Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

в ы ч и с л е н

(11.9.60)

п р е д с т а в л е н и е

550 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Заметим, что вклад Ja в тензор энергии-импульса Тв имеет форму Сугавары, т.е. генераторы Ja алгебры_Каца-Муди входят в него квадратично. Это означает, что вклад Ja в конформную аномалию

известен точно. Прямым вычислением можно найти коммутатор между двумя тензорами Тв и, следовательно, получить полный вклад в кон-

формную аномалию:

с = \d(G) + d{G)k~Ckl[G\

(11.9.56)

где первый член возникает из-за полей ц/°, а второй член может быть вычислен, поскольку тензор энергии-импульса имеет форму Сугавары.

Подставляя значения
d(G) = n2 - 1;	С2(G) = п,										(11.9.57)
мы находим, что
с = («2 - l	)	[	l	(	1	1	.	9	.	5	8	)

должно равняться шести.

Пока наши результаты еще очень слабы; мы не можем сделать какого-либо заключительного утверждения, поскольку значение к неиз-

вестно. Сделаем теперь ключевой шаг в нашем доказательстве. Условие унитарности представления алгебры супер-Каца- Муди при-

водит к новому ограничению, позволяющему вычислить границы изменения к [35]. В частности, известно, что нормы элементов унитарного

неприводимого представления алгебры должны быть неотрицательными.

В общем случае неприводимые представления групп Ли строятся выбором вакуумного вектора старшего веса | h} для некоторого представления h и действием на него всеми возможными повышающими

операторами:

J\Jbni...J\\h}.

(11.9.59)

В результате получаем универсальную обертывающую алгебру. Отметим, что эта обертывающая алгебра реализует представление алгебры супер-Каца-Муди, так как любое преобразование с помощью генераторов JJ отображает элемент обертывающей алгебры в другой элемент этой же алгебры. Вычислим норму состояния (Ja~ ^

ll(J- i-U-i)\h}\\2 = (h\k- 2fabcJ% | ft> > 0,

которая должна быть неотрицательной для того, чтобы

было унитарным. При вычислении нормы в терминах к и Jo MbI

использовали коммутационные соотношения для генераторов. Известно, что JQ является не чем иным, как генератором обычной к о н е ч н о м е р - ной группы Ли, так что этот матричный элемент может быть

§ 11.9. Четырехмерные суперструны

551

в явном виде для любого состояния старшего веса, обозначенного через h. Элементарные выкладки, использующие теорию групп, показывают, что предыдущее неравенство может быть переписано в виде

k^XG(h),

(11.9.61)

где XG(/г)-число столбцов в таблице Юнга для представления h. Для SU (2) XG (h) в точности равно удвоенному изотопическому спину состояния.

Теперь можно кратко сформулировать ключевой шаг в доказательстве. Мы должны одновременно удовлетворить двум условиям:

с = (п2- l)[l

=

k>XG{h).

(11.9.62)

Задав эти ограничения, теперь можно выписать все возможные калибро-

вочные группы, получаемые при компактификации суперструн типа II к четырем измерениям:

(a)SU (2)6,

(b)SU(4)®SU(2),

(c)SO (5) ® SU (3),

(d)SO (5) ® SU (2) ® SU (2),

(e)SU(3)®SU(3),

®G 2 ,

(g)все собственные подгруппы указанных выше групп.

Еще более интересен тот факт, что, используя указанные выше ограничения, можно легко вычислить с для различных представлений h. А именно получаем:

(1)	Если	G = SU (3)	и мы	требуем	существования	триплета	кварков,
	тогда к ^ 1 и с ^ 4:
	SU (З)-триплет		с ^ 4.				(11.9.63)
(2)	Если	G = SU (2)	и мы	требуем	существования	дублета	лептонов,
	тогда к ^ 1 и с ^ 5/3:
	SU(2)-дублет с ^ 5/3.						(11.9.64)
(3)	Если G = U(l), то с^ 1:
	U(1	1.					(11.9.65)
	Следовательно, полный вклад в аномалию от всех трех групп
стандартной модели равен сумме
	с						(11.9.66)

что в точности на ? больше требуемого. Это наш главный результат. Таким образом, в суперструнах типа II оказывается невозможным Устранить конформную аномалию.

