Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

тему координат и получить особую (абсолютную) систему отсчета, в которой, по предположению, справедливы уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Однако оказалось, что принцип относительности Галилея несовместим с уравнениями Максвелла (эти уравнения не были инвариантными относительно преобразований Галилея). Кроме того, в 1880 г. американские физики Майкельсон и Морли поставили эксперимент, который опровергал гипотезу неподвижного эфира и доказал, что эфир не может быть принят в качестве абсолютной системы отсчета. Они экспериментально доказали, что скорость света не зависит от скорости источника или приемника излучения. Это также противоречило преобразованиям Галилея.

Указанные противоречия удалось разрешить великому немецкому физику Альберту Эйнштейну (1879—1955). Больше всего его беспокоила несовместимость уравнений Максвелла с классической физикой. Эйнштейн видоизменил определения массы, энергии, импульса, свойства пространства и времени. При построении своей теории он исходил из двух постулатов.

1.Принцип относительности Эйнштейна: все физические законы одинаковы во всех ИСО, а поэтому они должны быть сформулированы в виде, инвариантном относительно преобразований координат, отражающих переход от одной ИСО к другой.

2.Принцип постоянства скорости света: существует предельная скорость распространения взаимодействий, которая во всех ИСО одинакова и равна скорости электромагнитной волны в вакууме и не зависит ни от направления ее распространения, ни от движения источника и приемника.

Ясно, что второй постулат не согласуется с преобразованиями

Галилея. Пусть система (X ′, Y ′, Z′) движется со скоростью º отно- v

сительно системы (X , Y , Z) вдоль оси ОY (рис. 7.1). Пусть источник света М, находящийся в системе (X ′, Y ′, Z′ ) посылает световой сиг-

нал со скоростью	º	относительно системы (X ′, Y ′, Z′ ). Тогда,
	c

Z

Z'

M c

O'

Y'

v

O

Y

X'

X

Рис. 7. 1

91

согласно преобразованиям Галилея, скорость света относительно

º º

системы (X , Y , Z) должна быть равна v + c , что согласуется со «здравым смыслом». Заслуга Эйнштейна как раз и состоит в том, что он первый пришел к выводу об изменяемости свойств пространства и времени и о зависимости этих свойств от движения тел, с которыми связываются ИСО. Таким образом, мы вынуждены отказаться от преобразований Галилея и использовать другие преобразования, относительно которых скорость света оставалась бы инвариантной величиной.

7.3. Преобразования Лоренца

Получим новые преобразования координат, исходя из следующих предположений. Поскольку любая новая теория, которая имеет более широкую область применения, чем старая теория, должна включать последнюю как предельный случай (принцип соответствия), то получаемые преобразования должны отличаться от галилеевских на некоторый коэффициент. Кроме того, учтем возможное изменение

свойств времени в разных ИСО, т.е. t′ ≠ t . Поскольку прямые и обратные преобразования Галилея имели вид

x = x′ + vt ; x′ = x – vt ,

то будем искать новые прямые и обратные преобразования в виде x = γ(x′ + vt′) ; x′ = γ(x – vt) .

Коэффициент γ в этих уравнениях одинаков в силу равноправия и эквивалентности прямых и обратных преобразований (ИСО равноправны). Дополним последние выражения уравнениями движения света в двух ИСО, учтя постоянство скорости света: x = ct; x′ = ct′ . Мы получили систему четырех уравнений. Решая ее, можно найти

		1
	γ = ------------------------------- ,
		1 – (v ⁄ c)2
а поэтому
		t′ + x′	v	v
			-------	-----
x′ + vt′	x – vt		c 2	t – x c2
x = ------------------------------- ;	x′ =-------------------------------	; t =-------------------------------		; t′=------------------------------- .(7.7)
1 – (v ⁄ c)2	1 – (v ⁄ c)2	1 – (v ⁄ c)2		1 – (v ⁄ c)2

Эти выражения были впервые получены в 1892 г. голландским физиком Х.А. Лоренцем (1853—1928). Уравнения Максвелла инвариантны относительно данных преобразований, но впервые физическую интерпретацию математических результатов Лоренца дал Эйнштейн.

