- •§ 8. Условия постоянства, возрастания и убывания функции
- •§ 9. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§ 10. Выпуклые кривые. Точки перегиба кривой
- •§ 11. Асимптоты кривой
- •§ 12. Полное исследование функций и построение их графиков
- •§ 13. Определение и свойства степени
- •§ 14. Показательная функция
- •§ 15. Логарифмическая функция
- •§16. Степенная функция
- •§ 17. Тригонометрические функции
§ 10. Выпуклые кривые. Точки перегиба кривой
Определение 1. Криваяназываетсявыпуклой вверх(выпуклой вниз) в точке, если в некоторой окрестности точкиона лежит ниже (соответственно, выше) касательной. Если кривая выпукла вверх (вниз) в каждой точке некоторого промежутка, то она называется выпуклой вверх (вниз) на этом промежутке.
у
В точке
кривая выпукла вверх, в точкевыпукла вниз.
А
В
О х
Теорема 1 (достаточные условия выпуклости кривой). Пусть функцияопределена, непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точкии имеет в этой точке 2-ю производную. Тогда, если, то криваявыпукла вниз в точке, если, то в этой точке криваявыпукла вверх.
Доказательство. Запишем уравнение касательной к кривойв точкев видеи рассмотрим функцию. Имеем. Если, то и, и по второму достаточному условию экстремума функцияимеет в точкеминимум. Поскольку, то в некоторой окрестности точкидля всех, то естькриваявыпукла вниз в точке.
Если , то и, и аналогично показывается, чтоиз некоторой окрестности точки, поэтомув этой проколотой окрестностикриваявыпукла вверх в точке. Теорема доказана.
Определение 2. Точканазываетсяточкой перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то есть если в некоторой окрестности точкидля всехвсе точки кривой лежат по одну сторону от касательной, а для всех– по другую.
у
Точка
– точка перегиба кривой.
А
О х
Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Для того, чтобы криваяимела перегиб в точке, необходимо, чтобы в точке2-я производная функциилибо не существовала, либо была равна нулю.
Доказательство. Предположим противное, то есть что– точка перегиба кривойи существует, причем. Тогда либои по предыдущей теореме кривая выпукла вниз в точке, либои кривая выпукла вверх в этой точке. И в том, и в другом случае кривая лежит по одну сторону от касательной в некоторой окрестности точки, то есть эта точка не является точкой перегиба. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 3 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функциядифференцируема в некоторой окрестноститочки, на интервалахисуществует 2-я производная, причем она сохраняет знак на каждом из этих интервалов. Тогда, если наизнаки 2-ой производной различны, то точкаявляется точкой перегиба кривой, если одинаковы, то перегиба нет.
Доказательство. Пусть– уравнение касательной в точкек кривой. Рассмотрим функцию. Применим к разностиформулу Лагранжа:, где– точка междухи. Получим. Вновь применим формулу Лагранжа, теперь к разности, где– точка междуи. Таким образом,. Заметим, что точких и
находятся по одну сторону от точки
,
поэтому.
Следовательно, знакзависит от знака.
Еслиимеет разные знаки на интервалахи,
тоимеет
•
х
•
разные знаки, когда и, т.е.меняет знак при переходе через точку. Это означает, что криваялежит с одной стороны от точкивыше, а с другой стороны – ниже касательной, т.е.– точка перегиба.
Если же на интервалах иимеет один и тот же знак, тоимеет один знак,тоже сохраняет знак на интервале, поэтому точкане является точкой перегиба. Теорема доказана.
Сформулируем правило отыскания точек перегиба кривой . Нужно:
найти область определения ;
вычислить ;
найти точки из , в которыхне существует или равна нулю;
исследовать знак слева и справа от каждой из найденных точек;
сделать вывод об этих точках на основании достаточного условия точки перегиба.
Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз функции.
Р
Поэтому точка
,
то есть точка– точка перегиба кривой,–
0
Поэтому точка , т.е. точка– точка перегиба кривой,–интервал выпуклости вверх кривой,– интервал выпуклости вниз кривой.
Замечание. Определение выпуклой кривой нами было дано с помощью касательной к кривой, т.е. соответствующая функция предполагалась дифференцируемой. Есть и другие, более общие определения, не предполагающие дифференцируемости функции. Теоремы при этом доказываются несколько более сложно.