Лекции МГУ / EM11

Рис. 11.2. HRTEM изображение кластера Eu в матрице кристалла SiC.

3

Рис. 11.1. Предостережение. Глазам своим – доверяй, но проверяй!

Лекция 11

ФАЗОВЫЙ КОНТРАСТ

ПЭМ высокого разрешения (ВРПЭМ или HRTEM). Контраст кристаллической решетки. ВРПЭМ в многопучковой геометрии (on-axis). Элементы теории изображения. Функция передачи. Некоторые особенности ВРПЭМ в LEO-912AB. Контраст муара (moiré patterns). Трансляционный и ротационный муар. Примеры использования контраста муара. Френелевский контраст. Контраст стенок доменов. Лоренцевская просвечивающая электронная микроскопия (ЛПЭМ). Френелевский контраст от пор, газовых пузырей.

Разделение контраста на дифракционный и фазовый, как это прокламировалось в Л9, достаточно условно. Фактически мы видим фазовый контраст всякий раз, когда в изображение дает вклад не один , а больше пучков. Фазовый контраст появляется как результат присутствия разницы в фазе выходящих электронных волн. Т.к. эта разница очень чувствительна к небольшим изменениям во многих факторах, толщина, структура, состав образца, фокус, астигматизм и т.д. в оптической системе микроскопа, то это создает

определенные трудности в интерпретации и может приводить к ошибочным выводам. Комической иллюстрацией этого является изображение «двухголового носорога» на рис. 11.1, чего, как мы знаем, не бывает. На самом деле – это удачно сделанная фотография рядом стоящих носорогов [38].

ПЭМ высокого разрешения

(ВРПЭМ или HRTEM).

Контраст кристаллической решетки.

Двумерное изображение

с высоким разрешением (HRTEM или здесь ВРПЭМ) кристаллической решетки является классическим примером фазового контраста. Пример изображения с высоким разрешением приведен на рис. 11.2 (ВРПЭМ изображение кластера Eu в матрице кристалла SiC).

Рассмотрим основные особенности формирования контраста, изображающего кристаллическую решетку. Используя приближение 2-х пучков с конечным вектором отклонения sg, запишем (7.8) как

	ψ = ϕ0(z)exp(2πkIr) + ϕg(z)exp(2πkDr)			(11.1)
	где kD = kI + g + sg = kI + g'.			(11.2)
	Полагаем ϕ0(z) = А, а exp(2πkIr) выносим за скобки, выражение для ϕg
представляем в виде
	ϕg = B exp(iδ)			(11.3)
где, согласно Л7,			В = (π/ ξg) sin[πtseff ] /( πtseff )	(11.4)
и	δ = π/2 - πtseff .			(11.5 )
Тогда,
ψ = exp(2πkIr)[A + Bexp(2πig'r + iδ)]				(11.6)
Интенсивность может быть выражена как
	I = A2	+ B2	+ AB[exp(2πig'·r + iδ) + exp(-2πig'·r - iδ)]	(11.7)
	I = A2	+ B2	+ 2ABcos(2πg'·r + δ)	(11.8)
Поскольку g' почти перпендикулярно пучку (и параллельно х), то с учетом (11.5)
	I = A2	+ B2	- 2ABcos(2πg'x - πst)	(11.9)

Т.о., интенсивность осциллирует с периодичностью 1/g' в направлении, параллельном g', и зависит от s и t.

	В частности, когда s=0 и задействованы
	только два пучка 0 и g, тогда g' = g и мы
	увидим интерференционные полосы как на
	рис. 11.3А, с периодом 1/g = d [2]. Эта
	периодичность будет оставаться той же
	самой независимо от того, как 0 и g будут
Рис.11.3. Схематичное изображение	располагаться относительно оптической оси,
контуров дифрагирующих	т.е. даже если дифрагирующие плоскости не
плоскостей (а) в геометрии	параллельны оптической оси.
наклонного пучка (б) и в on-axis-	На рис. 11.3б показана идеальная геометрия
геометрии (в).
	для получения изображений, таких как 11.3а.

Геометрия называется геометрией наклонного пучка (см. рис. 5.14в). При этой геометрии s=0, плоскости параллельны оптической оси, но не параллельны пучку.

4

Если же мы используем геометрию, изображенную на рис. 11.3в (on-axis), то плоскости ориентированы вдоль пучка, но s≠0, и мы должны рассматривать вклад трех рефлексов, -G, 0, G.

Если образец не абсолютно плоский, тогда s будет варьироваться вдоль изображения, даже если в ДК s=0, оно не будет равно нулю всюду. Если s≠0, то контуры плоскостей сместятся на величину, которая зависит от значения s и t, но периодичность не изменится сколько-нибудь существенно. Однако, вариации s будут отражаться в изображении, характеризуя контуры изгибов образца и контуры толщины.

