Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

590	Приложение
грассмановым переменным обладало тем же свойством:
|</0ф(0) = |</0ф(0 + с).	(П.4.39)

Если разложить эту функцию ф(0) в ряд Тейлора, получим простое выражение

ф(0) = а + 60.				(П.4.40)
Определив
'о = И'				(П.4.41)
/ 1 = j v e e ,
из условия трансляционной инвариантности получим
f й?вф(0) = al0 + М, = (а + Ьс)10 + М,.				(П.4.42)
Отсюда ясно, что мы должны положить /0 = 0, a				можно взять равным
единице:
/ 0 = о,				(П.4.43)
Л = 1.
то есть
JJ0 = 0;	J r f e e = l .			(П.4.44)
Другими словами, мы получили странно выглядящее тождество
И =				(П.4.45)
С помощью этих тождеств можно показать, что
N	Г	N
j П	exp	X A i A	= det (Aij).	(П.4.46)
i — 1	L i j = 1		J
Таким образом, в общем случае инвариантное действие имеет вид
(см. (П.4.27),	(П.4.30))
V(x, 0)		D-член,		^yi4 47)
§ cPQctx ф(;с, 0)		F-член.

Первый интеграл выделяет только D-член суперполя. Второй интеграл выделяет только F-член кирального суперполя. В общем случае будем называть их F и D членами. Можно проверить, что они являются инвариантными действиями:

5 J d*xV = \d*xzaQaV = 0.			(П.4.48)
Это следует	из того,	что интеграл от	полной производной	как
в ^-пространстве, так и в 0-пространстве равен нулю.
Попробуем	теперь	выписать простые	инвариантные действия,	ос-

§ П.4. Краткое введение в суперсимметрию

591

нованные на инвариантных F и D членах. Простейшее инвариантное действие называется моделью Весса-Зумино:

S = Jrf»*99 +

+ imcp2 + ^ Ф 3 ] + h. с.).

(П.4.49)

Выписанная покомпонентно после интегрирования по 0, оно принимает вид

S = \d*x{-\{d^A)2 - 1(3,Д)2 - \ хГд^х + \F2 + I G2 }.

(П.4.50)

Заметим, что теперь мы построили инвариантное действие с неприводимым представлением суперсимметрии с мультиплетом, содержащим спин 0 и спин 1/2: (1/2, 0). Чтобы построить мультиплет (1, 1/2), нужна следующая конструкция для действия Максвелла, которая дается формулой

S = $d4xd2QWA WA .	(П.4.51)
Здесь
WA = B2DAV9
WA = D2Da V,	(П.4.52)
DAWB = 0,

где К-вещественный векторный супермультиплет, преобразующийся как

5К= А — А •

(П.4.53)

Поле V вещественное, но А-киральная величина: А+ = — А. Выполнив это преобразование, находим, что

ША = 0,

(П.4.54)

так что это действие тривиально инвариантно как относительно преобразований суперсимметрии, так и калибровочных преобразований группы U(l). Заметим, что векторный супермультиплет содержит поле Максвелла А , тогда как киральный супермультиплет А содержит калибровочный параметр X. Это действие, выписанное покомпонентно, есть

s =	fI-]-	+ \D2)-	<ПА55)
Оно инвариантно относительно преобразования
5 ^	= 6 у д ,
6y = ( - I ^ v F , v + y5D)8,			(П.4.56)

5 о = ё у 5 у ^ 1 | / .

592	Приложение

Следующий мультиплет, интересующий нас, это (2, 3/2). Раньше считалось, что теория РаритыШвингера порочна в своей основе, поскольку она не допускает непротиворечивых взаимодействий с дру. гими полями. Однако физики просмотрели возможность взаимодействия поля Рариты-Швингера с гравитоном. Все несоответствия исчезают для этого мультиплета.

§ П.5. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СУПЕРГРАВИТАЦИИ

Существует по крайней мере четыре способа сформулировать теорию супергравитации:

(1)Покомпонентное представление. Этот метод широко использует технику проб и ошибок, однако он дает наиболее явную форму действия.

