- •2. Метод Зейделя
- •4. Отделение корней.
- •5. Метод половинного деления.
- •6. Метод хорд.
- •7. Метод касательных.
- •8. Теорема о методе касательных.
- •9. Видоизмененный метод Ньютона.
- •10. Комбинированный метод.
- •11. Метод итераций.
- •12. Теорема о сходимости метода итераций.
- •13. Выбор коэф-та в методе итераций.
- •14. Метод итерации решения нелинейных систем второго порядка.
- •15. Метод простой итерации решения систем общего вида.
- •16. Метод Ньютона решения систем.
- •17. Теорема о сходимости метода Ньютона. Модиф-й метод Ньютона.
- •18. Метод скорейшего спуска решения систем.
- •19. Метод скорейшего спуска решения линейных систем.
- •20. Формула трапеций.
- •21. Нахождение остаточного члена в формуле трапеций.
- •23. Оценка погрешности в формуле Симпсона.
- •24. Метод Эйлера решения д.У.
- •24. Модиф-й метод Эйлера.
- •26. Усовер-й метод Эйлера.
- •28. Интерполирование ф-ий. Постановка задачи.
- •29. Конечные разности.
- •31. Ф-ла Ньютона для разностных узлов.
- •33.М-д Конечных разностей.
- •35. Ур-ие Лапласа в конечных разностях.
11. Метод итераций.
f(x)=0 Заменим это ур-е равносильным x=(x) и построим приближения x1=(x0) xn+1=(xn) если эта послед-ть сущ-ет и сх-ся, т.е. сущ-ет
limn-xn+1=x* то тогда x*=(x*) – решение данного ур-я, с любой степенью точности.
Геом-ки метод простой итерации выглядит след-м образом:
A0 B1 A1 B2 A2… эти точки
придут к решению.
Иначе:
Если (x) возрастает, то получ-ся лестница.
Если (x) убывает, то получ-ся спираль.
12. Теорема о сходимости метода итераций.
Теорема: Пусть ф-я (x) определена и диф-ма на [a,b], тогда если сущ-ет правильная дробь Q: |’(x)|<=q<1 для всех x[a,b] то:
1) процесс итерации xn=(xn-1) cх-ся независимо от нач-го приближения х0.
2) предельное значение limn-xn=x* явл-ся корнем данного ур-я и единственным.
Д-во: xn=(xn-1) xn+1=(xn) xn+1 -xn=(xn)-(xn-1) По т. Лагранжа:
Xn+1- xn=(xn-xn-1)’(xn) xn(xn-1,xn) тогда |xn+1-xn|<=q|xn-xn-1| выпишим это нерав-во для всех значений xn:
|x2-x1|<=q|x1-x0| |x3-x2|<=q|x2-x1||<=q2|x1-x0| … |xn-1-xn|<=qn|x1-x0|
Рассмотрим ряд x0+(x1-x0)+(x2-x1)+…+(xn-xn-1)… Для этого ряда исходные последующие приближения явл-ся (n+1)- ми частными суммами: xn=Sn+1
В силу нерав-в все члены ряда меньше соответ-х членов геометр-й прогрессии со значением q<1. Поэтому ряд сх-ся абсолютно:
Limn-Sn+1=Limn-xn=x*-точноеРеш. т.к. х*[a,b] и xn=(xn-1) то тогда х*=(xn) соотв-но решение един-но и других корней нет.
13. Выбор коэф-та в методе итераций.
Замечание: Нужно учитывать, что в ур-и x=(x), (x) должно удовл-ть условию |’(x)|<1. Этого можно доб-ся, например, таким способом: Рассм-м ур-е f(x)=0 это ур-е равносильно x=x-f(x) отсюда (x)=x-f(x), где - выб-ся таким образом чтобы 0<=1-f’(x)<=q<1 По условию задачи m1<=f’(x)<=M1 на [a,b] то =1/М1 q=1-m1/M1<1
14. Метод итерации решения нелинейных систем второго порядка.
/ F1(x,y)=0
\ F2(x,y)=0
(x,y) – решение системы
При локализации корня граф-м способом удобно эти значения принять за нулевое приближение (x0,y0). Из первого ур-я явно выразим х
запишем итерац-й процесс
/ x=1(x,y)
\ y=2(x,y)
/ x1=1(x0,y0) / x2=1(x1,y1) / xn=1(xn-1,yn-1)
\ y1=2(x0,y0) \ y2=2(x1,y1) \ yn=2(xn-1,yn-1)
Если limn-xn=x*; limn-yn=y* => решение исх-й сис-mы Теорема: Пусть в замкнутой окрестности R={a<=x<=A, b<=y<=B}
имеется только одна пара корней
1) Если ф-ии 1(x,y), 2(x,y) определены и непрерывно диф-мы в R
2)Начальное приближение (x0,y0) и последующие (xn,yn) принад-т R
3) В R выполнено |1/x|+|2/y|<=q1<1 |1/y|+|2/x|<=q2<1
то процесс сх-ся.
15. Метод простой итерации решения систем общего вида.
/ x1=1(x1…xn) - система нелин-х ур-ий
\ xn=n(x1…xn) с n- неизв-ми
Ф-ии 1…n – действительны, определены и непрерывны в нек-ой окрестности (x1*…xn*) которая явл-ся решением. Запишем эту систему в векторной форме:x=(x1…xn) (x)=(1…n) x= (x)
Итерац-й процесс МБ в виде:x (p+1) = (x(p)), если итер-й процесс сх-ся то он сх-ся к корню векторного ур-я, т.к. процесс итерации для ур-ий x (p+1)= (x(p))- сх-ся, только в случае если |’ (x)<1|. То такое же условие мы получим и для системы. Аналогично найдем множитель кот-й дает возможность удов-ить условию ’ (x)<1
Рассмотрим в общем виде систему ур-й f(x)=0, представим её в виде x=x+f(x) В данном случае - неособ. матрица (||0)
x= (x) где (x)=x+f(x)
Для послед-х ур-ий применим метод итерации: ‘(x)=E+f’(x)
Т.к. норма этой матрицы должна быть мала, выберем из условия
‘(x(0))=E+f’(x(0))=0; = -[f’(x(0))]-1 Если определитель этой матрицы =0, то нужно поменять начальное условие.