Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Если требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, …, Нn, эти несовместные события называют гипотезами, то используют следующую формулу.
Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…+Р(Вn)·РВn(А), где Р(В1)+Р(В2)+…+Р(Вn)=1 - формула полной вероятности. Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…,Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут переоценены по формулам Байеса – РА(Вi)=Р(Вi)·РВi(А)/Р(А), (i=1, 2, 3,…, n) - формула Байеса, где Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…+Р(Вn)·РВn(А).
Повторные независимые испытания, схема Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события а при повторных испытаниях.
Часто бывает, что один и тот же опыт повторяется не однократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А во всех опытах одна и та же. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется. A – некоторое событие;
A
– противоположное событие; P
– вероятность появления события A;
g – вероятность появления события
A; n – число проведенных
опытов;
K – число благоприятных исходов. Pn(K)=Ckn·pk·gn-k. Когда опыты проводятся в неодинаковых условиях, то вероятность события от опыта к опыту меняется. Число k0 (наступление события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np-g<=k0<np+p.
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения дискретной случайной величины: табличный, аналитический, графический.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее – какое именно.(число осколков, образующихся при разрыве снаряда). Если случайные величины принимают отдельные, изолированные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, то они называются дискретными случайными величинами (число попаданий при 3 выстрелах). Существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, они называются непрерывными случайными величинами (вес наугад взятого осколка снаряда). Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
|
Х |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
р |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины Х. Графическая форма закона распределения: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан аналитически (в виде формулы).
Р
Х