1. Представить данные о заработной плате в виде интервального статистического ряда;

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2log n

n = 1 + 3,2log 40 = 7

Тогда ширина интервала составит:

Группы	x	Кол-во f	x * f	S	(x - x ср) * f	(x - x ср)^2 * f	(x - x ср)^3 * f	(x - x ср)^4 * f	Частота
2057 - 3855,57	2956,28	6	17737,71	6	24550,48	100454348,8	-411033755212,73	1,681846032032*10^15	0,15
3855,57 - 5654,14	4754,85	11	52303,4	17	25224,94	57845255,67	-132649395409,76	3,0418850945521*10^1^4	0,28
5654,14 - 7452,71	6553,42	8	52427,4	25	3956,85	1957086,7	-967988290,75	478773542527,28	0,2
7452,71 - 9251,28	8351,99	4	33407,98	29	5215,85	6801280,63	8868619993,68	11564354549971	0,1
9251,28 - 11049,85	10150,56	4	40602,26	33	12410,13	38502850,27	119456373180,65	3,7061736971739*10^1^4	0,1
11049,85 - 12848,42	11949,13	6	71694,81	39	29406,62	144124878,4	706370909946,62	3,4619967624448*10^15	0,15
12848,42 - 14646,99	13747,7	1	13747,7	40	6699,67	44885621,66	300718998723,45	2,0147190315143*10^15	0,025
		40	281921,27		107464,56	394571322,13	590763762931,16	7,8454108332562*10^15	1

2. Представить графически построенный ряд распределения;

3. Рассчитать числовые характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, дисперсию, размах вариации, моду, медиану, эксцесс и асимметрию;

средняя арифметическая

руб.

Дисперсия

размах вариации

R = X_max - X_min

R = 14647 - 2057 = 12590 руб.

мода

руб.

Наиболее часто встречающееся значение составляет 4979,68 руб.

медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше

руб.

50% работников получают заработную плату выше 6328,6 руб.

эксцесс

> 0 (островершинное распределение)

асимметрия (относительный показатель асимметрии К. Пирсона)

> 0

асимметрия (центральный момент третьего порядка)

> 0

Асимметрия правосторонняя (As больше нуля).

Задание 3

Необходимо проанализировать корреляционную связь между уровнем заработной платы работников и их стажем. Данные о заработной плате работников предприятия приведены в таблице задания 2 (согласно варианту). Данные о стаже работников по вариантам приведены ниже.

Требуется:

1. Построить корреляционное поле.

2. Определить линейный коэффициент корреляции.

3. Определить и построить уравнение теоретической линии регрессии.

Таб. № раб.
	2, 12
1	7
2	6
3	10
4	3
5	6
6	9
7	6
8	3
9	13
10	10
11	6
12	8
13	6
14	14
15	6
16	13
17	11
18	10
19	6
20	10
21	3
22	6
23	3
24	6
25	10
26	3
27	3
28	6
29	10
30	13
31	3
32	13
33	12
34	3
35	10
36	6
37	3
38	6
39	3
40	3

Решение:

1. Построить корреляционное поле.

2. Определить линейный коэффициент корреляции.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Связь между стажем и уровнем заработной платы довольно сильная (r_xy > 0.9).

3. Определить и построить уравнение теоретической линии регрессии.

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 878.47 x + 797.94

Задание 4

Проанализировать динамический ряд данных, характеризующий величину прожиточного минимума для населения (руб.) за три года: определить средние показатели динамического ряда; проверить ряд на наличие тренда (при помощи скользящей средней с интервалом сглаживания 5); провести аналитическое выравнивание (выделить линейный тренд); выявить наличие или отсутствие сезонности.

Вариант	Область	2006
		I кв.	II кв.	III кв.	Iv кв.
2	Брянская область	2567	2866	2856	2873
Вариант	Область	2007
		I кв.	II кв.	III кв.	Iv кв.
2	Брянская область	3098	3233	3290	3405
Вариант	Область	2008
		I кв.	II кв.	III кв.	Iv кв.
2	Брянская область	3717	3922	3850	3983

Решение:

Представим в виде динамического ряда:

№	Величина прожиточного минимума для населения (руб.)
	2567
	2866
	2856
	2873
	3098
	3233
	3290
	3405
	3717
	3922
	3850
	3983

Определим средние показатели динамического ряда.

Средний уровень ряда y динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

Средний уровень ряда динамики

руб.

Среднее значение прожиточного минимума для населения с 2006 по 2008 гг. составило 3305 руб.

Средний темп роста

В среднем за весь период величина прожиточного минимума для населения выросла на 1.0407.

