§ 12. Полное исследование функций и построение их графиков

Есть различные схемы полного исследования функций. Одна из возможных схем следующая. Нужно:

1. Установить область определения функции. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. Установить точки разрыва и характер разрыва. Исследовать поведение функции на границе области определения. Найти асимптоты. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Исследовать функцию на экстремум. Установить интервалы монотонности функции.

3. Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба.

4. Построить график функции, используя все полученные результаты. При необходимости вычислить значения функции при некоторых значениях ее аргумента.

Пример. Проведем полное исследование функциии построим ее график.

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точке, поэтому– симметрична относительно начала координат. Функция не является четной и нечетной, так какФункция не является периодической, так как не существует только в одной точке. Непрерывна в области своего определения как элементарная функция. В точкетерпит разрыв. Установим его характер:, поэтому– точка разрыва 2-го рода, а прямая– вертикальная асимптота графика функции при. Горизонтальные асимптоты:– горизонтальная асимптота при;– горизонтальная асимптота при. Так как, то наклонных асимптот нет. С осьюОу график не пересекается, так как точкане принадлежит области определения функции,, что невозможно, поэтому с осьюОхпересечения тоже нет.

Исследуем функцию на экстремум и на монотонность: , поэтому точек экстремума нет,– интервалы убывания функции. _ _

0

Исследуем график функции на выпуклость и точки перегиба:

. Видим, что числитель всегда положителен, а знаменатель больше нуля при, и меньше нуля при, то есть распределение знаковследующее: – +

0

Точек перегиба нет, так как ,– интервал выпуклости вверх,– интервал выпуклости вниз.

Строим график функции, используя все полученные результаты.

у

О х

-1

Рассмотрим теперь основные элементарные функции и установим их свойства.

§ 13. Определение и свойства степени

Определение 1.Степенью числаа с натуральным показателемназывается произведениеn множителей, каждый из которых равена:

. (13.1)

Степенью числа а с показателем 1 называется само числоа:

. (13.2)

Заметим, что в определении 1 а – любое действительное число. Равенствами (13.1) и (13.2) степеньопределена на множествеNнатуральных чисел.

Справедливы два основных свойства степени:

,

т.е. при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Далее степень определяется на множестве всех целых чисел.

Определение 2. Если, тоN.

Проверка двух основных свойств степени проводится без труда. Например,

.

Чтобы определить степень на множестве рациональных чисел, сначала определим арифметический кореньn-ой степени.

Определение 3.Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числаа называется неотрицательное число,n-я степень которого равнаа. Обозначается.

Докажем, что такое число существует и единственно. Для этого рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна и возрастает на, так как, причем. Кроме того,. Поэтому по теореме существования и непрерывности обратной функции на промежуткесуществует, возрастает и непрерывна обратная функция. Отсюда следует, что уравнениеимеет единственный неотрицательный корень.

Определение 4. Если, то.

Этим равенством степень определена на множествеQрациональных чисел. Основные свойства степени справедливы и на этом множестве. Например, справедливость равенстваследует из того, что при взведении обеих частей этого равенства в степеньnq получаем:,, т.е. одинаковые выражения.

Определим далее степень на множествеR всех действительных чисел. Для этого установим сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Для любого иррационального числасуществует возрастающая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел. В силу свойства усиленной плотности множестваR действительных чисел между числамиинайдется рациональное число, то есть. Очевидно, что последовательностьвозрастающая и сходится к

• • • • • • • • •

по теореме о промежуточной переменной, так как. Лемма доказана.

Лемма 2. Если, то функциявозрастает.

Доказательство. Заметим, что если, то и, гдеn– натуральное число. Это следует из возрастания функции(см. доказательство существования арифметического корня). Поэтому дляимеем. Поскольку знаменатели рациональных чисел всегда можно сделать общими, утверждение доказано.

Лемма 3. Если, то.

Доказательство. Поскольку(см. доказательство леммы 2), положим, где. Тогдапо неравенству Бернулли, или. Отсюдаи по теореме о промежуточной переменной, то есть. Лемма доказана.

Лемма 4. Для любой последовательности рациональных чисел, сходящейся к нулю, последовательность(где) сходится к 1, т.е..

Доказательство. Возьмемпроизвольно. Поскольку по лемме 3,, то найдется номертакой, чтои, откуда. А так какпри, то найдется номер, такой, что длябудет, то естьи по лемме 2, откудаидля. Лемма доказана.

Лемма 5. Пустьи– произвольное иррациональное число. Тогда для любой последовательности рациональных чисел, сходящейся к, последовательностьсходится к одному и тому же пределу.

Доказательство. Если, то, то есть утверждение справедливо.

Пусть . Рассмотрим сначала какую-нибудь неубывающую последовательность рациональных чисел, сходящуюся к. Такая последовательность существует по лемме 1. Тогда по лемме 2

(13.3)

Возьмем рациональное число . Тогдаи по лемме 2для всехn, т.е. последовательность (13.3) ограничена сверху. По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности существует, который мы обозначим буквойА. При этом, так каки последовательность (13.3) неубывающая.

Пусть теперь – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к. Тогда последовательность рациональных чиселсходится к нулю и по лемме 4. Следовательно,и утверждение леммы справедливо.

Рассмотрим теперь случай . Положим. Тогдаи по уже доказанному для любой последовательности рациональных чисел,, существует один и тот же предел. Отсюда.

Лемма доказана.

Определение 5. Пусть– произвольное иррациональное число,– любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к,. Тогда полагают

. (13.4)

Заметим, что формула (13.4) справедлива и в случае, когда – рациональное число. Тогдаи. Таким образом, формула (13.4) имеет место для любого действительного числа.

Теорема 1. Справедливы равенства

, (13.5)

, (13.6)

где , ах,у– любые действительные числа.

Доказательство. Пусть, гдеи– последовательности рациональных чисел. Поскольку для рациональныхх иу равенство (13.5) справедливо, имееми в пределе при.

Докажем теперь (13.6). Имеем . Переходя к пределу при, получим:

(непрерывность обратной функции, т.е.) =(см. (13.4)) ==(см. (13.4)) =,

(см. (13.4)) == (непрерывность показательной функции) =, поэтому . Теорема доказана.

Замечание. Аналогично можно доказать, что, где– любые действительные числа.