552 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Для обхода этой трудности следует, очевидно, опустить некоторые существенные черты стандартной модели (и предположить, что некоторые кварки или лептоны возникают как связанные состояния) или полностью отбросить струны типа II. Например, если отказаться от дублета лептонов, то с = 6 и аномалия исчезает. Если не отказаться от дублетов и триплетов, то для аномалии можно получить сколь угодно близкое к шести число, но этого недостаточно для получения стандартной модели.

Третье упоминавшееся нами новое направление, использующее компактификацию струн, предлагает амбициозную программу получения всех возможных теорий суперструн из исходной D = 26 бозонной струны

Намбу-Гото [36-39]. В настоящее время теория гетеротических струн хотя и является главным кандидатом на теорию всех известных взаимодействий, она представляется довольно искусственной из-за ее весьма асимметричной природы. Если теория гетеротических струн претендует на статус фундаментальной, то представляется странной подобная неэлегантность ее формировки. Соблазнительно предположить, что гетеротическая струна и все другие модели суперструн являются просто разными компактификациями исходной 26-мерной струны.

Три наблюдения делают это предположение правдоподобным. Во-первых, возможность фермионизации и бозонизации в двух измерениях означает, что фермионы в десятимерной модели суперструн могут быть конденсатами бозонов в 26 измерениях. Следовательно, отсутствие фермионов в 26-мерной теории струны не приводит к каким-либо трудностям. Суперсимметрия в этой картине возникает «случайно» при компактификации от 26 к 10 измерениям. Во-вторых, все изученные до сих пор компактификации выглядят внешне как различные усечения исходной бозонной теории струн. В частности, число 26 снова и снова появляется в теориях суперструн, заданных в 10 измерениях. В-третьих, присутствие в 26-мерной теории тахиона (причинявшего такую головную боль в первые годы развития теории) теперь выглядит как достоинство. Существование тахиона просто означает, что безыскусно выбранный вакуум нестабилен относительно квантовых поправок, поэтому выглядит правдоподобным, что для бозонной теории струн в 26 измерениях нарушение до 10-мерной теории может быть предпочтительным.

Хотя этот подход и имеет свои эстетические достоинства, следует указать серьезные проблемы, с которыми он сталкивается. Во-первых, при редукции к 10 измерениям мы должны отбросить большое число частиц. Куда деваются эти частицы? Даже если мы смогли бы изгнать их, они могли бы легко появиться в древесных и петлевых диаграммах. Снова приходится прибегать ,к ссылкам на динамические эффекты распада (которые невозможно вычислить). Во-вторых, следует корректно использовать теорию групп. Фермионы 10-мерной теории суперструн преобразуются относительно той же самой группы Лоренца SO (9,1)» которая действует и на бозоны в 10 измерениях. При переходе от

§11.10. Резюме

553

26 к 10 измерениям 16 дополнительных бозонов не преобразуются относительно группы SO (9,1), действующей на остающиеся 10 бозонов. Эти дополнительные 16 бозонов должны в конечном счете переходить в фермионы в 10-ти измерениях, не преобразующиеся относительно группы SO (9,1). Таким образом, неясно, как возникает действие группы Лоренца SO (9,1) на фермионах, сопоставляемых 16-мерному бозонному сектору, не преобразующемуся относительно SO (9,1). По этой и другим причинам заманчивая идея компактификации теории 26-мерной струны к 10-мерной теории является пока красивой мечтой.