(2)Представление с помощью кривизны. Этот метод опирается на теорию групп и аналогию с теорией Янга-Миллса.

(3)Тензорное исчисление. Оно дает точные правила умножения представлений суперсимметрии.

(4)Суперпространство. Это наиболее изящная формулировка супергравитации, однако она же и самая трудная. Суперпространственные формулировки для высоких значений N пока что неизвестны,

поскольку ограничения на кручение слишком трудно разрешить.

Мы остановимся на методе кривизны, поскольку он напоминает построение теории ЯнгаМиллса, которой мы пользовались до сих пор.

Поскольку группа Osp(l/4) имеет 14 образующих, определим 14 полей связности группы Osp(l/4) выражением

К = ( < , < , < ) .	(П.5.1)
Тогда глобальная вариация полей связности есть
5 / * ? = / 2 с е Ч ,	(П.5.2)
где
=(8°, 8оЬ, 8а).	(П.5.3)
Ковариантная производная теперь дается выражением
= др + е;ра + <МоЬ + ^1а<2а(а > Ь).	(П.5.4)
Под действием локального калибровочного преобразования эти поля
преобразуются как
M ^ d ^ + h ^ f b .	(П.5.5)

Теперь возьмем коммутатор двух ковариантных производных:

[ V , , 4 v 2 = R ^ M a ,

(П.5.6)

§	П. 5. Краткое введение в	теорию супер гравитации	593
где
К = № - дЛ + h*hcJtB.			(П.5.7)
В покомпонентной записи получаем
R&(M) = ^cof + <CDcvb - (jj, «—• v),			(П.5.8)
K m =	+ y v < G o b - (p^v).
Легко показать, что вариация кривизны есть
5 < = < s 7 c B .			(П.5.9)
Действие теории супергравитации теперь запишется в виде
S = lctxz^{R,v(M)abR,a(M)cdzabcd +		/ие)а Яра(е)Р (У5 аР } •	(П.5.Ю)

Если теперь проварьировать это действие, то окажется, что оно не является вполне инвариантным, если только не положить

R»AP)a = 0.	(П.5.11)
Выписанное выше действие инвариантно с точностью до члена
б с о Г Д ^ ) .	(П.5.12)

Однако поскольку мы наложили эту связь (П.5.11) с самого начала, то это действие и в самом деле вполне инвариантно при данном преобразовании.

Такая связь выглядит весьма искусственной, пока не осознаешь, что она на самом деле эквивалентна обращению в нуль ковариантной производной от тетрады (П.2.31). Поэтому мы выбираем тетраду с нулевой производной, чтобы получить инвариантное действие.

Окончательное действие имеет вид

L =

eR - I^yvy5DaV|/P8^p.

(П.5.13)

К сожалению, для более высоких N найти действия намного труднее. Метод суперпространства пока что не позволил найти решения для высших N, но супергравитация для N = 8 была построена с помощью следующего трюка: расширив размерность пространства-времени до 11, можно построить N = 1, D = 11 супергравитацию. Затем компактификацией редуцируем эту теорию к N = 8, D = 4 супергравитации.

Исходной точкой для построения 11-мерной супергравитации будет осознание того факта, что нам необходимы равные количества бозонных и фермионных полей. Методом проб и ошибок найдем, что следующий выбор даст нам равные количества этих полей:

е м = 1 - 9 x 1 0 — 1 = 4 4 компоненты,

38-787

594	Приложение
Ум = \(9 х 32 - 32) = 128	компонент,	5

84 компоненты.

- О -

Здесь тетрада трансверсальная и бесследовая, а Г • ц/ = 0. Тогда непосредственными вычислениями Креммер, Джулиа и Шерк доказали, что следующее действие инвариантно в 11-мерной теории:

L=-^eR-\eyM TMNPDN					[I(a>	+	A)] i|/P	-	i	eF2MNPQ
			348			+	1 2 y N r ^ V ) ( F +			F)NPQR
		x/2x			*11Fm1		M4FM5	Afg A-Mg, м 1 0 , м п ,			(П.5.15)
		3456
где
beh		= 2	1-кг)ГА\|/м,
5Лмл,р=				v/2							(П.5.16)
				- • ^ - t i r [ M A r V q .
5Vm		= x - ' D ^ ^ t ,			+ ^		- 85^
и где
&МАВ = сом^в + lVrPMABQVQ,											(П.5.17)
FMNPQ-это Лмлгр, а FMNPQ-суперковариантизация										FMNPQ\ мы выбра-
ли	{ГА, Гв}			= 2х\АВ,	антисимметризация			проводится по			формуле
ГАВ =1- (ГА Гв				- Гв Г'4),	индексы	ЛВС относятся			к	плоскому	простран-
ству,	а	MNP- к искривленному.