Рис. 11.4. Схема многопучкового ВРПЭМ-изображения.

Если пучок сориентирован параллельно низкоиндексной оси зоны, тогда можно будет видеть контуры линий в направлениях, соответствующих набору рефлексов в ДК, рис. 11.4. Расстояния между линиями в ВРПЭМ обратно пропорционально удалению соответствующего рефлекса от нулевого. Такое ВРПЭМ-изображение называют многопучковым. Нужно иметь ввиду, что в общем случае, нет прямого соответствия между набором рефлексов и положением атомов в кристалле. Не следует

Рис. 11.5. ВРПЭМ-изображение кремния (см текст).

принимать полосы в ВРПЭМ за изображения атомных плоскостей (см. рис. 11.1)!

На рис. 11.5. приведено ВРПЭМ изображение Si (а) с проекцией Si-структуры (б) и ДК с очертанием использованной апертуры (в) [39,40,2,41]. На а) видны очертания, напоминающие гантелеобразные связи между атомами кремния, расположенных в

		проекции на расстоянии в 0.14 нм друг
		от друга. В использованной апертуре
		было 13 рефлексов (в). Действительно, в
		изображении расстояние в «гантели»
		соответствует 1.3 нм, и, таким образом,
		получается, что расстояние в «гантели»
		соответствовало	плоскостям	(004),
	Рис. 11.6 ВРПЭМ –изображение	которые, однако,	не участвовали в
	интерфейса шпинель/оливин	формировании изображения. К тому же,
		точечное разрешение в ПЭМ составляло

5

лишь ~2.5 нм. Т.о. наблюдаемое изображение не могло содержать «гантели» 1.3 нм. Объяснение состояло в том, что «гантели» в изображении были связаны с наложением пересекающихся полос {113}[40].

Рис. 11.7. Дислокации на гетеропереходе InAsSb/InAs

Рис. 11.9. Преципитаты TiN в α-Fe.

Рис. 11.8. Граница зерна в Ge.

Учтем урок: мы знали, что изображение не соответствует структуре лишь потому, что хорошо знали саму структуру! Еще раз:

Контуры плоскостей - не есть прямое изображение структуры, они лишь дают информацию о межплоскостном расстоянии.

С учетом этого, ВРПЭМ – наилучший используемый метод исследования локальной структуры и ориентации. На рис.11.6-9 приведены примеры ВРПЭМ, не требующие сложных расчетов для интерпретации [42,2,21]. Однако, очень часто

Рис. 11.10. ВРПЭМ SiC.

6

интерпретация ВРПЭМ-изображений требует интенсивного компьютерного моделирования. Пример такого изображения приведен на рис. 11.10 для ВРПЭМ SiC. Существенная информация была получена с помощью ВРПЭМ по квазикристаллам. На рис. 11.11 показаны в качестве примера ВРПЭМ изображения квазикристаллов Al-Li- Cu c пятикратной (а), трехкратной (б) и двукратной (в) симметрией [43].

Рис. 11.11. ВРПЭМ изображения квазикристаллов Al-Li-Cu c пятикратной (А), трехкратной (В) и двукратной (C) симметрией.

Элементы теории изображения

Поскольку изображение передается не точечным образом, то изображение g(r) в точке r будет суперпозицией многих точек r' на образце, с весом h, убывающим с ростом (r - r'). Это обобщенно можно записать как свертку функции образца f(r') с функция взвешивания h(r - r').

g(r) = ∫f(r')h(r - r')dr' = f(r') h(r - r'),

(11.10)

Знак означает свертку, а функцию h(r) еще называют функцией отклика.

Как любую действительную функцию, g(r) можно разложить в ряд Фурье:

g(x,y) = Σux,uyG(ux,uy)exp[2πi(xux + yuy)]	(11.11)
g(r) = ΣuG(u)exp[2πi(u·r)]	(11.12)

Здесь u – вектор обратной решетки или пространственная частота для данного направления, а G(u) называют Фурье-трансформантой функции g(r). Аналогично, можно определить Фурье-трансформанты F(u) функции f(r) и H(u) функции h(r). Воспользовавшись свойством Фурье трансформант, свертку в реальном пространстве заменяем на произведение в обратном пространстве. Т.е.

G(u) = F(u) H(u)

(11.13)

7

Факторы, влияющие на функцию H(u): апертура Æ апертурная функция A(u), ослабление волн Æ пакетная функция E(u), аберрация линз Æ аберрационная функция

B(u). Т.о.

H(u) = A(u)E(u)B(u).

(11.14)

Функцию B(u) обычно выражают через χ(u)

B(u) = exp[iχ(u)],

(11.15)

которая зависит от дефокусировки ∆f, длины волны λ, и от коэффициента сферической аберрации Cs (см. Л3):

χ(u) = π ∆fλu² + (1/2)π Csλ²u4.