92

7.4.Следствия преобразований Лоренца

1.Относительность одновременности событий

Пусть в системе (X , Y , Z) в точках с координатами x1 и x2 одновременно (t1 = t2) произошли два события (допустим, зажглись две лампочки). Зажгутся ли они одновременно в системе (X ′, Y ′, Z′)? Для ответа на вопрос найдем разность t2′ – t1′ :

			v	v	(x1 – x2 )	v
		t2 – x2	-----	-----		-----
t ′	– t ′		c2	t1 – x1 c2		c2
		= -------------------------------		– ------------------------------- =	-----------------------------	≠ 0 .
2	1	1 – (v ⁄ c)2		1 – (v ⁄ c)2	1 – (v ⁄ c)2

Таким образом, два события, одновременные в одной ИСО, могут быть не одновременными в другой ИСО. В связи с этим возникает вопрос: не может ли случиться так, что в одной из ИСО следствие предшествует причине ? Можно доказать, что при условии, что никакое материальное воздействие не может передаваться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме, следствие никогда не может предшествовать причине.

2. Длительность события в разных ИСО

Пусть в системе (X ′, Y ′, Z′) в точке с координатой x′ произошло событие длительностью t′ = t2′ – t1′ , где t1′ и t2′ — начало и конец

события по часам, покоящимся в системе (X ′, Y ′, Z′). Наблюдатель в системе (X , Y , Z) по своим часам отметит начало и конец этого события в моменты времени t1 и t2 , которые равны:

			t′	v
				+ x′ -------
			1	c 2
	t	1 =	-------------------------------		;
			1 – (v ⁄ c)2

			t′	v
				+ x′ -------
			2	c 2
	t	2 =	-------------------------------		.
			1 – (v ⁄ c)2

Длительность события в системе (X , Y , Z) составит

		t′
	t = t2 – t1 =	-------------------------------	.
		1 – (v ⁄ c)2

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущимся телом, называется собственным временем. В нашем случае это интервал t′ . Поскольку γ > 1, то t > t′ , т.е. в движущейся ИСО время идет медленнее.

Эффект замедления времени в движущейся системе отсчета хорошо согласуется с опытными наблюдениями над элементарными частицами (π-мезонами), которые движутся в космических лучах со скоростями, близкими к скорости света.

93

3. Длина отрезка в разных ИСО

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси OX ′ системы (X ′, Y ′, Z′) и неподвижный относительно этой системы координат.

Собственной длиной стержня называется величина l0 = x2′ – x1′ ,

т.е. длина, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится. Длина его в системе (X , Y , Z) будет l = x2 – x1,

причем измерения координат x1 и x2 проводятся в один и тот же

момент времени по часам системы (X , Y , Z). Поскольку эти два события — измерения координат x1 и x2, одновременные в системе

(X , Y , Z), — будут неодновременными в системе (X ′, Y ′, Z′), то удобнее воспользоваться обратными преобразованиями Лоренца (второе уравнение в выражении (7.7)). Тогда

l0 = x2′	– x1′	x	2 – vt2	x	1 – vt1	x	2	– x1		l
		= -------------------------------		– -------------------------------		= -------------------------------			= -------------------------------	1 – (v ⁄ c)2	.
		1 – (v ⁄ c)2		1 – (v ⁄ c)2		1 – (v ⁄ c)2

Поэтому длина стержня в системе отсчета, относительно которой он движется, составит

l = l01 – (v ⁄ c)2 .

Наблюдатель в системе ( X , Y , Z) находит, что длина движущегося стержня в 1 – (v ⁄ c)2 раз меньше его собственной длины.

4. Закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется в системе ( X ′, Y ′, Z ′). Поскольку ее координата вдоль оси OX ′ в данной системе определяется соотношением

x′

x – vt

,

(7.8)

=-------------------------------

1 – (v ⁄ c)2

то ее скорость относительно данной системы координат

u′ =

dx′

=

dx′

dt

=

dx′

dt′

–1

(7.9)

-------dt′

-------

d------t′

-------

------

.

dt

dt

dt

Из (7.8) находим:

dx′

u – v

-------

=

-------------------------------

,

(7.10)

dt

1 – (v ⁄ c)2

где и — скорость точки относительно системы (X , Y , Z).