N= 1, D = 10 супергравитацию можно получить обрезанием предыдущего действия. Спинор разлагается на пару майорана-вейлевских

гравитонов и пару майорана-вейлевских фермионов со спином 1/2. Тетрада разлагается на 10-мерную тетраду и скалярное поле ср, тогда как антисимметричное тензорное поле разлагается на бозонное поле ВмN-

Таким образом, редукция дает следующий набор полей:
{ем; ф; Bmn};	(П.5.18)
Окончательно действие в десятимерии принимает вид

e-'L = ~ R - I

-

1<?-312НиР

§	П.5. Краткое	введение в	теорию	супергравитации	595
-1хгм	DMX -	^(ф-'^ф2	-	Ь^2 у^ГГ-Мф-'З^ф)

+

(П.5.19)

где

г.ф-Ъ

§Ф = — —

=	/2	-	- /2	(П.5.20)
	О		8
=				HNPQ+ ...

и Н = dB, и где ... означает четырехфермионные члены типа Ферми, которые мы опустили. Это низкоэнергетический предел струн типа IIA (поскольку фермионы обладают киральностями, противоположными исходным, в результате размерностной редукции). Поэтому нет и аномалий по сравнению с этой теорией, так как нет киральной асимметрии.

Теория типа ИВ, однако, не может быть получена из размерностной редукции, так как она содержит фермионы одинаковой киральности (и, значит, содержит аномалии). В теории типа IIB вообще нет ковариантного действия (но имеются уравнения движения на массовой оболочке и корректно определенное действие в переменных светового конуса).

Далее, нам нужно найти взаимодействие супергравитации с веществом теории Янга-Миллса. Супер-янг-миллсовский мультиплет сам по себе дается выражением

{Л-иМС},

(П.5.21)

где а представляет элементы изоспиновой группы. Заметим, что на массовой поверхности имеется одинаковое количество бозонов и фермионов. Окончательный вид действия дается формулой

e'lL = e-lLSG(HMNP) - [-<р~3'4FhN FMNa - ^"Гм(/)м(ю)хГ

- Iх Ф " 3 ' 8 х°Г м Г""(Пр + F"np)(v„ + 1 Jl Гм X)

+ -^Ч/2ХФ~3/4ХТМЛ"' %°HMNP

38»

596	Приложение
-	±у/2*2ха ГЫНРхаЧа (WMNP Г° + ЗГ° TMNP) X

- 5I2 х2 Г Г М Ы Р Х ° Л Г М ЫXР - ± х 2 х °ГМЫРХ° l b T M N PX b ,

(П.5.22)

где, что удивительно, мы должны изменить условие Н = dB так, чтобы получилось

Н = dB — 2 ~ 1 / 2 хсо3 .	(П.5.23)
Здесь со3-член Черна-Саймонса:
со3 = Tr (AF - \ дА3).	(П.5.24)

Вариация В под действием калибровочного преобразования теперь

равна

5 5 = 2"1/2 х Tr (A dA),

5 t f = 0 .			Щ . ^ )
Это действие инвариантно относительно преобразования
ЬАм =	ф3/8 г\ Гм >
5 х" =	-1Iср»*rM N F°un л	+ £х {3 Xх" л
	4	о4
-^Гм"5С0Гм*г|		п}.	(П.5.26)

Преобразования полей супергравитации те же, что и прежде (при модифицированном поле //), и новые, которые нужно добавить к закону преобразования, суть

= /2	Г Г*
b'BMN = 2 " 1 / 2 Х ф 3 / 8 л Т ш х Л А щ>		(П.5.27)
=	°{rMNPQ ~	5^rPQ) Л .