§ 11.10. РЕЗЮМЕ

Мы убедились в том, что несколько физически осмысленных предположений о процессе компактификации привели к ценным феноменологическим предсказаниям. Хотя пока и не было предложено модели, предсказывающей все известные свойства низкоэнергетического спектра частиц, полученные качественные результаты обнадеживают. Выделим теперь логическую последовательность предположений, которые привели нас к конкретным заключениям.

Естественно было компактифицировать 10-мерное пространство на 6-мерный тор. Однако компактификации на 6-мерный тор переводит (N = 1)-суперсимметрию в 10 измерениях в (N = 4)-суперсимметрию

в четырех измерениях. Поэтому следует рассмотреть новые предположения, которые могут привести к более приемлемым с точки зрения феноменологии следствиям.

Начнем со следующих предположений:
(1) 10-мерная вселенная компактифицирована к
М1 0 - *М 4 х К6 ,	(11.10.1)
где М4-максимально симметричное пространство,
Яцусф = Тг (SW0VP - QtfQva),	(11.10.2)

а Х-компактное многообразие.

(2)N = 1 локальная суперсимметрия остается ненарушенной после ком-

пактификации.

(3)Некоторые из бозонных полей могут быть занулены:

Я = </Ф = 0.

(11.10.3)

Предположение о выживании (N = 1)-суперсимметрии при компак-

тификации является сильным предположением. Из него следует, что вариация фермионов должна равняться нулю:

а	=~0Ае = 0,
Ьх"	= ri j Fye = 0.	( 1 1 Л 0 -4 )

554	Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Существование ковариантно постоянного спинора 8 налагает на многообразие большое число ограничений. В частности, если мы продифференцируем еще раз уравнение Де = 0, то получим

д8 = о	IDj, Д ] 8 = 0	(И.10.5)
	-+Rijklrkl 8 = 0.

Следовательно, можно показать, что пространство является риччи-пло- ским. Кроме того, можно показать, что это пространство имеет SU(3) в качестве группы голономии. Мы определяем группу голономии как группу, порождаемую при переносе спинора по замкнутому пути вокруг любой фиксированной точки. В общем случае группой голономии в шести измерениях служит группа SO (6), изоморфная группе SU (4). Но если существует ковариантно постоянный спинор, то

8 —• Uz.		(11.10.6)
Преобразованием из группы SU(4) всякий спинор 8 может быть приве-
ден к виду
	о
8 —• 8 =	о	(11.10.7)
	о
	е0

Это в свою очередь означает, что матрица U действует только на три верхние компоненты столбца 8. Следовательно, матрица U должна

принадлежать подгруппе SU(3), и поэтому пространство имеет SU(3) группой голономии.

В общем случае, как известно, очень трудно работать с пространствами, имеющими SU (З)-голономию. Однако можно показать, что эти пространства являются кэлеровыми, и использовать сильную теорему

Калаби-Яу. Всегда можно определить тензор
J}= -ig4Tkj 8,	(11.10.8)

удовлетворяющий J2 = — 1, что аналогично равенству i2 = — 1 для

обычного определения комплексных чисел, и использовать этот тензор для определения комплексного многообразия. Однако мы знаем, что этот тензор должен быть ковариантно постоянен (поскольку 8 ковариантно постоянен) и, следовательно, пространство является кэлеровым.

К счастью, можно показать, что риччи-плоские кэлеровы многообразия (имеющие поэтому нулевой первый класс Черна) эквивалентны многообразиям с SU (З)-голономией и могут быть легко построены. Таким образом, мы имеем логическую последовательность

Де = 0 К является риччи-плоским, кэлеровым, с нулевым первым

классом Черна.

(11.10.9)

Проблема, однако, заключается теперь в том, что мы получаем

§ 11.10. Резюме	555
яри этом тысячи многообразий, сохраняющих	(N = 1)-суперсиммет-
рию!

До сих пор мы не нарушали калибровочную симметрию Е8®Е8.