Средний темп прироста

В среднем каждый период величина прожиточного минимума для населения увеличивалась на 4.07%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост

В среднем за весь период прожиточный минимум для населения увеличивался на 128.73 руб. с каждым периодом.

Проверим ряд на наличие тренда при помощи скользящей средней с интервалом сглаживания 5.

Выравнивание производится по формуле: y_i+5* = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅)/5

y_i+6* = (y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆)/5

y_i+n* = (y₈ + y₉ + y₁₀ + y₁₁ + y₁₂)/5

1	2567	-
2	2866	-
3	2856	-
4	2873	-
5	3098	2852
6	3233	2985,2
7	3290	3070
8	3405	3179,8
9	3717	3348,6
10	3922	3513,4
11	3850	3636,8
12	3983	3775,4

Судя по графику, имеется ярко выраженный линейный возрастающий тренд.

Проведем аналитическое выравнивание.

Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

t	y	t ^2	y ^2	t•y
1	2567	1	6589489	2567
2	2866	4	8213956	5732
3	2856	9	8156736	8568
4	2873	16	8254129	11492
5	3098	25	9597604	15490
6	3233	36	10452289	19398
7	3290	49	10824100	23030
8	3405	64	11594025	27240
9	3717	81	13816089	33453
10	3922	100	15382084	39220
11	3850	121	14822500	42350
12	3983	144	15864289	47796
78	39660	650	133567290	276336

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a₀ + 78a₁ = 39660

78a₀ + 650a₁ = 276336

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 129.69, a₁ = 2462

Уравнение тренда

y = 129.69 t + 2462

Выявим наличие или отсутствие сезонности.

Рассчитаем индексы сезонности по формуле:

- фактические (средние) данные по месяцам (среднемесячный результат, вычисленный за 3 года по одноименным кварталам);

Yср – общая или постоянная средняя (среднемесячный уровень по 12-ти кварталам).

i₁ = 3127,33/1101,67x100% = 283,87

i₂ = 3340,33/1101,67x100% = 303,21

и так далее по кварталам.

Все расчеты сведем в таблицу.

1	2	3	Итого за 3	В среднем	Индекс
2567	3098	3717	9382	3127,33	283,87
2866	3233	3922	10021	3340,33	303,21
2856	3290	3850	9996	3332,00	302,45
2873	3405	3983	10261	3420,33	310,47
11162	13026	15472		1101,67

На основании полученных индексов сезонности построим график сезонности.

Ярко выраженной сезонности не наблюдается. Рост замедляется во 2 и 3 квартале.

Задание 5

На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следую­щие данные об их доходе за октябрь:

Месячный доход, руб.	6000—10000	10000—14000	14000—18000	18000—22000
Число рабочих	X	Y	Z	D

Определить: 1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997; 2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 14000 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

Решение:

Месячный доход, руб.	6000—10000	10000—14000	14000—18000	18000—22000
Число рабочих	15	28	45	12

или

Месячный доход, тыс. руб.	6—10	10—14	14—18	18—22
Число рабочих	15	28	45	12

1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

Группы	x	Кол-во f	x * f
6 - 10	8	15	120
10 - 14	12	28	336
14 - 18	16	45	720
18 - 22	20	12	240
		100	1416

Средняя взвешенная

Доверительный интервал для генерального среднего

Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.997/2 = 0.4985

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4985

t_kp (γ) = (0.4985) = 2.96

(14.16 - 1.05;14.16 + 1.05) = (13.11;15.21)

С вероятностью 0.997 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 14000 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

Месячный доход в 14 тыс. руб. находится в интервале 14-22 тыс. руб. Всего рабочих в этом интервале: 45 + 12 = 57.

Их доля: 57/100 = 0,57.

Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.954/2 = 0.477

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.477

t_kp (γ) = (0.477) = 2

(0,471; 0,669)

С вероятностью 0.954 при большем объеме выборке эта доля будут находиться в заданном интервале. Другими словами от 47 до 67 человек.

Задание 6

Варианты 1—5

На основе данных, приведенных в таблице, рассчитать индекс переменного состава, индекс фиксированного состава, индекс влияния структурных сдвигов. Как характеризуют изменение производительности эти индексы?

Номер варианта	Вид продукции	Произведено, шт.		Отработано чел.-час
		январь	февраль	январь	февраль
2	1 2	5000 10000	4000 8000	1000 5000	1100 3000

Решение:

а) индекс производительности переменного состава

Средняя производительность за февраль период

Средняя производительность за январь период

За счет всех факторов производительность снизилась на 35.45%

б) индекс производительности постоянного состава

За счет изменения структуры производительности средняя производительность снизилась на 35.45%

в) индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней производительности

За счет изменения структуры выработанной продукции средняя производительность возросла на 0%.