94

Из последнего выражения (7.7) определим

	1	v
dt′		– u -----
	=	c2	(7.11)
------dt		.
	1	– (v ⁄ c)2

Подставив (7.10) и (7.11) в (7.9), получим:

	u – v	(7.12)
u′ = -------------------------- .
	1 – uv ⁄ c 2
Из этого выражения следует, что
	u′ + v
u =	-----------------------------
	1 + u′v ⁄ c 2 .	(7.13)

Напомним, что в классической физике выражениям (7.12) и (7.13) соответствовали u′ = u – v и u = u′ + v (см. (1.18)).

Применим релятивистский закон сложения скоростей к движению света в разных ИСО. Пусть свет распространяется в системе ( X , Y , Z): u = c. Тогда

u′	=	c – v	c – v	c .
		-------------------------	= ------------------ c2 =
		1 – cv ⁄ c 2	c2 – cv

Таким образом, в любой инерциальной системе отсчета скорость света постоянна и равна с, что и требуется вторым постулатом Эйнштейна.

Пусть в системе ( X ′, Y ′, Z ′) материальная точка движется со скоростью u′ < c, а сама система движется относительно ( X , Y , Z) со скоростью v < c. Если, например, u′ = 0,9c и v = 0,9c, то классический закон сложения скоростей даст нам, что скорость точки относительно системы ( X , Y , Z) составит u = u′ + v = 1,8c. Теория относительности дает другой результат:

c – u	= c –	u′ + v	=	c2	u′ + v	=	(c – v )(c – u′)	> 0 ,
		1-----------------------------+ u′v ⁄ c 2		-----	– -----------------------------		--------------------------------------
				c	1 + u′v ⁄ c 2		c(1 + u′v ⁄ c 2 )

откуда следует, что u < c, т.е. в любой ИСО скорость тела не может превысить с.

5. Пространственно-временной интервал

Поскольку пространство и время в СТО являются взаимосвязанными, то время выступает в преобразованиях Лоренца как равноправная четвертая координата. Можно представить существование четырехмерного пространства-времени, в котором оси X , Y , Z, ct взаимно перпендикулярны. Заметим, что координата по оси времени берется с множителем с, чтобы все координаты имели одинаковую размерность. Геометрическому расстоянию между двумя точками в

95

обычном трехмерном пространстве, которое определятся по теореме Пифагора (7.3), в СТО соответствует пространственно-временной интервал между событиями:

S = c2(t2 – t1 ) – (x1 – x2 )2 – (y1 – y2 )2 – (z1 – z2 )2 .

Можно показать, что интервал инвариантен относительно преобразований Лоренца.

7.5. Динамика в специальной теории относительности

Поскольку выражение x2 + y2 + z2 – (ct)2 инвариантно относительно преобразований Лоренца, то его можно представить как квадрат модуля (длину) некоторого вектора

ºρ = xºe1 + yºe2 + zºe3 + ictºe4 ,

где i = –1 .

Таким образом, рассмотрим четырехмерное пространство координат, в котором сохраняется длина этого вектора, а преобразования Лоренца осуществляют лишь его поворот.

Выберем такой случай движения двух ИСО, при котором y = y ′, z = z ′, что позволит упростить математические выкладки. Ограни-

		º	º	º
чимся рассмотрением двумерного вектора ρ			= x e1	+ ict e	4 . Основ-
				dºp	º
ной закон классической динамики записывается в виде ---------					= F , где
				dt
	º
º	d r	. Найдем выражение для релятивистского импульса.
p	= m ---------
	dt

Поскольку при нахождении преобразований Лоренца в преобразования Галилея вводился множитель γ, то введем этот множитель сейчас

º

º

=

m

γ

d ρ

в выражение для классического импульса: p

0

--------- .

dt

Вычислим силу:

º

d

m

dx

d

º

d p

º

(m

º

f

º

+ f

º

. (7.14)

F

= --------- = ----

γ ------

e

+ ----

γ ic e

)

=

e

e

dt

dt

0

dt

1

dt

0

4

1

1

4

4

Импульс определяется по следующей формуле:

º

= m0γ

-----dx º

º

º

º

(7.15)

p

dt

e1 + m0γ ic e4

= m0γ v e1

+ m0γ ic e4 .

