Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

610	Приложение

принадлежащей алгебре Ли группы О (и), есть

/?(ft) = det

Проективное преобразование определяется формулой

где ad—bc= 1. Это порождает группу SL(2, R), т.е. множество вещественных матриц размера 2 х 2 с единичным детерминантом. С ЛГ-петлевой амплитудой струны связано N проективных преобразований.

Пространство модулей определяется для замкнутой римановой

поверхности как множество всех метрик с постоянной кривизной, разделенное на множество всех возможных диффеоморфизмов. Для многообразий рода N, где N > 2, размерность этого пространства равна 6N — 6 (число независимых параметров, необходимое для параметризации поверхности). Именно по этому пространству интегрируется действие Полякова. Оно тесно связано с пространством Тейхмюллера, отличаясь от последнего лишь множеством глобальных диффеоморфизмов, или твистов Дена.

Редже полюс. Полюс Редже-это сингулярность S-матрицы в комп-

лексном пространстве угловых моментов. В теории S-матрицы угловой момент и энергия рассеяния могут принимать комплексные значения. Если a (s) является угловым моментом как функция квадрата энергии, то амплитуда рассеяния будет иметь полюс по этой переменной. Каждый полюс Редже соответствует некоторому резонансу. В теории струн проводится суммирование по бесконечному числу полюсов Редже, или резонансов.

Редже траектория-это прямая линия, которая получается, если

построить график зависимости углового момента от квадрата энергии в точках сингулярности S-матрицы (полюсах Редже). Квадраты энергии откладываются по оси абсцисс, а угловые моменты по оси ординат.

Втеории струн резонансы образуют бесконечное множество точек, которые, будучи соединенными, образуют семейство параллельных прямых с положительным углом наклона. Самая левая из этих прямых называется ведущей траекторией. Точка пересечения ведущей траектории с осью ординат называется интерсептом. Для струнной модели интерсепт принимают равным 1. Угол наклона этих траекторий

называют реджевским наклоном а'.

Решетка Г - это множество точек вида р1 = пЕ^е!, где п суть целые

числа, а е\- множество независимых векторов в N-мерном пространстве.

Вструнной теории решетки используются для компактификации, уменьшающей число измерений от 26 или 10 до четырех. Один из способов это сделать-компактификации на тор, определенный фак-

§ П.б. Словарик терминов

611

торизацией евклидова пространства посредством решетки, т. е. RN/Г. Не всякую решетку можно связать с решеткой алгебры Ли. Например, решетка Лича в 24-мерном пространстве не является решеткой ка- кой-либо алгебры Ли. Решетка называется четной, если (р1)2 есть четное число. Решетка называется автодуальной, если она совпадает с дуальной к ней решеткой. Дуальная решетка определяется набором линейно независимых векторов е?\ таких, что

I efe] = 8ij.

/= 1

В 16-мерном пространстве нет других автодуальных решеток, кроме связанных с решетками корней групп Е8®Е8 и Spin(32)/Z2. Решетка корней алгебры Ли называется просто сплетенной, если все ее корни имеют одинаковую длину. Среди групп Ли только группы A, D и Е являются просто сплетенными.

Риманова поверхность-комплексное двумерное многообразие. Стру-

на заметает риманову поверхность с дырками при своем движении в пространстве-времени. Поэтому теория возмущений для струн основана на теории голоморфных функций, определенных на римановых поверхностях рода д.

Римана-Роха теорема об индексе-теорема об индексе, соответст-

вующем оператору д- на римановой поверхности. Она может быть выражена многими способами, но для наших целей удобна следующая формулировка: размерность пространства квадратичных дифференциалов минус размерность пространства конформных векторов Киллинга пропорциональна 1 — g для поверхности рода д. Для системы духовых мод это означает, что число независимых нулевых мод духов с минус число нулевых мод духов Ъ равно 3(д — 1). Поэтому теорема Рима- на-Роха полезна при установлении того факта, что пространство квадратичных дифференциалов имеет размерность Ъд — 3; это есть пространство модулей. Для суперструн соответствующий вариант теоремы Римана-Роха позволяет вычислить размерность пространства супермодулей.

Риччи-плоская метрика. Метрика дназывается риччи-плоской, если

= 0.

Род компактной римановой поверхности равен числу дырок или ручек этой поверхности. Так, род тора равен 1.

