5. Задача 1.

Относительно динамики активов страховой компании известно, что:

a) размеры страховых возмещений взаимно независимы и равномерно распределены на интервале (0,10);

b) в каждый момент времени 1,2,3,... происходит в точности один страховой случай;

c) в другие моменты времени страховые случаи не наступают;

d) относительная защитная надбавка равна 0,2;

e) премии платятся непрерывно;

f) начальные активы равны 1.

Подсчитайте вероятность разорения в момент 6.

Решение:

Пусть N – общее число проданных договоров, Хk – выплаты по k-му договору, S = Х1 + Х2 + … + ХN – суммарные выплаты по всему портфелю, f – относительная защитная надбавка, так что премия по одному договору равна р = (1 + f)·EXk. Нам необходимо найти Р(S ≥ Np). Для начала определим P(S < Np).

По центральной предельной теореме:

В нашем случае N = 6, по условию задачи Хk – размеры страховых возмещений взаимно независимы и равномерно распределены на интервале (0,10), тогда для равномерно распределенной случайной величины:

EXk = и VarXk =

Находим далее:

Тогда:

Р(S ≥ Np) = 1 – P(S < Np) = 1 – 0,83 = 0,17 или 17%.

Таким образом, вероятность разорения в момент 6 составляет 17%.

Ответ: 17%.

6. Задача 2.

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0,01. Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0,05.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Решение:

Введем обозначения событий:

= {застрахованный – курильщик},

= {застрахованный – не курильщик},

= {застрахованный умер в течение года}.

По условию задачи:

Р(Н1) = 0,1, соответственно Р(Н2) = 1 – Р(Н1) = 1 – 0,1 = 0,9

Р(А/Н1) = 0,05, Р(А/Н2) = 0,01.

По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что застрахованный умрет в течение года:

Тогда:

или 36% - доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года.

Ответ: 36%.

Список литературы:

1. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика, - М.: Гардарики, 2006;

2. Башарин Г.П. Начала финансовой математики, - Инфра-М, 2004;

3. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений, - М.: Финансы и статистика, 2004;

4. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов, - М.: Дело, 2007;

5. Просветов Г.И. Математика в экономике, - М.: Инфра-М, 2005;

6. Малыхин В.И. Финансовая математика, - М.: Юнити-Дана, 2004;

7. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. – М.: Финансы и статистика, 1997;