Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

исходят необратимое сжатие и необратимое расширение газа. Из сравнения площадей этих циклов видно, что при обратимом способе осуществления цикла работа цикла больше, чем при необратимом способе: Аобр > Aнеобр . Такой результат, полученный для частного

случая сравнения быстрого и медленного способов осуществления цикла, можно представить в виде:

Аобр > Aнеобр.

(11.1)

Из рассмотренных примеров необратимых процессов можно сделать общие выводы. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью и сопровождаются трением и теплообменом при конечной разности температур тел. Следовательно, все реальные процессы, строго говоря, необратимы.

11.2. Тепловая машина и ее термический КПД

Термодинамика рассматривает превращения энергии в системах в процессах их взаимодействия с окружающими телами. Один из видов таких превращений — превращение теплоты, переданной системе, в работу. Для осуществления такого превращения созданы специальные устройства — тепловые машины. Известно, что первую тепловую машину разработал и построил русский механик И. Ползунов в 1763 г., но первый патент на такое устройство был выдан Дж. Уатту в 1784 г. С тех пор тепловые машины прочно вошли в сферу жизнедеятельности человека. К ним относятся паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины и реактивные двигатели. Любое стрелковое и артиллерийское оружие — тоже тепловая машина.

По типу действия все тепловые машины можно разделить на машины разового действия и циклические. При этом принцип их устройства и функционирования одинаков. На рис. 11.3 изображено принципиальное устройство произвольной тепловой машины. Цель действия тепловой машины — получение работы А, которую над внешними телами будет совершать рабочее тело. Это может быть газ, находящийся в сосуде с подвижным поршнем, и т.п. Для совершения

	Работа А
Q1 > 0	Q2 < 0
Нагреватель (Т1)	Холодильник (Т2)
	Рабочее
	тело
	Рис. 11. 3

141

рабочим телом работы ему передается некоторое количество теплоты Q1 от устройства, называемого нагревателем. Для постоянного (цик-

личного) совершения работы рабочим телом необходимо привести рабочее тело в исходное состояние, после чего оно вновь сможет получить количество теплоты Q1 от нагревателя. Возврат рабочего

тела в исходное состояние (сжатие газа после его расширения) возможен при отведении от рабочего тела некоторого количества теплоты Q2 устройству, называемому холодильником. Очевидно, что

температуры нагревателя T1 и холодильника T2 должны быть разными: T1 > T2 . Мерой эффективности преобразования теплоты, под-

веденной к рабочему телу, в работу тепловой машины над внешними телами является коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины, который равен отношению работы, совершенной рабочим телом за один цикл, к количеству теплоты, полученному рабочим телом от нагревателя в этом цикле:

η = Aц / Q1.

(11.2)

Поскольку Q1 > 0, а Q2 < 0, то, применяя первое начало термодинамики к циклу рабочего тела (см. § 10.2), можно записать: Aц = Q1 + + Q2 = Q1 – | Q2 |. Тогда выражение (11.2) будет справедливо и в таком виде:

Aц	Q1 –	Q2		Q2
------η =	------------------------=		---------= 1 –		.	(11.3)
Q1	Q1			Q1

Из (11.3) следует, что КПД любой тепловой машины всегда меньше 100 %, т.е. нельзя в циклическом процессе полностью превратить в работу всю теплоту, полученную рабочим телом от нагревателя. Однако понятно, что если процессы теплообмена рабочего тела с нагревателем и холодильником сделать обратимыми, то КПД такой тепловой машины всегда будет выше, чем если бы эти процессы были необратимыми (11.1).

11.3.Цикл Карно

В1824 г. французский инженер Н.Л.С. Карно (1796 —1832) в своей работе «Рассуждения о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» предложил рассмотреть цикл тепловой машины, составленный только из обратимых процессов. У такой машины КПД должен быть больше, чем КПД любой другой машины, цикл которой состоит из необратимых процессов.