Следующий шаг-заметить, что тождества Бьянки в результате наших

предположений приводят к нетривиальным уравнениям
TrR Л R = ^TrF Л F.	(11.10.10)

Удивительно, но этому уравнению довольно трудно удовлетворить. Слева мы имеем формы кривизны риманова многообразия, а справаформы кривизны Янга-Миллса. Для того чтобы разрешить это довольно странно выглядящее уравнение, следует погрузить спиновую связность в калибровочную связность, перемешивая, следовательно, про- странственно-временное и групповое многообразия и нарушая при этом исходную калибровочную симметрию. Поскольку в римановом секторе мы имеем группу голономии SU (3), то при отождествлении римановой и калибровочной связностей мы получим следующее нарушение калибровочной симметрии:

Тождество Бьянки вложение спиновой связности SU (3) ® Е6 ® Es.

(11.10.11)

К счастью, это приводит к желаемым результатам. Известно, что Es не имеет киральных представлений в отличие от группы Е6 и, следова-

тельно, не является приемлемым кандидатом для построения моделей,

а	Е6 является. Действительно, при нарушении	симметрии Es
	SU (3) ® Е6 разложение присоединенного представления 248 группы
Es	имеет вид
	248 = (3, 27) + (3, 27) © (8, 1) © (1, 78).	(11.10.12)

Это доставляет удовлетворение, потому что представление 27 является наиболее подходящим представлением для кварков и лептонов в Теориях Великого Объединения с группой Е6. Таким образом, имеем

Tr R Л R = — TrF A F	вложение спиновой связности
30
представление 27 для	фермионов.	(11.10.13)

Следующий вопрос: сколько существует поколений фермионов в представлении 27? Обычно число поколений не имеет никакого отношения к калибровочной группе. В ТВО они между собой совершенно не связаны. Число поколений в ТВО может быть произвольным. Однако в теории струн отождествление спинорной и калибровочной связностей приводит к ограничению числа поколений. Вследствие этого отождествления калибровочные фермионы теперь связаны с внутренним многообразием К6. Число поколений можно теперь рассматривать как топо-

логическое число, поскольку разность между числом положительных И отрицательных киральных решений уравнений Дирака с нулевой

556 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

массой является топологическим числом. Конкретнее,
Число поколений =l- \ % (М) |.	(Н.10.14)

К сожалению, эйлерова характеристика риччи-плоских кэлеровых многообразий обычно очень велика, но всегда можно во много раз уменьшить это число переходом к подмногообразию. Например, всегда можно факторизовать по дискретной группе, сохраняющей некоторый полином из координат. Хорошим примером служит неодносвязное многообразие, получаемое из CP4 факторизацией по группе Z5 х Z5. На этом многообразии существуют четыре поколения.

Далее мы хотим перейти от этой модели к стандартной модели

сгруппой SU(3) ® SU(2) (х) U(l) без нарушения (N = 1)-суперсимметрии.

Вобычной ситуации сделать это довольно трудно. При нарушении калибровочной группы до группы стандартной модели также нарушается и (N = 1)-суперсимметрия. Одним из решений этой проблемы являет-

ся использование вильсоновских петель. Ранее мы видели, что рас-

сматриваемые нами многообразия К6 не являются односвязными, что

необходимо для получения небольшого числа поколений. Для неодносвязных многообразий вильсоновская петля

U = Рехр$ A^dxv

(11.10.15)

с

не обязательно равна единице, даже если тензор кривизны равен нулю. Это связано с тем, что мы не всегда можем стянуть замкнутую петлю в точку. Таким образом, можно нарушить группу Е6 до подгруппы G выбором вильсоновской петли U так, что G коммутирует со всеми элементами из U. Например, если взять в качестве U группу Z5 х Z5, то

получим

(11.10.16)

К сожалению, хотя при использовании U мы и получаем стандартную

модель, при этом мы получаем и нежелательные группы U(l). Таким образом,

Вильсоновские петли SU (3) ® SU (2) ® U (1)".