(11.16)

Оптимизация приведенных функций и параметров микроскопа необходима для получения наилучшего пространственного разрешения. При этом образцы делают как можно тоньше, чтобы рассеянием электронов и динамическими эффектами можно было пренебречь. Функция образца f(x,y) может быть выражена как амплитуда F(x,y) помноженная на фазовый множитель,

f(x,y) = A(x,y)exp(-iφt(x,y)).

(11.17)

Для единичной амплитуды A(x,y) = 1, фаза, а стало быть и функция образца будет зависеть от проектированного потенциала Vt(x,y), определяемого как

Vt(x,y) = ∫0t V(x,y,z)dz

(11.18)

В кинематическом приближении и учитывая малость потенциала по сравнению с энергией электрона, фаза выходной волны будет

f(x,y) = exp[-iσ Vt(x,y) - µ(x,y)],

(11.19)

где σ = π/(λE) – т.н. параметр взаимодействия, стремящийся к постоянной с увеличением энергии, µ(x,y) – учитывает поглощение. Образец рассматривается как «фазовый объект», а использованное приближение – приближением фазового объекта (ФОП). Если образец очень тонкий, то поглощением пренебрегаем, т.к. σ Vt(x,y)<< 1, то

f(x,y) = 1 - iσ Vt(x,y).

(11.20)

Это приближение называют приближением слабого фазового объекта (СФОП). С учетом СФОП получаем

С учетом (11.20) и согласно (11.10) регистрируемая волновая функция приобретает вид

ψ(x,y) = [1 - iσ Vt(x,y)] h(x,y).

(11.21)

Если представить h(x,y) как cos(φ(x,y)) + isin (φ(x,y)), тогда

ψ(x,y) = [1 + σ Vt(x,y)] sin (φ(x,y))

8

Рис. 11.12.

Идеальная форма функции передачи.

- iσ Vt(x,y) cos(φ(x,y)).

(11.22)

Тогда интенсивность дается выражением

I = |ψ|² ≈ 1 + 2σ Vt(x,y) sin (φ(x,y)

(11.23)

Зная этот результат, можно утверждать, что в СФОП только мнимая часть B(u) в уравнении (11.15) дает вклад в интенсивность, т.е. можно положить B(u) = 2sinχ(u).

Функция передачи

Определим функцию передачи T(u), тесно связанную, но не идентичную H(u):

T(u) = A(u)E(u)2sinχ(u).

(11.24)

Игнорируя пакетную функцию (поглощения) E(u), имеем

T(u) = 2A(u)sinχ(u),

(11.25)

где функция χ(u), называемая функцией фазового искажения, определяется дефокусом, аберрацией (см (11.16)), а также астигматизмом, который, однако, может быть скорректирован и, поэтому, здесь не учитывается.

По виду функции передачи T(u) можно заметить, что контраст имеет осцилляторный характер: имеются «полосы» с хорошей передачей, разделенные «щелями», где передача отсутствует. Когда T(u) отрицательна, то возникает положительный контраст при котором атомы выглядят более темными, чем фон, когда T(u) положительна, то возникает отрицательный контраст, при котором атомы выглядят яркими на темном фоне, когда T(u) = 0, то контраст отсутствует для этих значений u.

Идеальная функция передачи была бы константой, рис. 11.12. С другой стороны, T(u=0) =0, что вполне разумно, т.к. малые u≈0 соответствуют большим размерам образца.

Важно то, чтобы u1, при котором Т вновь обращается в нуль, было как можно более высоким. На самом деле χ(u), и, следовательно, Т(u), достаточно сложная кривая, зависящая от дефокусировки, ∆f, энергии (λ),от коэффициента сферической аберрации Cs и т.д., см. (11.16)., и имеющая несколько точек с χ(ui) = Т(ui) = 0. Существенным является то, что манипулируя дефокусировкой, можно, в какой-то мере, управлять значением u1. В частности, Шерцер заметил, что функция передачи можно соптимизировать, сбалансировав эффект сферической аберрации отрицательным значением дефокусировки ∆f. Соответствующее значение дефокусировки выбирается из условия пологой зависимости χ(u), т.е. dχ/du=0, в наибольшем интервале значений u. Если χ=0 или π, то sinχ. Разумно выбрать χ вблизи -120º. Вот исходя из этих условий, dχ/du=0 и χ = - 2π/3 (= -120º) и определяется значение дефокусировки Шерцера:

∆fSch = -1.2 (Csλ)1/2 . (11.26)

9

Некоторые особенности ВРПЭМ в LEO-912AB

Ход лучей в LEO912AB изображен на рис. 11.13 [1]. Для минимизации энергетического разброса в системе освещения в

LEO912AB (Boersch effect), ход лучей в режиме ВРПЭМ выбирается исходя из минимума промежуточного изображения кросовера (CO). СО формируется в передней фокальной плоскости в апертуре σ>= 1.25mrad верхней секции объектных линз (OPF - objective prefield lens) без промежуточных изображений. Используются линзы только C1 и

Рис. 11.13. Диаграмма лучей в режиме ВРПЭМ в LEO-912AB. (AIS Mode –

режим автоматической системы освещения с селекцией апертуры).