Если для подвода теплоты к рабочему телу необходимо совершить теплообмен с нагревателем, а теплообмен обратим только при

142

p

1

2

T1

4

T2

3

0

V

Рис. 11. 4

равенстве температур рабочего тела и нагревателя, то осуществим тепловой контакт рабочего тела с нагревателем в изотермическом процессе. Это первый процесс цикла (на рис. 11.4 кривая 1-2 — изотерма), проходящий при температуре нагревателя T1. Чтобы потом

обратимо осуществить передачу теплоты холодильнику, т.е. изотермический процесс 3-4 при температуре холодильника T2, необходимо

перевести рабочее тело с одной изотермы на другую. Единственным обратимым процессом при этом может быть равновесный адиабатный процесс. На диаграмме ( p,V ) он изображен кривой 2-3. Аналогичный процесс адиабатного сжатия 4-1 понадобится для возвращения рабочего тела в исходное состояние. Получаемый цикл из четырех процессов носит название цикла Карно. Он является единственно возможным обратимым циклом рабочего тела при одном нагревателе и одном холодильнике в тепловой машине. Поэтому, в соответствии с выводами § 11.1, КПД цикла Карно будет максимальным среди КПД всех возможных циклов, которые рабочее тело может осуществить между нагревателем и холодильником с заданными температурами T1 и T2 . В этом состоит содержание теоремы

Карно.

Рассчитаем КПД цикла Карно ηк . Согласно (11.2),

η		Aц	Q1 + Q2	(11.4)
	к	= ------	= ---------------------- .
		Q1	Q1

Поскольку теплота от нагревателя передается в изотермическом процессе 1-2, то

		m			V2
	Q1 = A12 =	---	RT1	ln	-----	.	(11.5)
		μ			V1

143

Аналогично, теплоту, передаваемую холодильнику в изотермическом процессе 3-4, определим по формуле

m

V4

Q2

= A34

=

---

RT2 ln

-----

.

(11.6)

μ

V3

Подставляя (11.5) и (11.6) в (11.4), получаем:

V2

V4

V2

–

V3

T1 ln

-----

+ T2 ln

-----

T1 ln

-----

T2 ln

-----

V1

V3

V1

V4

ηк =

--------------------------------------------------

=

--------------------------------------------------

.

(11.7)

V2

V2

T1 ln

-----

T1 ln

-----

V1

V1

Воспользуемся уравнением Пуассона для связи параметров рабо-

чего				тела. Точки 2 и 3 лежат на одной		адиабате,		поэтому
			γ	γ				p2V2	=
p2V2				= p3V3 . Кроме того, согласно уравнению состояния,				------------
								T1
	p	3	V	3	p	2	V γ
=							3
	------------ . Из первого соотношения следует, что				-----		= ----- , а из вто-
		T2			p3		V2

	p2				V3	T1
рого соотношения получим	-----		=		-----	-----	. Приравниваем правые части
	p3				V2 T2
полученных выражений:
V		3	T	1		V	γ
					=	3
-----			-----			----- ,
V2 T2						V2
откуда следует, что
T1V2γ – 1 = T2V3γ – 1 .										(11.8)
Аналогично для адиабаты 4-1 можно получить, что
T1V1γ – 1 = T2V4γ – 1 .										(11.9)
Поделим (11.8) на (11.9), тогда
V2 ⁄ V1 = V3 ⁄ V4 .										(11.10)
Подставив (11.10) в (11.7), найдем
ηк =		T1		– T2				T2
		------------------				= 1 –		-----	.	(11.11)
			T1					T1

144

В соответствии с теоремой Карно, эта формула определяет теоретический предел КПД всех возможных тепловых машин с нагревателем, имеющим температуру T1, и холодильником, имеющим темпера-

туру T2. Соответственно тепловая машина, работающая по циклу Карно, называется идеальной тепловой машиной.

11.4. Второе начало термодинамики. Энтропия

Первый закон термодинамики не позволяет установить направление протекания процессов. Он также не исключает возможности такого процесса, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу. Первое начало термодинамики допускает также построение циклически действующей тепловой машины, совершающей работу за счет охлаждения одного источника теплоты. Такой двигатель называется вечным двигателем второго рода. Например, понижение температуры мирового океана на 0,01 °С и превращение полученной теплоты в работу обеспечивает человечество энергией на 1700 лет при нынешних темпах энергопотребления!

Обобщение большого число экспериментальных фактов привело к выводу о невозможности построения вечного двигателя второго рода и получило название второго закона (второго начала) термодинамики. Существует несколько эквивалентных одна другой формулировок второго начала термодинамики. Сначала приведем две из них, принадлежащих немецкому физику Р. Клаузиусу (1850 г.) и английскому физику У. Томсону (он же лорд Кельвин, 1851 г.):

•невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему;

•невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счет охлаждения одного тела.

Сравним два способа расчета КПД цикла Карно, т.е. приравняем соотношения (11.4) и (11.11):

1 – T2 / T1 = 1 + Q2 / Q1.