Симплектическая группа-группа, относительно действия которой

инвариантно следующее выражение: в™ Стпв„.

Здесь 0 суть грассмановы переменные. Наиболее важная для теории супергравитации симплектическая группа-это группа Sp(4), локально изоморфная группе де Ситтера.

Спиновая связность (обозначается со^) входит в ковариантную

39*

612	Приложение

производную спинора:

Здесь МаЬ- образующая группы Лоренца в матричном виде. После добавления спиновой связности ковариантная производная становится подлинным тензором.

Спиновая структура-это набор всех возможных граничных условий,

которым может удовлетворять фермион на спиновом многообразии рода д. Беря континуальный интеграл по однопетлевой диаграмме в модели NS-R, мы должны интегрировать по всем спиновым структурам, а именно по четырем возможным комбинациям граничных условий в направлениях (от, т), чтобы сохранить модулярную инвариантность: (NS, R), (NS, NS), (R, NS), (R, R). Для поверхности рода д имеется 22в спиновых структур.

Спинорное многообразие-это многообразие, допускающее спиноры,

т.е. на этом многообразии возможно определить спиноры и уравнение Дирака. Многие гладкие многообразия не являются спинорными, поскольку для спинорного многообразия первый и второй индексы Штифеля-Уитни должны быть равны нулю. Всякое ориентируемое многообразие в двух и трех измерениях является спинорным.

Суперконформная группа в четырехмерном пространстве равна

SU(2, 2/N). Это градуированная группа Ли, имеющая следующее разложение:

SU (2, 2/N) э SU (2, 2) ® U(N).

Калибровка этой группы дает суперконформную теорию гравитации. В двумерном пространстве, однако, суперконформная алгебра-это или алгебра супер-Вирасоро, или NS-R.

Суперполе-это функция сразу и пространственно-временных, и

суперсимметричных грассмановых переменных: ф(л;, 0). В четырех измерениях, если грассмановы переменные являются майорановскими спинорами, это суперполе содержит 16 независимых полей. Оно образует некое представление группы суперсимметрии:

5ф = ё б ф .

Обычно это представление является приводимым, так что на суперполе можно наложить связи. Суперполе остается представлением группы суперсимметрии, если операторы, налагающие связи, коммутируют с суперсимметричным генератором.

Тейхмюллера параметры-это набор, состоящий из 6N — 6 конформ-

но различных чисел, необходимых для параметризации замкнутой римановой поверхности рода N.

Тейхмюллера пространство есть пространство римановых поверх-

ностей с постоянной кривизной, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизмов, которые могут быть непрерывно связаны с тождественным отображением. Размерность этого пространства равна

§ П.6. Словарик терминов

613

6N — 6 для римановой поверхности рода N: это означает, что 6N — 6 параметров Тейхмюллера параметризуют риманову поверхность рода N. Они возникают в явном виде как переменные интегрирования многопетлевой диаграммы. Пространство Тейхмюллера в действительности слишком общирно для вычисления континуального интеграла. Его еще нужно разделить на глобальные диффеоморфизмы группы классов отображений (модулярной группы), порождаемые твистами Дена.

Тетрада. В N-мерном	пространстве	тетрада есть	вещественная
(N х ЛГ)-матрица екоторая	преобразуется	как тензор	первого ранга

при общем координатном преобразовании по индексу р и при локальном преобразовании Лоренца по индексу а. Ее квадрат равен метрическому тензору:

еа a Q

Тетрады абсолютно необходимы для определения спиноров в общей теории относительности, так как у группы GL (N) нет конечномерных спинорных представлений.

Точная форма. /7-форма сор называется точной, если существует

(р — 1)-форма С О Р - 1 , такая, что сор = dwp-i.

Фаддеева-Попова детерминант-составляющая меры, появляющаяся

вследствие фиксации калибровки в континуальном интеграле. Если взять калибровку F(A) = 0 и параметризовать калибровочное преобразование параметром А, то детерминант Фаддеева-Попова будет равен

det	5A F = 0

При вычислении действия этот детерминант дает член

_ 5F(AA)
L ~ л	5А

где г| называются духами Фаддеева-Попова.

Форма кривизны. В теории дифференциальных форм форма day + со А со

называется два-формой кривизны, если со является один-формой связности, определенной над алгеброй Ли. Если выбрать в качестве касательного пространства группу Лоренца, то два-форму кривизны можно записать в виде

RI = dcol + со? А со£ = I Rabcdec A ,

где а, Ъ, с представляют лоренцевы индексы.

