Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

	l	l		X
			N	R
	1	2
			mg
		Рис. 5. 4
		→
		Рис. 5. 5		mg

со стороны стола. Если бы правый шарик ударился о вертикальную стенку, пока левый лежит на столе, это бы означало, что центр тяжести системы шариков сместился бы влево. Однако это невозможно, так как суммарная проекция внешних сил системы на ось Х положительна.

Следовательно, сначала первый шарик соскользнет с горизонтальной поверхности.

Пример 5.4. Идеальный стержень, способный вращаться вокруг горизонтальной оси Z, удерживают в положении под углом α к горизонту (рис. 5.6). Определите угловое ускорение стержня и силу реакции оси в первоначальный момент после отпускания стержня. Трение в оси отсутствует.

C

ma

α

R

α

a

C

R

mg

←

Z Рис. 5. 6

Рис. 5. 7

mg

1

2

Момент

инерции

такого

стержня

равен I =

----

ml . Основное

3

º

º

= ∑ Mi запишем

уравнение динамики вращательного движения I ε

1

2

εz = mg

l

cos α . Откуда угловое уско-

в проекции на ось Z

:

----

ml

----

3

2

рение стержня равно ε

=

3

g cos α

----

---------------- . Ускорение центра масс стержня

z

2

l

l

3

----

=

----

aC = ε 2

4 g cos α .

71

º	º	º
Второй закон Ньютона m aC	= m g	+ R означает, что можно

º

построить треугольник сил (рис. 5.7), в котором сторону R можно найти по теореме косинусов:

R = (mg)2 + (maC )2 – 2mgmaC cos α ,

откуда

		15	2
R = mg	1 –	-----	cos α .
		16

Пример 5.5. Брусок массой т и длиной l лежит у границы двух горизонтальных поверхностей так, как показано на рис. 5.8. Коэффициенты трения бруска о поверхности различны и равны μ1 и μ2 соот-

ветственно. Какую работу надо совершить, чтобы медленно переместить брусок вправо с одной поверхности на другую?

μ=μ1	F
	μ=μ2

		μ2mg
	F
l
0	X	μ1mg

Рис. 5. 8	→
	Рис. 5. 9	0	l	X

Медленное перемещение бруска возможно лишь при условии F = = Fтр . Построим зависимость этой силы от координаты х правого

края бруска. Она изменяется по линейному закону от F1 = μ1mg до F2 = μ2mg. Построим график этой зависимости (рис. 5.9). Площадь заштрихованной фигуры дает искомую работу

1 (μ μ ) mgl (μ μ )

A = ---- 1mg + 2mg l = --------- 1 + 2 . 2 2

Пример 5.6. Брусок массой M покоится на идеально гладком столе. Частица массой т налетает на брусок со скоростью v, образующей угол α с поверхностью бруска. С какой скоростью u частица отскочит от бруска после абсолютно упругого удара? Поверхность бруска идеально гладкая.

На виде сверху (рис. 5.10) показаны положения системы тел до и после удара. По условию задачи эта система тел замкнута и консервативна. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси X и

72

	Вид сверху		Y
	α	v				u
									v1
	M
	а)							б)		X
			Рис. 5. 10

Y и закон сохранения энергии: p1x = p2 x , p1 y = p2 y , W1 = W2. Эти соотношения имеют вид:

mv sin α = m ux + Mv1,				mv cos α = m uy ,
	mv 2 ⁄ 2 = mu 2 ⁄ 2 + Mv2				⁄ 2 .
				1
Из этих уравнений получаем ответ:
u =	M – m		2	2α + v2	cos2α .
	---------------		v 2 sin
	M + m

Пример 5.7. Стержни одинаковой длины l, но разных масс m1 и m2, способные без трения вращаться относительно общей горизон-

тальной оси Z, приводят в горизонтальное положение и отпускают (рис. 5.11). При ударе стрежни слипаются. Найдите максимальный угол отклонения слипшихся стержней от вертикали после удара, если m2 < m1 .

В процессе неупругого удара механическая энергия стержней не

º

сохраняется. Из-за действия внешней силы реакции оси N во время удара не сохраняется импульс этой системы. Поскольку моменты

Начальное положение

m1

Z

m2

Z

Конечное

положение

α

Удар

Рис. 5. 11

73

	º	º
	сил N
		и m g	во время удара равны нулю, то приходим к выводу:

во время удара сохраняется проекция момента импульса системы Lz на ось вращения.