Тогда получим, что Q2 / Q1 = – T2 / T1, или Q2 / T2 = – Q1 / T1. Назовем отношение количества теплоты, полученного системой в

каком-либо процессе, к температуре этого процесса приведенной теплотой. Для цикла Карно Q1 / T1 — приведенная теплота, полу-

ченная рабочим телом в процессе нагревания при температуре T1, а Q2 / T2 — приведенная теплота, полученная рабочим телом в процессе теплообмена при температуре T2 (поскольку Q2 < 0, то это

145

количество теплоты на самом деле передается от рабочего тела). Если переписать последнее соотношение в виде

Q1 / T1 + Q2 / T2 = 0,

(11.12)

то его можно сформулировать следующим образом: в равновесном обратимом цикле Карно суммарная приведенная теплота всех процессов равна 0.

Рассмотрим произвольный обратимый цикл А-В-А (рис. 11.5). Разобьем этот цикл изотермами и адиабатами так, чтобы исходный цикл превратился в последовательность элементарных циклов Карно 1-2-3-4. Естественно, что чем ближе адиабаты 2-3 и 4-1 будут находиться одна к другой, тем точнее получится приближение последовательности циклов Карно к исходному циклу. Тогда можно сказать, что для осуществления исходного цикла потребуется множество нагревателей и холодильников. Для каждого из элементарных циклов Карно будет справедливо соотношение (11.12) в виде

δQ1i / T1i + δQ2i / T2 i = 0.

Если же просуммировать все эти выражения по исходному циклу, то получим

δQ / T = 0.

Математически это означает, что выражение δQ / T есть полный дифференциал некоторой функции S:

dS = δQ / T.

(11.13)

Такую функцию ввел и дал ей название энтропия (по-гречески «превращение») Р. Клаузиус в 1865 г.: это такая функция состояния термодинамической системы, дифференциал которой связан с элементарным тепловым эффектом в обратимом процессе соотношением (11.13).

p

1	B
	2

A

43

0

V

Рис. 11. 5

146

Выведем расчетную формулу для измерения энтропии в обратимом процессе идеального газа. Подставим выражение (11.13) в (10.3) и учтем (10.6):

T dS = dU + δA = dU + p dV .

Тогда, в соответствии с (8.9) и (10.5), получим:

dS =	dU	p	i	m	dT	m	dV	,
	-------	+ ---- dV =	----	---- R ------		+ ---	R ------
	T	T	2	μ	T	μ	V

или после интегрирования для некоторого процесса 1-2

	i	m		T2		m		V2
S =	----	----	R ln	-----	+	---	R ln	-----
	2	μ		T1		μ		V1 .	(11.14)

Ясно, что если процесс круговой (цикл), то состояния 1 и 2 совпадают, т.е. T1 = T2 и V1 = V2 , а тогда

Sц = 0.

(11.15)

11.5.Основные свойства энтропии

1.Обратимый процесс. Рассмотрим цикл Карно как пример обратимого процесса, в котором участвуют три тела: нагреватель, рабочее тело и холодильник. Поскольку рабочее тело совершает замкнутый цикл, то для него справедливо (11.15), т.е. энтропия рабочего тела не изменяется. Следовательно, если Q1 / T1 — это измене-

ние энтропии в процессе теплообмена с нагревателем, то, согласно закону сохранения энергии, изменение энтропии нагревателя в этом процессе определится как – Q1 / T1. Аналогичный вывод можно сде-

лать и для второго слагаемого в (11.12). Тогда выражение (11.12) можно рассматривать и таким образом:

Sнагр + Sхол = 0.

Обобщая все выводы для рабочего тела, нагревателя и холодильника, получаем

Sсист = 0.

(11.16)

Таким образом, алгебраическая сумма изменений энтропии всех тел, участвующих в обратимом процессе, равна 0.

2. Необратимый процесс. Рассмотрим в качестве примера необратимого процесса передачу теплоты от одного (более горячего) тела, температура которого T1, к другому (более холодному) телу, темпера-

тура которого T2. Второе начало термодинамики утверждает, что про-

147

цесс возможен только в одном направлении: одно тело отдает количество теплоты Q1 , а другое получает количество теплоты Q2 .

