47. Изучение корреляционных связей: однофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

КРА заключается в построении и анализе статистической модели в виде уравнения регрессии (корреляционной связи), приближенно выражающей зависимость результативного признака от одного или нескольких признаков фактора.

Использование КРА предполагает наличие ряда предпосылок, основными из которых являются следующие:

1. Случайность и независимость друг от друга отдельных наблюдений (единиц совокупности данных).

2. Устойчивость и независимость действия отдельных факторов.

3. Постоянство дисперсии результативного признака при изменении фактических признаков.

4. Нормальное распределение признаков.

На практике перечисленные предпосылки не всегда выполняются, не смотря на это результаты КРА как правило в целом оказываются вполне удовлетворительными.

48. Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ: выбор формы связи и оценка параметров уравнения регрессии.

Для построения уравнения регрессии нужно установить теоретическую форму связи, т.е. выбрать вид функции наилучшим образом отображающий характер связи между результативным и факторным признаком.

Для описания социально-экономических явлений часто используют линейную функцию (полином первой степени):

Для оценки параметров линейных по параметру уравнений можно использовать метод наименьших квадратов МНК.

Система нормальных уравнений МНК выглядит следующим образом:

Решая ее способом определителей получим следующие формулы:

Параметр а₁ называют коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько, в среднем, изменяется величина результативного признака у при изменении факторного признака на 1.

Количественную зависимость между результативным и факторным признаком часто удобно выразить в относительных величинах. Для этого вычисляют коэффициент эластичности . Он показывает на сколько в процентах изменится величина результативного признака при изменении факторного признак на 1 % относительно своей средней.

Теоретические значения результативного признака получены с помощью уравнения регрессии в общем случае не совпадут с его фактическими значениями, т.е.: , где Е - случайная составляющая.

Общую дисперсию результативного признака у можно представить в виде суммы , где Д_уср.х - факторная дисперсия, характеризующая вариацию у только под влиянием факторного признака. Д_Е - остаточная дисперсия, характеризующая вариацию у под влиянием всех прочих причин.

Чем сильнее факторный признак влияет на результативный, тем в большей степени величина факторной дисперсии приближается к величине общей.

49. Оценка тесноты связи между признаками: индекс корреляции.

На соизмерение этих величин построим индекс корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками: , 0<n_т<1

Индекс корреляции пригоден для измерения тесноты связи при любой её форме то есть как линейной так и криволинейной. По разным функциям выравнивание значения у можно выбрать лучшую, которая даёт лучшие значения индекса корреляции, по критерию маx n_т.

50. Оценка тесноты связи между признаками: линейный коэффициент корреляции.

Частным случаем индексом корреляции является линейный коэффициент корреляции, используемый для измерения тесноты только линейной формы связи.

Его можно привести к другому виду, который дает наименьшую ошибку:

Зная величину r можно определить параметры уравнения регрессии не решая систему уравнения по формуле:

В отличии от индекса корреляции линейный коэффициент корреляции показывает не только тесноту, но и направление связи. Он может принимать значение –1< r<1.

При линейной форме связи между признаками значения индекса корреляции и линейного коэффициента должны совпасть n=r.

Не совпадение этих величин говорит о том, что между изучаемыми признаками криволинейная (не линейная) связь.

Соизмерение их значений используют для оценки формы связи. Если их разность n-r<=0,1, то гипотеза о линейной форме связи между рассматриваемыми признаками может быть принята.