96

Выясним смысл слагаемых выражения (7.14). Обратим внимание, что при γ = 1 (v << c) первое слагаемое дает выражение второго закона Ньютона (если m0 = m). Квадрат модуля импульса тела оста-

ется постоянным:

p2 = (m0γ v)2 + (m0γ ic)2 = (m0γ)2( v 2 – c2 ) =

	m02				2		2	2	2
=	-----------------------				( v	– c		) = – m0c .
	1 –	v		2
		---
		c

Поэтому производная по времени от квадрата импульса равна нулю:

dp2

d( p p )

º d p

ºº

º

-------- =

--------------------

= 2 p

---------

= 0 .

dt

dt

dt

С учетом (7.14) получаем:

º

ºd p

= m

γ vf

+ m

γ icf

= 0 .

p

---------

0

1

0

4

dt

vf1

v

. Видно, что при v << c величина f4 → 0,

Тогда f4 = –

-------

= i

----

ic

c f1

º

т.е. f 4 — исключительно релятивистский компонент силы. Его модуль

		d	(m0γ ic) =				v
f	4 =	----				i	----	f1 ,
		dt					c
поэтому
		d			γ c2 ) = f		v .
	---- (m			0		1
	dt

Таким образом, аналогом второго закона Ньютона в релятивистской динамике выступает система уравнений

f1			d	(m0γ v);
		= ----
		dt
									(7.16)
f		v =	d		(m		γ c2 ).
			----
	1		dt			0
Выражение
m0γ						m0
			=	-------------------------------					(7.17)
					1 – (v ⁄ c)2

называется релятивистской массой тела. Отметим, что при скорости движения тела v = 0 его масса m = m0 (масса покоя). При любой

скорости движения v > 0 масса тела больше массы покоя. При v = c масса тела неограниченно растет, что означает отсутствие массы покоя у таких материальных объектов (фотонов).

97

7.6. Связь массы и энергии

Рассмотрим второе уравнение системы (7.16): 1 dx = d ( 0γ 2 ) , f -----dt d----t m c

откуда следует, что f1 dx = d(m0γ c2 ) .

Левая часть последнего равенства представляет собой элементарную работу по перемещению тела, поэтому правая часть должна быть равна полному дифференциалу энергии тела:

W = m	0	γ c2	= -----------------	m--------------0	c2 = mc2 .	(7.18)
				1 – (v ⁄ c)2

Данное выражение определяет полную энергию тела в релятивистской механике. Рассмотрим, что дает это выражение при классическом характере движения тела (v << c), для чего воспользуемся

пределом lim (1 + x)α = 1 + αx :

x → 0
						2		1
				---v				– ---
W = m	c		1 –					2
				c
0

≈ m		c	1	v		2		= m		c2	1		v2 .
			1 + ---- ---								+ ---- m
	0		2	c					0		2	0

Первое слагаемое полученного выражения W0 = m0c2 носит

название энергии покоя тела. Второе слагаемое — его кинетическая энергия. Таким образом, кинетическая энергия тела — это разность полной энергии тела и его энергии покоя.

Выражение (7.18) устанавливает взаимосвязь между массой и энергией. Хорошо известно, что в природе происходит непрерывное превращение энергии из одной формы в другую. Как показывает опыт, форма существования массы тоже меняется. Например, при столкновении электрона и позитрона (которые обладают массами покоя), они могут аннигилировать, в результате чего образуются два гамма-кванта (порции электромагнитного излучения), не обладающих массами покоя. Однако гамма-квант обладает инертной массой, которая проявляется при столкновении с препятствием (например, давление света). При различных взаимопревращениях форм энергии и массы ни энергия, ни масса не исчезают и не возникают вновь, они только переходят из одной формы в другую так, что соблюдается выражение (7.18). Так, если два одинаковых шара из абсолютно неупругого материала движутся навстречу один другому с одинаковыми скоростями, то в результате удара они останавливаются. При этом исчезает кинетическая энергия макроскопического движения и увеличивается масса покоя этой системы.