Угловую скорость ω0 каждого стержня до удара найдем из закона сохранения энергии:

Iω02						ml 2ω02		l
--------	= mg		hC		, или	----------------	= mg	----	, т.е.
2						6		2

ω0 =	3g
	----- .
	l

Угловую скорость совместного движения стержней сразу после удара найдем по закону сохранения проекции момента импульса: Lz1 = Lz2, т.е.

		m	1	l 2	ω0 –	m	2	l 2	ω0 =	(m	1	+ m	2	)l 2	ω ,
		------------				------------				--------------------------------
			3				3					3
откуда ω =	m1	– m2			ω0 .
	---------------------
	m1	+ m2

После удара механическая энергия перестает изменяться, тогда

закон		ее	сохранения					можно	записать	в	виде:
(I1 + I	2 )	ω2	= (m		+ m		l
---------------------				1		2	)g ---- (1 – cos α) .
2							2

Совместное решение уравнений дает ответ для максимального угла отклонения

α = arccos		m1		– m2			2		.
	1 – ---------------------
		m	1	+ m	2

74

Г л а в а 6

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука и т.п.); электромагнитные колебания (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона) и пр. Система, совершающая колебания, называется

колебательной системой.

6.1. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение колебаний

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, происходящие в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникающие вследствие начального отклонения системы от положения устойчивого равновесия.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Периодическими колебаниями называются колебания, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний.

Частотой периодических колебаний называется величина ν = 1/T, равная числу колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) частотой колебаний называется величина ω = = 2πν = 2π / T, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени.

Пусть отклонение колебательной системы от положения равновесия характеризует величина s. Периодические колебания величины

s(t) называются гармоническими колебаниями, если
s(t) = A sin (ωt + ϕ0 ) ,	(6.1)

75

где A — амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины A = smax > 0).

Значение s в произвольный момент времени определяется значением фазы колебаний ϕ(t) = ωt + ϕ0 ; ϕ0 — начальная фаза, т.е. значение ϕ(t) в момент времени t = 0.

Из (6.1) видно, что первая и вторая производные s (t) по времени также совершают гармонические колебания той же частоты:

ds ⁄ d t = Aω cos (ωt + ϕ0 ) = Aω sin (ωt + ϕ0 + π ⁄ 2);
d 2s ⁄ d t 2 = – Aω2 sin (ωt + ϕ						(6.2)
	0	) = Aω2 sin (ωt + ϕ		0	+ π),
причем амплитуды ds ⁄ d t и d 2s ⁄ d t 2			соответственно равны Aω и

Aω2. Видно, что ds ⁄ d t опережает s по времени на T / 4, а по фазе на

π / 2; d 2s ⁄ d t 2 опережает s(t) по времени на T / 2, а по фазе на π . Графики s(t) и ds ⁄ d t при ϕ0 = 0 приведены на рис. 6.1. Из (6.2) следует,

что гармонически колеблющаяся величина s удовлетворяет дифференциальному уравнению

d2s		+ ω2s = 0 ,	(6.3)
--------
d t	2

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

s

t

ds

dt

Tt

Рис. 6. 1

76

6.2. Векторные диаграммы

Гармонические колебания параметра s(t), которые описываются уравнением s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) , можно изобразить графически с помощью вращающегося на плоскости вектора (рис. 6.2). Для этого

º

из начала координат на плоскости проводят вектор A , модуль кото-

º

рого равен амплитуде колебаний. Вектор A составляет с осью ОХ угол ϕ = ωt + ϕ0, равный фазе колебаний в данный момент времени t.

С течением времени угол увеличивается так, что вектор вращается вокруг центра координат с угловой скоростью, равной циклической частоте гармонических колебаний. Проекция вектора на ось ОХ совершает гармонические колебания по закону s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) . Гра-

фическое изображение гармонических колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм. Им широко пользуются, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

Рассмотрим сложение двух колебаний, одно из которых совершается по закону s1(t) = A1 cos (ωt + ϕ01 ) , а другое по закону s2 = = A2 cos (ωt + ϕ02 ) . В результате сложения этих колебаний получа-

ется тоже гармоническое колебание вида s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) . Это

нетрудно доказать с помощью метода векторных диаграмм (рис. 6.3). Если каждому из данных колебаний поставить в соответствие вращающийся вектор, то результирующее колебание определится вращением суммы векторов. Из рис. 6.3 видно, что амплитуда результирующего колебания находится по теореме косинусов следующим образом:

A = A2

+ A2

+ 2A

1

A

2

cos (ϕ

02

– ϕ

01

) .

