6. Метод хорд.
Будем решать уравнение f(x)=0 на [a,b], таком, что f(ai)*f(bi)<0. (рис.1)
(x-a)/(b-a)=(y-f(a))/(f(b)-f(a)). В точке x=x1 y=0 x1=a-(f(a))/(f(b)-f(a)) * (b-a)
Т.е x1=a+h1 h1=-(f(a))/(f(b)-f(a)) * (b-a)
Здесь мы имеем два случая: всегда будем полагать, что вторая производная сохраняет знак f(x)>0:
1) f(a)>0 отсюда x0=b, a- непод-н
1
)f(a)<0
отсюда x0=a,
b-
непод-н
1) т.е. неподвиж. Тот конец 4 кот. Знак ф-ии совпадает со знаком f ’’ 2)последовательные приближения лежат по ту сторону где ф-ия имеет знак противоположный знаку f ‘’
7. Метод касательных.
х* - решение ур-я f(x)=0. f ’(x) и f ’’(x) – сущ-ют, непр-ны и сохраняют определенное знаки на отрезке [a,b] С помощ м-да Ньютона M уточнить найденное значение корня хn. x*=xn+hn где hn – малая величина – шаг, выч-ся по формуле Тейлора: 0=f(x*)=f(xn+hn)=f(xn)+hn f’(xn)
0=f(xn)+hn f’(xn) отсюда
h
n=-f(xn)/f’(xn)
xn+1=xn
- f(xn)/f
’(xn)
Геом-ки: f(b)>0 f’’(x)>0 т.е. f(b)*f’’(x)>0 ф-ия выгнута вниз РИС.1
Тогда x0=b y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) – касат-я. y=0; x1 xn+1=xn-f(xn)/f’(xn)
Если положить x0=a и провести кас-ю, то мы выйдем за пределы [a,b]. Т.o. начальная т. x0 должна удовл-ть условию f’(x0)*f ’’(x)>0.
8. Теорема о методе касательных.
Теорема: Если f(a)*f(b)<0, причём f’(x), f’’(x) <>нулю и сохраняют определенные знаки на [a,b], то исходя из начального приближения x0[a,b], удовлетворяющего условию f’(x0)* *f’’(x)<0 можно выч-ть единственный корень с любой степенью точности.
Д-во: Пусть f(a)<0, f(b)>0 /внутри корень/ f’(x)>0 /возраст/ f’’(x)>0 /вогнута вниз/ f(b)*f ’’(x) >0 отсюда выбираем приближение x0=b.
Докажем, что все приближения xn>x*, т.е. f(xn)>0. Очевидно, что x0>x*. Пусть xn>x*. Представим х* в виде: х*= xn+(x*-хn) по ф-ле Тейлора 0=f(x*)=f(xn)+f ’(xn)(x-х*)+(1/2)*f”(xn)(xn-x*)2
Пусть х*<cn<xn (средняя точка). По условию теоремы f’’(x)>0 для всех х, поэтому f(xn)+f’(xn)(x-x*)<0 отсюда xn+1=xn-f(xn)/f ’(xn) >x*
Т.о. получаем последовательность такую, что х=limn-xn , где х- приближенное значение корня Ур-ния. Можно найти приближенное значение как угодно близко к точному решению.
Замечания: 1) В качестве исходной точки х0 выб-ся тот конец отрезка [a,b] в котором отвечает ордината того же знака, что и знак f’’(x).
2) Если ф-я y=f(x) вблизи корня имеет большую кривизну, то по формуле Ньютона удобно выч-ть корни, если это не так, то польз-ся методом не рекомен-ся.
Оценка: |x*-xn|<=|xn-xn-1|
9. Видоизмененный метод Ньютона.
Если производная мало изм-ся на [a,b], то можно предположить, что f ’(xn)f ’(x0) то xn+1=xn-f(xn)/f ’(x0)
Геом-ки: на каждом шаге будем проводить не касат-е, а прямые парал-е первой касат-й. В этом случае значение производной вычисл-ся только на первом шаге. (РИС.1)
10. Комбинированный метод.
f(x)=0 [a,b] f(a)*f(b)<0 значит в есть корень Имеем 4 случая:
1) f ’(x)>0 (возр-т, вогн вниз) f ’’(x)>0
2) f ’(x)>0 f’’(x)<0 3) f ’(x)<0 f ’’(x)>0
4) f ’(x)<0 f’’(x)<0
Рассмотрим только первый случай т.к. остальные случаи, либо свод-ся к нему либо аналогичны.
x*(a,b) x0=a, x0=b
xn+1/хорды/=xn-f(xn)*(xn-xn) /(f(xn)-f(xn))
xn+1/ньютона/=xn-f(xn)/f’ (xn) // x*(xn,xn)
Если допустимая погрешность задана и =, то как толькоxn-xn< то процесс закан-ся, за решение ур-я удобно взять среднее ариф-е: x*=(xn+xn)/2