Возникает очевидный вопрос: существуют ли теории супергравитации для N = 8? Скорее всего, нет, поскольку суперсимметричные генераторы

(образующие группы Osp(N/4)) имеют спины 1/2. Если взять состояние гравитона с наивысшей спиральностью и подействовать на него всеми возможными Q, мы обнаружим, что этот ряд должен в конце концов оборваться, в противном случае мы бы получили частицы со спинами 5/2 и 3:

QaQpQJ г р а в и т о н ) .

(П.5.28)

§ П.6. Словарик терминов

597

Хотя для свободных полей можно построить теории со спинами 5/2 и 3, представляется, что они окажутся противоречивыми при взаимодействии с другими частицами. Таким образом, поскольку между 2 и —2 имеется восемь полуцелых значений спина, то N должно быть равным

восьми в выписанном выше ряде. Поэтому О (8) является наиболее обширной группой для теории супергравитации со значениями спина не выше 2.

§ П.6. СЛОВАРИК ТЕРМИНОВ

Автоморфная функция. Функция называется автоморфной, если она

инвариантна относительно действия проективного преобразования: \j/(z) = i|/ \_P{z)~\. Автоморфные функции служат подынтегральными выражениями в формулах для ЛГ-петлевой амплитуды струны.

Аномалия-неспособность классической симметрии (глобальной или

локальной) сохраниться в процессе квантования. Она возникает, когда ток, связанный с данной симметрией, перестает сохраняться из-за квантовых поправок. Самая важная аномалия в теории суперструн-это конформная аномалия, что фиксирует размерность пространства-вре- мени: она должна быть равной 26 или 10. Кроме того, исчезнование киральной аномалии заставляет обращаться к группам вроде Е8 ® Е8 и О(32). Можно также показать, что теория струн свободна от глобальных аномалий, которые могли бы нарушить модулярную инвариантность, так как последняя является глобальной симметрией.

Бетти число. /?-е число Бетти-это число независимых гармонических

/?-форм для данного вещественного многообразия. Оно также равно размерности р-й группы когомологии или р-и группы гомологии для этой поверхности. Для двумерного тора первое число Бетти просто подсчитывает число независимых один-циклов. Поскольку двумерный тор содержит только два независимых цикла, то первое число Бетти в этом случае равно двум. Числа Бетти важны как топологические характеристики, обеспечивающие удобный способ классификации топологически эквивалентных поверхностей. Если две поверхности топологически эквивалентны, то их числа Бетти совпадают. Важные топологические характеристики, вроде эйлеровой, строятся из чисел Бетти.

Бозонизация- процесс построения фермионов из бозонов в двумер-

ном случае, т. е. ц/ = : :. Прежде это считалось невозможным. Очевидная причина, по которой такая процедура осуществима лишь в двумерном случае, состоит в том, что группа Лоренца в двумерном случае имеет лишь одну образующую, так что понятие «спина» становится тривиальным. Поэтому подлинный смысл бозонизации-это образование антикоммутирующих переменных из коммутирующих. В конформной теории поля бозонизация играет важную роль в построении действительно удовлетворительной фермионной вертексной функции. Это достигается, так как бозонизация дает явный вид неприводимых представлений алгебры Каца-Муди для группы SO(10).

598	Приложение

Бьянки тождество-это тождество для два-форм кривизны, являю-

щиеся следствием тождеств Якоби для ковариантных производных:

[ D b l , [ D v , D 4 ] ] = 0.

Выписанное в явном виде, оно есть

Поскольку это всего лишь тождество, оно не содержит никакой новой физической информации.

Вакуумное состояние есть нижнее состояние в гильбертовом про-

странстве. Оно соответствует классическому решению уравнений движения, полученному до введения квантовых поправок. Так, в теории струн классические решения, определенные на пространствах Кала- би-Яу или на пространствах орбиобразий, соответствуют вакуумному состоянию полной квантовой теории. Важнейшая нерешенная проблема - вычислить, какие вакуумные состояния неустойчивы, а какие должны затухнуть в «истинный» вакуум. К несчастью, теория возмущений, служащая основным инструментом квантовой теории поля, недостаточна для определения того, какие вакуумные состояния неустойчивы в рамках теории струн.

