31. Ф-ла Ньютона для разностных узлов.

Δ^ку_о=у_к-ку_к-1+к(к-1)у_к-2/2!-к(к-1)(к-2)у_к-3/3!++(-1)^ку₁

Запишем эту ф-лу для значения разности в узле Хi :

Δ^кy_i=y_k+i-ky_k+i-1+k(k-1)y_k+i-2/2!++(-1)ky₁

Y_k=y_o+kΔy_o+k(k-1)Δ²y_o/2!+ +Δ^ky_o

Построим интерп-ый мн-член Ньютона N(x)=ao+a1(x-xo)+a2(x-xo)(x-x1)+a3(x-xo)(x-x1)(x-x2)++an(x-xo)(x-x1)..(x-x_n-1)

Этот мн-член Д проходить ч/з заданные узлы след-но

N(x_o)=a_o=y_o;

N(x₁)=a_o+a₁(x-x_o)=a_o+a₁h=y1; N(x₂)=a_o+2x₁h+2a₂h²=y₂

Найдем коэф-ты а_о=у_о; а₁=(у₁-а_о)/h=(y₁-y_o)/h=Δy/h; a₂=Δ²y_o/2h²

Cлед-но кажд коэф-т имеет вид a_k=Δ^ky_o/k!h^k

N(x)=yo+Δyo(x-xo)/h+Δ2yo(x-xo)(x-x1)/2!h2+ +Δⁿy_o(x-x_o)(x-x₁)..(x-x_n-1)/n!hⁿ или (х-хо)/h=q =>

N(x)=y_o+qΔy_o+Δ²y_oq(q-1)/2!++ Δⁿy_oq(q-1)..(q-n+1)/n!

Этот мн-член явл-ся Интерпол мн-членом Ньютона при n=1 будем иметь формулу линейного интерполирования y≈y_o+y₁-y_o(x-x_o)/h в случае 2х узлов имеем квадратичное интерполирование y≈y_o+y₁-y_o(x-x_o)/h+y_o-2y₁+y₂(x-x_o)(x-x₁)/2h2

Мн-ен ньютона use в случаях равностоящих узлов h=x_i+1-x_i /шаг/ при определении зн-ий ф-ии в неизвестной точке удобно в качестве Хо ближайший узел интерполирования тогда соответствующее слагаемое задаст основное значение, а остальные поправку.

32.Приближенное дифф-ние. Постановка краевых задач. Имеем ф-ию в у(х) заданную в раноотстоящих т-ах. Запишем м-член Ньютона 4 этой ф-ии:

y(x)=y_o+qΔy_o+(q(q-1)Δ²y_o)/2!+q(q-1)(q-2)Δ³y_o/ /3!++ для нахождения производ Ф-ии будем искать производ этого мн-члена q=(x-xo)/h; h=x_i+1-x_i y(x)=y_o+qΔy_o+(q2-q)Δ²y_o/2!+ (q3-3q2+2q)Δ³y_o/3! +(q4-6q3+11q2-6q)Δ⁴y_o/4!+...

нужно вычислить dy/dx; dy/dx=dy/dq*dq/dx=1/h*dy/dq

y’(x)=1/h(Δy_o+(2q-1)Δ²y_o/2+(3q2-6q+2)Δ³y_o/3! +(4q3-18q2+22q-6)Δ⁴y_o/4!)

аналогично вычисляется производ любого порядка. Иногда надо найти производ ф-ии в основных табличных т-ах Хi,тогда производ-я выглядит след-щим образом: y’(xo)=(Δy_o-Δ² y_o/2+Δ³y_o/3-Δ⁴y_o/4+) ошибка вычислений ищется по ф-ле Лагранжа, аналогичной ф-ле остаточн члена в р-де Тейлора

Разностные схемы. Y’’=f(x,y,y’) при y(a)=A y(b)=B Краевые усл-ия МБ заданы иначе. Геом-ки это означает,что интеграл. Кривую прох-ую ч/з 2е зад.т. В нек.случаях краевые усл-ия сводятся к заданию значений произв-х на концах отрезка,т.е. Н найти такую интеграл. Кривую,кот в зад. точках проходит под известным углом.

33.М-д Конечных разностей.

y’=(y_i+1-y_i)/h

y’’=(y’_i+1- y’_i)/h=((y_i+2-y_i+1)/h-(y_i+1-y_i)/h)/h=(y_i+2 -2y_i+1+y_i)/h²

для нахождения произв 1го пор-ка Н знать значения в 2х узлах. 2го пор-ка в 3х узлах. Разностная схема:1) разбиваем [a,b] точками а=хо,х1,х2,х3,,хн=b 2)y’i=y_i+1-y_i-1/2h 3)y’’_i=y_i+1-2y_i+y_i-1/h2 4)y’_o=y₁-y_o/h; y’_n=y_n-1-y_n/-h

ДУ 2го пор-ка. y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) при зад-ных условиях:ά_оy(a)+ά₁y’(a)=A; β_oy(b)+ +ά₁y’(b)=B; |άo|+|ά1|≠0 |βo|+|β1|≠0 иначе сис-ма решений не имеет. Вычислить значения Х в узловых точках: исходная сис-ма:

(Y_i+1-2y_i+y_i-1)/2h+p_i(y_i+1-y_i-1)/2h+q_iy_i=f_i (1)

p,q,f-знач коэф-ов в т.Хi. ά_оy_о+ ά₁(у₁-у_о)/h=A (2)

β_oy_n+β1(y_n-1-y_n)/-h=B (3) Будем решать это разностное Ур. ме-дом ПРОГОНКИ.

Из ур-ния (1): y_i+1+m_iy_i+n_iy_i-1=F”_ih² (4) где коэф-ты имеют вид: m_i=-(2-q_ih2)/(1+p_ih/2); n_i=(1-p_ih/2)/(1+p_ih/2); F”_i=F_i/(1+p_ih/2) сис-ма (4)(2)(3) явл-ся лин-ой М сос-ит из (n+1)го Ур-ния относит неизвест. yо,у1,уn. Из ур-ия (4) выразим yi: y_i=F”_ih²/m_i-1*y_i+1/m_i-n*y_i-1/m_i положим что с help сис-мы 2-3-4 из Ур-ния 5 исключена неизвестная y_i-1 тогда это ур-ние примет вид: Yi=Ci(Di-y_i+1) (6) где сиd некот-е коэф-ты. Из этого Ур-ния М записать:

Yi-1=Ci-1(D_i-1-yi) подставляя это выражение в (4) y_i=(F”_ih²-n_iC_i-1D_i-1)/(m_i-n_iC_i-1) исходя из сравнения этих ф-л: C_i=1/m_i-n_iC_i-1 D_i=F”h²- -n_iC_i-1D_i-1 чтобы выразить нулевые значения из ф-л 2и3 с учетом ф-ии из 6; yo=Co(Do-y1) Co=ά1/(άoh-ά1); Do=Ah/ά1 по этим ф-лам опред-ся Ci и Di при i=1 до (n-1) включит-но.

Обратный ход начинается с вычисления Yn затем все остальные У. В случае простейших краевых условий y(a)=A; y(b)=B, ф-ла упрощается: ά_o=1 β_o=1 ά₁=0 β₁=0 Co=0 Do=∞ C_oD_o=A; C₁=1/m₁; D₁=F”₁h²-n₁A; Y_n=B; Y_o=A