным условиям (3)) на сегменте [0,l] и краевым условиям- это условия первого рода.

Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условию (1) вQ_l,T, начальным условиям (2) (финальным условиям (3)) на сегменте [0,l] и краевым условиям- это условия второго рода.

Третья краевая задача с начальными (финальными) условиями. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условию (1) вQ_l,T, начальным условиям (2) (финальным условиям (3)) на сегменте [0,l] и краевым условиям- это условия третьего рода.

Смешанная краевая задача {i,j} с начальными (финальными) условиями. Найти функциюu(x,t), удовлетворяющую условию (1) вQ_l,T, начальным условиям (2) (финальным условиям (3)) на сегменте [0,l] и краевым условиям i-го рода приx=l, гдеi,j=1,2,3.

[стр. 365]