Вейлевский спинор-представление матриц Дирака с определенной

киральностью; это означает, что собственное значение 1 d +1 равно или + 1, или —1. Вейлевские спиноры могут быть определены лишь в пространстве с четным числом измерений.

Вейлевское преобразование-преобразование, порожденное изменение

масштаба.

Верма модуль-набор состояний, порождаемых действием на вакуум-

ный вектор | h) с собственным значением h всеми возможными комбинациями повышающих операторов L_„(a, < a i + l ) :

LA'AIL\...L\\h).

Модель Верма характеризуется двумя числами: собственным значением h оператора L0 и центральным членом с. Если детерминант Каца отличен от нуля для всех элементов модуля, то последний образует неприводимое представление конформной группы.

Вещественное проективное пространство-множество прямых в Rn + 1 ,

проходящих через начало координат. Оно эквивалентно сфере S „ B R " + 1 с отождествленными диаметрально противоположными точками (т.е. два единичных вектора х, х' определяют одну и ту же прямую в Rn + 1,

если х = Хх'). Заметим, что

Р3 (R) = SO (3) = .

Эйлерова характеристика поверхности Рп (R) равна п - h i . Эта поверхность ориентируема, если п нечетное, и неориентируема, если п четное.

§ П.6. Словарик терминов

599

Вильсоновские линии. Калибровочно инвариантная вильсоновская

петля-это контурный интеграл

U = Ре1 S<dzA,

где путь интегрирования выбирается вдоль замкнутой кривой С, а А - один-форма связности для некоторой алгебры Ли. Если многообразие является односвязным (т.е. любая замкнутая линия на этой поверхности может быть непрерывным образом стянута в точку), то обращение А в нуль означает, что U = 1. Однако если многообразие неодносвязно, то U необязательно равен единице при обращении А в нуль. Поэтому Е6 можно свести к подгруппе, коммутирующей со всеми элементами U. Это называется нарушением симметрии посредством вильсоновских линий.

Вирасоро алгебра-бесконечномерная алгебра, образующие которой

подчиняются соотношениям
Lm ] =(n-m)Ln + m	-п) &п,-т.

При с = 0 получаем алгебру Уитта, определяющую репараметризацию окружности посредством преобразования zn+1d2. Алгебру Вирасоро часто обозначают Vect^). Группа, порождаемая этой алгеброй, есть Diff(51), т.е. группа диффеоморфизмов окружности. Алгебра Вирасоро не является алгеброй Каца-Муди, но можно строить полупрямое произведение этих двух алгебр. Кроме того, с помощью конструкции Сугавары можно строить образующие алгебры Вирасоро, взяв квадраты образующих алгебры Каца-Муди. Алгебра Вирасоро совершенно необходима для понимания теории струн по нескольким причинам. Во-первых, образующие алгебры Вирасоро естественным образом появляются при вычислении компонент тензора энергии-импульса для струны. Во-вторых, их коммутационные соотношения соответствуют репараметризационной и конформной симметриям струны. В-третьих, операторы алгебры Вирасоро порождают конформные преобразования двумерной мировой поверхности, действуя на амплитуду струны. В-четвертых, их положительные моменты уничтожают физические состояния, что существенно при доказательстве отсутствия в теории струн духовых состояний. В-пятых, оператор Q формализма BRST построен из образующих алгебры Вирасоро.

Вложение спиновой связности-помещение спиновой связности, пре-

образующейся под действием группы О (6) в касательном пространстве, в калибровочную связность, преобразующуюся под действием калибровочной группы. Вложение спиновой связности является простейшим способом удовлетворить тождествам Бьянки при компактификации пространств Калаби-Яу. Это также позволяет редуцировать калибровочную группу. Если спиновая связность обладает группой голономий SU(3) (чтобы она могла сохранять ковариантно постоянный спинор), то ее вложение в калибровочную группу гетеротической струны редуцирует