Направление процесса передачи теплоты учитывается в знаке этих величин: Q1 < 0, а Q2 > 0. Согласно закону сохранения энергии

выполняется равенство Q1 = – Q2. Рассмотрим промежуточный этап

передачи столь малого количества теплоты, что температуры тел не изменяются. Изменения энтропии каждого из тел рассчитаем следующим образом: S1 = Q1 / T1, S2 = Q2 / T2 . Тогда общее изменение

энтропии системы из двух тел можно найти по формуле

Sсист = S1 + S2	= Q1 / T1 + Q2 / T2 .
Учитывая, что T1 > T2, Q1 < 0, а Q2	> 0, получаем:
Sсист > 0.		(11.17)

Таким образом, алгебраическая сумма изменений энтропии всех тел, участвующих в необратимом процессе, больше 0.

Объединяя выводы (11.16) и (11.17), получаем, что для всех тел изолированной системы, участвующих в произвольном процессе,

суммарное изменение энтропии неотрицательно:
Sсист ≥ 0.	(11.18)

Этот вывод можно сформулировать несколько иначе: процессы в природе всегда идут в таком направлении, чтобы для всех тел, участвующих в процессе, алгебраическая сумма изменений энтропии была неотрицательна. Это правило, указывающее направление протекания любых процессов, также является формулировкой второго начала термодинамики.

Реальные процессы, происходящие в природе, всегда необратимы. Значит, энтропия системы в этих процессах должна возрастать. Рост энтропии продолжается до тех пор, пока в системе не наступит состояние равновесия, после чего все процессы в системе прекращаются. Другой вид приведенной формулировки может звучать и таким образом: не может самопроизвольно происходить процесс с уменьшением энтропии системы.

Распространение второго начала термодинамики, установленного для замкнутых систем, на всю Вселенную неправомерно. Такая экстраполяция может привести к выводу о неизбежности выравнивания температуры всех тел, к идее «тепловой смерти Вселенной» (ее выдвинул Р. Клаузиус). Согласно гипотезе Л. Больцмана, Вселенная все время пребывает в равновесном изотермическом состоянии,

148

но в ее различных частях происходят отклонения от этого состояния. Оказалось, что вследствие тяготения однородное изотермическое распределение вещества во Вселенной не соответствует максимуму энтропии, потому что не является наиболее вероятным. Поскольку Вселенная нестационарна, она расширяется и первоначально однородное вещество распадается под действием сил тяготения на галактики, звезды, планеты и т.д. Именно эти процессы и происходят с ростом энтропии, что полностью соответствует второму началу термодинамики. Эти процессы и позволят избежать «тепловой смерти Вселенной».

11.6. Статистический смысл второго начала термодинамики

До сих пор мы использовали термодинамический метод исследования и не интересовались внутренним строением изучаемых систем. Однако существует связь второго начала термодинамики с моле- кулярно-кинетической теорией строения вещества. Рассмотрим это на примере состояния системы молекул газа.

Каждому состоянию газа соответствует некоторое распределение его молекул по объему и определенное распределение молекул по скоростям. Предположим, что в сосуде находятся только две молекулы газа (рис. 11.6). «Цвет» молекул пусть будет соответствовать их скорости. Различные состояния газа различаются только распределением молекул по половинкам сосуда. Можно получить четыре различных распределения молекул. Вероятность каждого из них равна 0,25. Однако эта вероятность будет отличаться от вероятности термодинамического состояния системы. Дело в том, что в однородном газе все молекулы тождественны одна другой, т.е. они неразличимы. Поэтому два из четырех распределений будут тождественны одно

		другому и определят одно из трех возможных
		состояний. Следовательно, вероятность состояния
	I	II равна 0,5.
		В целом же вероятность какого-либо состояния
		системы W больше вероятности w отдельного рас-
	II	пределения в P раз:
		W = wP,	(11.19)
		где Р — термодинамическая вероятность
	III	состояния системы. Она равна числу всевоз-
		можных микрораспределений частиц по коорди-
Рис. 11. 6		натам и скоростям, соответствующих	данному

149

термодинамическому состоянию (макросостоянию). Необходимо учесть, что W ≤ 1, w ≤ 1, но P ≥ 1. В нашем примере PI = 1, PII = 2,

PIII = 1.

Л. Больцман доказал, что между энтропией системы и термодина-

мической вероятностью ее состояния существует связь:
S = k ln P,	(11.20)

где k — постоянная Больцмана. Эта формула позволяет дать статистическое толкование второго закона термодинамики, утверждающего, что энтропия изолированной системы не убывает: термодинамическая вероятность состояния изолированной системы во всех происходящих в ней процессах не может убывать.

Таким образом, второй закон термодинамики является статистическим законом. Он выражает необходимые закономерности хаотического движения большого числа частиц, входящих в состав изолированной системы.

150