§16. Степенная функция

Определение 1.Степенной функцией называется функция вида, где– любое действительное число.

Свойства степенной функции зависят от . Рассмотрим случай, когда– иррациональное число.

Область определения Если, тоинепрерывна как сложная функция в силу непрерывности показательной и логарифмической функций.

При , поэтому функция непрерывна в точкесправа. Следовательно, привертикальных асимптот нет.

Если , то, то есть– вертикальная асимптота.

Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая.

Если , то, то есть горизонтальных асимптот нет.

Если , то– горизонтальная асимптота. Нетрудно показать, что наклонных асимптот нет.

При (0; 0) – точка пересечения с осями координат, притаких точек нет.

критических точек нет.

+ –

· ◦

0 0

, всюду возрастает в, всюду убывает в

точек перегиба нет.

+ –+

· · ◦

0 0 0

, выпукла вниз, выпукла вверх, выпукла вниз

у

,

– иррациональное

О 1х

§ 17. Тригонометрические функции

При определении синуса и косинуса произвольного угла в радиан пользуются окружностью, причем наиболее наглядно свойства их видны, если окружность имеет единичный радиус.

у Определение 1. Ордината точки , полученной при

повороте точки(1; 0) вокруг начала координат на

угол радиан, называетсясинусом числа,

sin

а

s абсцисса этой точки –косинусом . Обозначаются

соответственноsinиcos.

О cos 1 x

Сопоставляя каждому числу хего синус и косинус,

J получим две функцииsin х иcos х, определенные на

всей числовой прямой.

Непосредственно из определения следует, что

областью значений этих функций является отрезок ; обе функции – периодические с основным

периодом ;cos х – функция четная (так как

cos (–) =cos ),sin х – функция нечетная (так какsin(–) = – sin), поэтому их графики симметричны относительно осиОу и начала координат соответственно.

sin х> 0 вIиIIчетвертях,sin х< 0 вIIIиIVчетвертях,sin х = 0 , то есть– точки пересечения графикаsin х с осью Ох, (0; 0) – с осьюОу.

cos х> 0 вIиIVчетвертях,cos х< 0 воIIиIIIчетвертях,cos х= 0,

, т.е.– точка пересечения графикаcos х с осьюОх, (0; 1) – с осьюОу.

Функция возрастает от – 1 до 1 на отрезках, убывает от 1 до – 1 на отрезках, поэтому–точки максимума,,– точки минимума,.

Функция возрастает от – 1 до 1 на отрезках, убывает от 1 до – 1 на отрезках, поэтому– точки максимума,,– точки минимума,.

Установим непрерывность функций cos хиsin х в каждой точке, пользуясь известным неравенством

.

Теорема 1. Функцииcos хиsin х непрерывны в каждой точке числовой прямой.

Доказательство. Пусть– произвольная точка числовой прямой. Докажем, что функцияcos хнепрерывна в этой точке. Имеем

Поскольку , по теореме о промежуточной переменнойи, то есть функцияcos хнепрерывна в точкеи в силу произвольности точкифункцияcos хнепрерывна в каждой точке числовой прямой.

По формуле приведения , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции функцияsin х непрерывна в каждой точке числовой прямой, так как функцииcos t инепрерывны всюду. Теорема доказана.

Из теоремы 1 и того, что , следует, что вертикальных асимптот нет (это следует и из ограниченности функций). Посколькуине существуют, нет и горизонтальных асимптот. Наклонных асимптот тоже нет, так как.

Рассмотрим функцию . Имеем.

– + – + –· · · · · · – 2π – π 0 π 2π 3π

Видим, что (πn; 0) – точки перегиба,– интервалы выпуклости вверх,– интервалы выпуклости вниз.

Графиком функции является синусоида.

у

–2π–πО π 2π х

Из равенства видим, что графиком функцииявляется сдвинутая влево насинусоида.

у

х

– ––О

Определение 2. Тангенсом числаназывается отношение синуса этого числа к его косинусу:.

Котангенсом числаназывается отношение косинуса этого числа к его синусу:.

Свойства функций ивытекают из свойств функцийи.

Рассмотрим функцию .

. Нечетная. Периодическая с основным периодом. Это следует из равенств0. Аналогично,.

вIиIIIчетвертях,воIIиIVчетвертях.

– вертикальная асимптота, в силу периодичности,– вертикальные асимптоты. В силу периодичности, горизонтальных и наклонных асимптот нет. Непрерывность вследует из теоремы о непрерывности частного непрерывных функций.

(πn; 0) – точки пересечения с осьюОх, (0; 0) – точка пересечения с осьюОу.

в, поэтому функциявозрастает в интервалах, точек экстремума нет.

.

– + – +◦ • ◦ • ◦0π

(πn; 0) – точки перегиба,– интервалы выпуклости вверх,– интервалы выпуклости вниз.

Аналогично исследуется функция .

у у

х х

О О π

Обратные тригонометрические функции arcsin x,arccos x,arctg x,arcctg xбыли рассмотрены в главеI. Их свойства устанавливаются с помощью свойств функцийsin x,cos x,tg x,ctg xи теоремы о существовании и непрерывности обратной функции.