19. Метод скорейшего спуска решения линейных систем.

т.е. f=Ax-b=0

x^(k+1)=x^(k)- _k A^T r_k где

r_k = Ax^(k)-b – невязка линейной системы

20. Формула трапеций.

Вычисляем площадь крив-й трапеции

Разобьем отрезок [a,b] на n-равноотстоящих узлов.

[x₀,x₁]… [x_n-1,x_n] y_i=f(x_i) S_тр=(a+b)*h/2

21. Нахождение остаточного члена в формуле трапеций.

Рассм-м остаточный член для первого звена,

а остальное просуммируем. Предположим, что ф-я f дважды непр-на диф-ма, тогда получим ф-ю

Продиф-м по h

R’’(h)=1/2y’(xo+h)-1/2y’(xo+h)-h/2y’’(xo+h)= -h/2y’’(xo+h); R(0)=R’(0)=R”(0) Для этого выражения ошибки равны нулю.

Проинтегрируем по h и use теорему о среднем

c₂(x₀,x₀+h)

c₁(x₀,x₀+h) - остаточный член (ошибка)

Если y’’(c)>0 то формула трапеций задает интеграл с избытком.

Если y’’(c)<0 то с недостатком. Эту формулу можно распространить на весь промежуток (a,b):

Рассм-м сред-е арифм-ое:  - заключено между наиб-им и наим-м значениями y’’ на (a,b) m₂<=<=M₂ Т.к. y’’ непре-на на (a,b) то она принимает все промежуточные значения между m₂ и M₂. Поэтому найд-ся точка с: с[a,b]. На практике 1) вычисл интеграл с шагом h ошибка R=Mh² 2) интеграл с 2h R=M4h² =>I_h=Σ_h+Rh²; I_2h=Σ_2h+4Mh²

22. Формула Симпсона. Число шагов дел-ся на 4 иначе вычислить Σ с шагом 2h невозможно

h=(b-a)/n=(b-a)/2m Через каждые три точки будем проводить параболу y=A₀+A₁x+A₂x² Чтобы парабола проходила через точки кривой (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂) необ-мо подобрать коэф-ты A₀, A₁, A₂ след-м образом

x₀=0 x₁=h x₂=2h соотв-но

/ y₀=A₀

| y₁=A₀+A₁h+A₂h²

\ y₂=A₀+2A₁h+4A₂h²

Т.к. значение h и y известны найдём А₀ А₁ А₂

A₀=y₀ A₁=(4y₁-y₂-3y₀)/2h A₂=(y₀-2y₁+y₂)/2h²

Площадь первого элемента

Подстав-я значения А₀ А₁ А₂ получим

I₁=h(y₀+4y₁+y₂)/3… I_n= h(y_n-2+4y_n-1+y_n)/3 Поэтому исходный интеграл:

- Формула Симпсона.

23. Оценка погрешности в формуле Симпсона.

Предполагаем , что ф-я y непр-на и трижды диф-ма, запишем ошибку в виде:

Продиф-м эту ф-ю три раза:

с₄(x₁-h,x₁+h) Проводя аналог-е преобраз-я будем иметь :

- ошибка С_1,2,3э(x_i-h;x_i+h) Ф-ла Симпсона явл-ся точной включая многочлен третей степени.

Суммируем ошибки по всем промежуткам - можно сказать:

При выч-и интеграла как правило польз-ся двойным пересчетом:

R_h=Mh⁴ R_2h=M16h⁴ R=(h-2h)/15

I=_h-(h-2h)/15 - точное значение интеграла.

Для вычисления шага польз-ся формулой e-точность

М₄ – наиб знач 4-ой производной.

24. Метод Эйлера решения д.У.

/ y’=f(x,y) В M(x_o,y₀) проведем касат-ю до

\ y(x₀)=y₀ пересеч с прям х=х1, получим точку М₁. Ч/з точку (x₁,f(x₁,y₁)) проведем касат-ю до пересечения с прямой x=x₂ и т.д.

Получится ломанная М₀ М₁ М₂ …

которая заменяет интегральную кривую.

Аналитически этот метод выглядит след-м

образом: Нанесем сетку x_i=x₀+ih М/у т-ми x_{i и} x_i+1 исходное ур-е имеет вид: (y_i+1-y_i)/h=f(x_i,y_i).

y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i) и y₀=f(x₀) иначе / y_i+1=y_i+y_i

\ y_i=hf(x_i,y_i)