98

Р а з д е л II

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Блестящие успехи механики Ньютона в описании движения материальных тел привели к формированию так называемой механической картины мира, сводящей все явления к результатам механических движений различных тел макро- и микроразмеров. В частности, возникла механическая теория тепловых явлений — молекулярная физика.

Молекулярная физика — раздел физической науки, в котором рассматривается зависимость агрегатных состояний и свойств тел от их строения, взаимодействия между частицами, из которых состоят тела, а также характера движения частиц.

Рассмотрим системы, состоящие из большого числа частиц (молекул). Их состояние описывается различными параметрами, поведение которых изучается термодинамическим и молекулярно-статисти- ческим методами, которые взаимно дополняют друг друга. В основе первого лежит применение эмпирических (опытных) законов: общефизического закона сохранения энергии (он в термодинамике называется первым началом термодинамики) и закона, определяющего направление протекания процессов взаимодействия в природе (второе начало термодинамики). Раздел физики, в котором свойства макроскопических систем изучаются с помощью термодинамического метода, называется термодинамикой. В основе молекулярно-статис- тического метода лежит представление о свойствах молекул. Математическая основа этого метода — теория вероятности.

Г л а в а 8

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

Любая выделенная макроскопическая система, которая рассматривается методами термодинамики, называется термодинамической системой. Все тела, не включенные в состав исследуемой системы, называются внешними телами или внешней средой. Молекулярная физика изучает термодинамические системы, состоящие из огромного числа молекул. Теория строения вещества, базирующаяся на молекулярных представлениях, называется молекулярно-кинетиче- ской. Ее основы заложил в середине XVIII в. М.В. Ломоносов.

99

8.1. Масса и размеры молекул

Для характеристики масс атомов и молекул применяются величины, называемые относительной атомной массой элемента и относительной молекулярной массой вещества. Относительной атомной массой элемента Аr называется отношение массы атома этого

12

элемента к 1/12 массы изотопа углерода 6C . Относительной молекулярной массой вещества Мr называется отношение массы моле-

12

кулы этого вещества к 1/12 массы изотопа углерода 6C . Как следует

из их определения, относительные атомная и молекулярная массы являются безразмерными величинами. Единица массы, равная 1/12

12

массы изотопа углерода 6C , называется атомной единицей массы

(а.е.м.). Если ее обозначить как mед , то масса атома может быть вычислена как Аrmед , а масса молекулы как Мrmед .

Количество вещества, в котором содержится число частиц (атомов, молекул, ионов и т.д.), равное числу атомов в 0,012 кг углерода

12C , называется молем. Из определения единицы количества вещества следует, что в 1 моле любого вещества содержится одно и то же число молекул. Опытным путем было установлено, что это число,

называемое числом Авогадро NA, составляет NA = 6,022æ1023 моль– 1. Если обозначить массу одной молекулы как m0, то масса произвольного количества вещества, содержащего ν молей, равна m = m0NA ν = = μν. Величина μ = m0NA называется молярной массой вещества.

Она равна массе всех молекул 1 моля вещества, или отношению массы вещества к содержащемуся в нем количеству вещества.

Для углерода 12C молярная масса μ = 0,012 кг/моль, а масса атома равна 12mед . Следовательно,

0,012 = NA12mед ,

откуда mед = 1,66æ10– 27 кг. Поэтому масса любого атома равна

1,66æ10– 27Аr кг, а масса любой молекулы составляет 1,66æ10–27Mr кг. Поскольку NA mед = 0,001 кг/моль, то масса моля, выраженная в граммах, численно равна относительной молекулярной массе.

Если мы захотим оценить размер молекул, то приближенную оценку объема одной молекулы можно получить, разделив объем моля вещества на число молекул в моле (число Авогадро). Например, моль

100