(6.4)

1

2

ωt

A

A

A2

ϕ

O

X

A1

Рис. 6. 2

O

ϕ02 ϕ01

ϕ0

Рис. 6. 3

77

Начальную фазу результирующего колебания можно определить из соотношения

	tg ϕ0		A1 sin ϕ 01	+ A2 sin ϕ 02
		=	----------------------------------------------------------		.
			A1 cos ϕ 01	+ A2 cos ϕ 02

Сумма двух векторов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями, будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, мы доказали, что в результате сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, получается гармоническое колебание той же частоты, причем его амплитуда удовлетворяет условию A1 – A2 ≤ A ≤ A1 + A2 .

6.3. Динамика гармонических колебаний

Получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний из уравнений, описывающих колебательный процесс. Рассмотрим колебания пружинного маятника — груза массой т, подвешенного на идеальной невесомой пружине жесткостью k (рис. 6.4). На

º
такой груз действуют сила тяжести m g	и сила упругости растяну-

º

той пружины Fупр . В положении равновесия модули этих сил одинаковы: mg = Fупр . Если обозначить через l статическое растяже-

ние пружины от недеформированного состояния, то, согласно закону Гука, в положении равновесия Fупр = k l = mg. При выведении груза

из положения равновесия модуль силы упругости изменяется с учетом деформации пружины. Растянем пружину вниз на длину х, тогда Fупр = k ( l + x ). Если пренебречь действием сопротивления воз-

духа, то при отпускании груза он начнет совершать гармонические колебания. Докажем это. Уравнение второго закона Ньютона для

груза можно записать следующим образом:

ma = mg – Fупр = mg – k ( l + x ) = = mg – k l – kx = – kx.

Fупр

m

Поскольку a = d 2x/d t2, то из этого уравнения получаем:

d2x			k
--------		+	---	(6.5)
d t	2		m x = 0 .

			Если рассматривать смещение груза от положения
	mg
			равновесия в качестве параметра колебаний, то урав-

Рис. 6. 4 нение (6.5) совпадает с дифференциальным уравне-

78

нием (6.3), т.е. является уравнением собственных колебаний пружинного маятника. Частота собственных колебаний

ω0 = k ⁄ m .

(6.6)

При отсутствии трения пружинный маятник колеблется по гармоническому закону с периодом T = 2π m ⁄ k .

Рассмотрим физический маятник — твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести тела и называемой осью качания маятника (рис. 6.5). Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника, называется точкой подвеса маятника. Если пренебречь силами трения в подвесе маятника и силой трения о воздух, то момент относительно оси качания создает только сила тяжести

mº . При отклонении маятника на угол α от положения равновесия g

момент силы численно равен mg l sin α, где l — расстояние между центром масс и точкой подвеса. Этот момент возвращает маятник в положение равновесия, поэтому его направление противоположно угловому перемещению. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения (4.16) для физического маятника имеет вид:

d2	α	= – mgl sin α ,
---------
Iz	2
d t

где Iz — момент инерции маятника относительно оси качания.

Z

O

α

Мmg

αlпр

l

C

O1

mg

Рис. 6. 5

79

Рассматривая малые колебания тела, при которых sin α ≈ α, получаем уравнение

d2α		mgl	α = 0 ,
---------	+	---------		(6.7)
d t 2		Iz

т.е. угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (6.3). Следовательно, при отсутствии трения малые колебания физического маятника являются гармоническими, причем в уравнении колебаний в качестве параметра колебаний выступает угол отклонения маятника от положения равновесия.

Частота собственных колебаний физического маятника

ω0 = mgl ⁄ Iz ,

(6.8)

период колебаний T = 2π Iz ⁄ (mgl) .

«Материальная точка», подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, называется математическим маятником. Математический маятник — частный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что

Iz = ml 2, поэтому для математического маятника

ω0 = g ⁄ l , T = 2π l ⁄ g .

(6.9)

Если сопоставить (6.8) и (6.9), то видно, что математический маятник с длиной нити подвеса lпр = Iz ⁄ (ml) имеет тот же период

колебаний, что и физический маятник массой т, моментом инерции Iz и расстоянием между точкой подвеса и центром масс l. Длина

математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и данный физический маятник, называется приведенной длиной физического маятника. Точка О1, лежащая на прямой ОС на

расстоянии lпр от точки подвеса маятника (рис. 6.5), называется

центром качаний маятника. Центр качаний и точка подвеса обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с

новым центром качаний маятника, т.е. приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними.

80