24. Модиф-й метод Эйлера.

В отличии от метода Эйлера, когда для вычисления след-й точки (x_i+1,y_i+1) треб-ся информация только о пред-й точке, модиф-й метод предполагает знание о некоторой промежуточной точке: x_i+1/2=x_i+h/2

Метод закл-ся: y_i+1/2=y_i+hf_i/2

1) Через точку (x_i,y_i) провод-ся касат-я с

тангенсом наклона tg=f(x_i,y_i) до пересечения с прямой x=x_i+1/2. В полученной точке пересечения по методу Эйлера выч-ся значение ф-ии y_i+1/2 и выч-ся новая производная f_i+1/2=f(x_i+1/2,y_i+1/2) Значение этой производной определяет tg второй касат-й, которая провод-ся из получ-й точки.

2)Возр-ся в исходную т. и ч/з неё проводим прямую парал-ю второй касательной y_i+1=y_i+hf_i+1/2

26. Усовер-й метод Эйлера.

1) Через точку (x_i,y_i) провод-ся касат-я до пересечения с прямой x_i+1=x_i+h угловой коэф-т этой прямой tg₁=f(x_i,y_i)

2) В получ-й точке по методу Эйлера выч-ся знач-е ф-ии y”_i+1=y_i+hf(x_i,y_i) и выч-ся новая производная tg₂=f”(x_i+1,y”_i+1)

3) Происходит возврат в т. (x_i,y_i) и ч/з неё провод-ся новая касат-я, где tg есть среднее ариф-е 2х пред-х tg₁ tg₂.

tg=( tg₁+ tg₂)/2=( f(x_i,y_i)+f(x_i+1,y_i+1))/2

Новое значение y_i+1=y_i=+h*( f(x_i,y_i)+f(x_i+1,y_i+1))/2

27. Метод Рунге-Кутта. (точность h⁴, h⁵)

Точно вычислить значение м-да трудно,т.к. исходя из верного текущего знач-я y(x_i) вычис-ют величину y(x_i+2h) двумя способами, 1й раз с шагом h, др. раз с 2h. Если расхож-дения значений не превышает допустимой погрешности, то шаг выбран правильно и полученное значение y(x_i+2h) М принять за верное, в противоп-м случае шаг умень-ют в 2 раза.

y’=f(x,y) Выб-ся шаг h, и наносится сетка: у(x₀)=y₀ x_i+1=x₀+h_i Рассмотрим числа:

K₁⁽ⁱ⁾=hf(x_i,y_i) K₂⁽ⁱ⁾=hf(x_i+h/2,y_i+ K₁⁽ⁱ⁾/2)

K₃⁽ⁱ⁾=hf(x_i+h/2,y_i+ K₂⁽ⁱ⁾/2) K₄⁽ⁱ⁾=hf(x_i+h,y_i+ K₃⁽ⁱ⁾)

y_i+1=y_i+y_i шаг y_i=(K₁⁽ⁱ⁾+2K₂⁽ⁱ⁾+2K₃⁽ⁱ⁾+K₄⁽ⁱ⁾)/6

Удобно на каждом шаге заполнять таблицу:

i	x	y	K=hf(x,y)	y
0	x0	y0	K1^(0)	K1^(0)
	x0+h/2	y0+к1^(0)/2	K2^(0)	2K2^(0)
	x0+h/2	y0+к2^(0)/2	K3^(0)	2K3^(0)
	x0+h	y0+к3^(0)	K4^(0)	K4^(0)

=(k1+2k2+2k3+k4)/6

28. Интерполирование ф-ий. Постановка задачи.

Пусть на [a,b] задана (n+1) точка x₀…x_n . Эти точки наз-ся узлами интерполяции. Известны некоторые значения ф-ий f(x₀)=y₀ … f(x_n)=y_n

По этим точкам треб-ся построить ф-ю F(x),

принад-ю известному классу, приним-ю в

узлах интерполяции известные значения. В

такой интерполяции ф-я F(х), либо не

однозначна либо не сущ-ет. Если ф-я F(x)=P_n(x)

имеет вид полинома, степени не выше n, то

такая задача имеет един-е решение, полученную интерполяцию ф-и F(x) исполь-ют для нахождения значения ф-ии в точках отличных от узлов интерполяции.

Если эти точки принадлежат промежутку [a,b], то такая задача наз-ся интерполированием в узком смысле. Если же точки выходят за границы [a,b], то такая задача наз-ся экстрополированием.

29. Конечные разности.

Пусть известны знач-я ф-ии y=f(x) в равноотстоящих узлах x_n=x₀+kh k=0,n

y₀=f(x₀) … y_n=f(x_n)

x=x₀(h)x_n означает разбивку сегмента [x₀,x_n] с шагом h. Конечные разности 1-го порядка имеют вид: y₀=y₁-y₀ y₁=y₂-y₁

2-го порядка: ²y₀=y₁-y₀ ²y₁=y₂-y₁ ……

x	y	y	^2y	^3y
X0	Y0
		y0
X1	Y1		^2y0
		y1		^3y0
X2	Y2		^2y1
		y2
X3	Y3

30. Формула Лагранжа. Будем считать ф-ию f(x) и полином Qm(x)=ao+a1x+a2x²++anxⁿ близкими, если они совпадают на заданной сис-ме точек. Задача состоит в построении мн-на возможно низшей степени М, принимающий в данных точках известные значения /по основ-ой т.Алгебры М положить М=N/ Из условия задачи М записать лин-ую сис-му ур-ний

/ А_О+а₁х_о+а₂х_о²++а_nх_оⁿ=у_о cис-ма линейн. и М

| А_О+а₁х₁+а₂х₁²++а_nх₁ⁿ=у₁ ее решить по ф-ле

\ А_О+а₁х_n+а₂х_n²++а_nх_nⁿ=y _n Крамера

| 1 x_o x_o² x_oⁿ |

Δ= | 1 x₁ x₁² x₁^{n |} =произведение (xq-xp)

| x_n x_n² x_nⁿ |

0<=p<q<=n Исходя из этого М выписать интерполяционный мн-член Лагранжа

n (x-x_o)(x-x₁)(x-x_i-1)/i-ого нет/(x-x_i+1)(x-x_n)*y_i

L_n= Σ (x_i-x_o)(x_i-x₁)(x_i-x_i-1) /i-ого нет/( (x_i-x_i+1)(x_i-x_n)

i=1