Орбиобразия, являющиеся, вероятно, предельным случаем многообразий Калаби-Яу, также можно использовать при к о м п а к т и ф и к а ц и и суперструн. Орбиобразия возникают при факторизации тора Т6 по

дискретной группе Z„, имеющей неподвижные точки:

Орбиобразие: —^

(11.10.17)

"Z.'

(Эти неподвижные точки не портят свойств модели струн.) Нетривиальные ограничения налагаются на орбиобразия условием модулярной

§11.10.

Резюме

557

цдвариантности, нетривиально смешивающим граничные условия. Граничные условия

X(cti + 2п, сг2) =

а2),

ш ^

X(a1 > a2 + 2ic) = ^X(a1, а2 )

(где Л и д- элементы из ZJ могут нарушать симметрию модели струн.

При этом выживают подгруппы пространственно-временной и внутрен-

ней групп, коммутирующие cguh. При диагонализации диИс собственными значениями e2ltiVi на диагонали, где у, = rjn для некоторого целого

п, энергия нулевых колебаний для гамильтониана сдвигается на число, Пропорциональное у, (у, — 1). Поскольку след по одной петле нечувствителен к энергии нулевых колебаний, модулярная инвариантность приводит к ограничению на собственные значения:

8	8	8
1 » * =		I ' l ,	(11.10.19)
i = l	7 = 1	j = l

где г, - собственные значения для правого сектора, а г12;/-собственные значения для левого Е8 ® Е8 сектора. Если рассматривать еще и вильсо-

новские петли, то выживающий при компактификации группой будет подгруппа, коммутирующая с д, h и вильсоновской петлей.

Для такой компактификации существует много решений, некоторые из которых приводят к трем поколениям и к группе SU (3) ® SU (2) (х) ®U(l)n, содержащей слишком много множителей U(l). К сожалению, метод вильсоновских петель не меняет ранга группы, поэтому в общем случае мы получаем слишком много множителей U(l).

Большое преимущество орбиобразий перед многообразиями Кала- би-Яу заключается в том, что они плоские, проще описываются и многие из них могут быть простроены явным образом. К сожалению, не существует классификации шестимерных орбиобразий и многообразий Калаби-Яу, позволившей бы перечислить и систематизировать тысячи подобных решений.

Одним из шагов в этом направлении является использование модулярной инвариантности и систематический вывод всех возможных решений из условия отсутствия тахионов и аномалий. Для начала запишем

амплитуду как сумму по всем спинорным структурам:
		А		а		(11.10.20)
А = £С	а
a, b

Теперь потребуем, чтобы коэффициенты С факторизовались, были Модулярно инвариантны и приводили к моделям без тахионов и аномалий. Замечательно, что для уравнений на С можно получить решения. Простейшие из них воспроизводят уже известные компактификации, но Тысячи других компактификаций должны еще быть изучены. Возникает Надежда на то, что мы сможем получить реалистическую модель, если Переберем все возможные варианты.

558	Гл.	11.	Пространства	Калаби- Я у	и орбиобразия
Перечислим		три	направления	поиска	четырехмерных	решений
Во-первых,	можно получить большой класс				четырехмерных	решений

с помощью асимметричных орбиобразий. Гетеротическая струна, в которой левый и правый секторы рассматриваются независимо, дает пример асимметричной компактификации. Асимметричные орбиобразия образуют наиболее широкий класс изученных к настоящему моменту орбиобразий, и полученные с их помощью результаты существенно пересекаются с результатами, полученными с использованием других типов компактификации. (Кроме асимметричных орбиобразий существуют также неабелевы орбиобразия, получаемые факторизацией по неабелевым конечным группам, таким, как кристаллографические группы. Преимущество таких орбиобразий заключается в том, что с их помощью можно устранить часть нежелательных множителей U(l), а также получить три или четыре поколения. См. [40].)