C3(С2 не работает). В режиме автоматической настройки освещения (AIS) в ВРПЭМ используется C2 и только 0-

апертура (AIS 0, рис. 3.4, Табл.3.1).

ВРПЭМ изображение кристалла Si, Рис. 11.14. ВРПЭМ изображение полученное на LEO912АВ приведено на рис. кристалла Si, полученное на LEO912АВ. 11.14.

	Контраст	муара		(moiré
	patterns).	Трансляционный			и
	ротационный муар.
	Контраст	муара	возникает		за
	счет интерференции			структур	с
	близкими	периодами решеток.
	Имеются два типа муара,
	трансляционный и ротационный,
Рис.11.15. Трансляционный (а) и ротационный	природа			которых
	иллюстрируется		рис.	11.15 [20,
(б,в) муар.	44].

В трансляционном муаре (а) плоскости с близкими периодами параллельны, значит g1 и g2, тоже параллельны.

10

Наложение двух векторов в обратном пространстве дает результирующий вектор (рис. 11.16а)

Рис. 11.16. Связь g-векторов в трансляционном (а) и ротационном (б) муаре.

gtm = ∆g = g2- g1.

(11.27)

В реальном пространстве этому вектору gtm будут соответствовать биения с периодом

dtm = 1/gtm = 1/(g2- g1) = [1/(g2g1)]/ [1/g1 – 1/g2)]

= d2d1/(d1 – d2) = d2/(1 - d2 /d1) (11.28)

Аналогично, в ротационном муаре, рис. 11.15б,в

drm =1/grm =1/[2gsin(β/2)] =d/[2sin(β/2)] (11.29)

И в общем случае, рис. 11.16б:
dgm = d1 d2/ [(d1 – d2)² + d1d2β²]1/2.	(11.30)

Примеры использования контраста муара

Рис. 11.17. Инвертированная ДК от пленки NiO на Ni (а) и схема трансляционного муара (б), поясняющая слабые рефлексы.

Картины муара использовались интенсивно в исследованиях с ПЭМ, в частности, для идентификации дислокаций в ПЭМ со скромным разрешением. В последнее время, интерес снова возрос в связи с развитием тонкопленочной технологии роста на различных подложках. Необходимо помнить, что муар является результатом интерференции двух систем плоскостей

и совсем	не	обязательно,	чтобы
соответствующие		кристаллы	были в
контакте.

В ПЭМ картина муара соответствует интерференции пары пучков g1 и g2. Если в верхнем кристалле возбуждается пучок g1, а в нижнем - g2, то каждый луч g1 в нижнем кристалле ведет себя как падающий пучок и вызывает соответствующие для второго кристалла рефлексы, как изображено на рис. 11.17 для NiO/Ni образца [2]. На рис. 18а показано изображение с контрастом на границе двух слегка разориентированных зерен. Возникающее при этом несоответствие приводит к образованию массива периодически расположенных дислокаций (левая часть), и, вместе с тем, к возникновению картины муара (правая часть) [2].

Картины муара часто воспринимаются как увеличенное изображение структуры материала. Они, в частности, используются для исследования дислокаций, рис. 11.18а. Можно сформировать изображение, содержащее информацию о дислокациях, связанных с краями плоскостей, например на интерфейсах, и содержащихся только одном из сопряженных на интерфейсе материалов. При этом, сами дислокации, также

11

как и плоскости не видны, виден лишь муар, увеличивающий реальную картину.	Рис.
11.18б иллюстрирует это на примере CoCa, выращенной на подложке	GaAs.

Рис.11.18. а)WBDF-изображение дислокаций малоугловой межзеренной границы в Si с контрастом от массива дислокаций (правая часть) и ротационного муара (правая часть), б) выявление дислокаций с помощью контраста муара.

Интерфейс (001) параллелен поверхности. Однако, детали этого изображения во многом обманчивы, т.к. небольшая разориентация плоскостей приводит к существенному изменению периодичности муара. Требуется детальный анализ с максимальным привлечением доступной структурной информации.

Рис.11.19 а) Картина муара от преципитатов TiN в матрице α-Fe. б) Схема, поясняющая муар.

Еще один пример связан с формированием преципитатов. На рис. 11.19 приведена картина муара для преципитатов TiN в матрице α-Fe [21].

12