Во втором подходе тщательно изучаются свойства суперструн типа II при компактификации. Особенно важной является теорема запрета, утверждающая, что после компактификации струны типа II никогда не приводят к стандартной модели, поскольку в этом случае конформная аномалия не может быть сокращена. Вклад компактифицированных

фермионов должен быть равен 6, а для стандартной модели получаем 6^.

Поэтому мы должны отбросить либо триплет кварков, либо дублет лептонов, либо струны типа II.

Наконец, были предприняты усилия по построению всех известных суперструн из струны Намбу. Эта идея не является такой уж фантастической, как можно было подумать, поскольку «избыточные» бозонные моды могут быть фермионизированы в суперсимметричные партнеры бозонных мод десятимерных струн. Однако проблема заключается в том, что после компактификации от 26 к 10 измерениям возникает слишком много частиц, которые должны быть каким-то образом удалены из модели. Хотя идея и представляется довольно ясной, существует ряд серьезных проблем на пути ее реализации.

§ 11.11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы надеемся, что эта книга передает атмосферу моделей суперструн и объясняет, почему они вызвали так много волнений в последние несколько лет. Суперструны дают наиболее многообещающий формализм для объединения гравитационного и всех остальных известных взаимодействий. Использование многообразий Калаби-Яу и орбиобразий в теории струн позволило построить тысячи четырехмерных моделей, а математическая структура теории порождала рост интереса математиков к таким областям, как теория тэта-функций, алгебры КацаМуди, суперримановы поверхности, кэлеровы м н о г о о б р а з и я , теоремы об индексах и теории когомологий. Теории струн генерй-

§ 11.11. Заключение

559

ровали в различных областях новые математические идеи, не исследованные пока математиками.

Наибольшим недостатком теории суперструн является то обстоятельство, что ускорители частиц, способные разгонять их до планковских энергий, стоят слишком дорого. Даже косвенные проверки теории струн вряд ли возможны в ближайшем будущем. Можно занять по крайней мере две разных позиции по отношению к этой фундаментальной проблеме.

Во-первых, теория суперструн может быть некорректной, но оставаться на плаву в течение десятилетий без решающих экспериментов, необходимых для подтверждения или опровержения теории. И что хуже всего, усилия многих физиков могут быть потрачены зря. Однако следует заметить, что, даже если теория некорректна, она уже открыла новые методы обращения с расходимостями фейнмановских диаграмм. Использование топологических аргументов для контроля над расходимостями квантовой теории поля представляет качественный скачок

внашем понимании того, как строить новые полевые теории гравитации. К тому же теория струн уже стала постоянной областью математических исследований вне зависимости от того, описывает она физическую реальность или нет.

Во-вторых, можно считать, что теория суперструн корректна, а основной камень преткновения является теоретическим, а не экспериментальным. Если бы мы смогли найти истинный вакуум теории суперструн, то можно было бы сравнить строгие предсказания этой модели с массами кварков, например, или массой протона. Поэтому нам не следует ожидать создания суперускорителей, стоимость которых может превысить суммарный национальный продукт планеты. Решающие результаты будут получены теоретиками, которые смогут сформулировать поддающиеся проверке предсказания о низкоэнергетических свойствах материи.

Согласно второй философии главной проблемой является не построение все больших и больших ускорителей, а то, что, несмотря на двадцатилетний срок существования теории, мы все еще разгадываем ее тайны. Мы все еще ищем аналог принципа эквивалентности, на котором покоится вся теория. Когда теория струн преждевременно «скончалась»

в1974 г., это была только часть полной теории. Полная теория находится пока в стадии становления.

Мы рассмотрим некоторые из нерешенных проблем теории для того, чтобы стимулировать энергичные исследования в этих областях. Приведем краткий перечень основных нерешенных проблем.

Нерешенные проблемы:

(1)Строго и для всех порядков должна быть доказана конечность теории. Искусственно вводимые, хотя и правдоподобные аргументы недостаточны.

(2)Теория должна объяснить, почему космологическая постоянная почти равна нулю после нарушения суперсимметрии.