Форма связности-это один-форма со, определенная над алгеброй Ли,

которая добавляется к частной производной для получения истинной

614	Приложение

ковариантной производной: ^ = ^ -Ь о у

Форма связности является смешанным тензором. Это вектор в прост- ранстве-времени, но также элемент алгебры Ли. На языке теории расслоений, базовым пространством служит обычное пространствовремя, а расслоенным пространством- пространство, связанное с алгеброй Ли. Форма связности позволяет «связать» базовое пространство с расслоенным при сдвигах в базовом многообразии. Для группы SU (N) формой связности служит обычное поле Янга-Миллса:

со = А = AaVLdx[iXa.

Для группы Лоренца форма связности называется спиновой связностью:

со = соlhdx»Mab.

Здесь М-матричное представление образующих группы Лоренца.

Функция распределения имеет вид

00

П (1 - (0")-°

При D = 1 коэффициент при со" дает распределение, отвечающее целому числу п. Эта функция не только определяет число состояний струнной модели на уровне п, но также управляет расходимостью однопетлевой амплитуды.

Чана-Патона фактор-это множитель, стоящий перед амплитудой

Венециано, с помощью которого вводятся изоспиновые индексы на струнах. Это простейший способ ввести изоспин в теорию суперструн, совместимый с дуальностью. Мы просто умножаем N-точечные амплитуды на след изоспиновых матриц, который обладает циклической симметрией. Потребовав факторизации, а также чтобы частица Ян- га-Миллса принадлежала присоединенному представлению группы, мы фиксируем эту группу: она должна быть или U (N), или О (N), или Usp(N). Факторы Чана-Патона необходимы для струн теории О(32), но для гетеротических струн изоспины вводятся совершенно иным способом, а именно посредством компактификации.

Черна класс с(М) для формы кривизны Q равен

Черна-Саймонса форма. N-й класс Черна, поскольку он замкнут

и точен, может быть записан в виде <% = d(oN~i. Форма Черна-Саймон- са возникает при формулировании калибровочных теорий, особенно при анализе аномалий.

§ П.7. Обозначения

615

Шпурионное состояние-состояние, не взаимодействующее с физи-

ческими состояниями: < R \ S ) = 0. В 26-мерном пространстве шпурионные состояния с отрицательной нормой исключаются из теории струн, так как все они не взаимодействуют с ней.

Эйлерова характеристика определяется как сумма всех положитель-

ных чисел Бетти минус сумма всех отрицательных чисел Бетти:

х(М)= £ ( - 1 ) % .

i — 1

Это, вероятно, самое важное топологическое число в теории когомологий. Оно равно интегралу по эйлеровым характеристикам, получаемым согласно теореме ГауссаБонне в двух измерениях. В теории суперструн после компактификации на пространство Калиби-Яу и вложения спиновой связности номер поколения равен половине абсолютного значения эйлеровой характеристики.

BRST-преобразование. Преобразование БеччиРуэ- СтораТупина -

это преобразование калибровочных полей и их духов Фаддеева-Попова. Оно является глобальной симметрией, так что из него могут возникнуть

новые	связи. Симметрия порождается BRST-зарядом Q,	таким, что
Q2 = 0.	Для струны это фиксирует размерность D = 26	и интерсепт,

равный 1.

GSO-проекция. Проекция Глиоззи-Шерка-Олива является транки-

рованием модели Невё-Шварца-Рамона, выделяющим сектор с четной G-четностью, что делает пространство-время этой модели суперсимметричным и устраняет тахионы. На однопетлевом уровне это эквивалентно модулярной инвариантности. Это также эквивалентно суммированию по всем возможным спиновым структурам для однопетлевой амплитуды.

Spin(N) есть просто связанная покрывающая группа компактной

дважды связанной группы SO (N); так, Spin (3) = SU (2).

ZN-дискретная группа перестановок, все элементы которой удовлетворяют условию gN = 1.

§ П.7. ОБОЗНАЧЕНИЯ

Для ясности изложения мы сознательно опустили нормирующие множители, появляющиеся в функциональных интегралах по траекториям и в N-точечной амплитуде AN. Это не должно вызывать затруднений, так как читатель легко может восстановить их самостоятельно.

В наших единицах планковская длина и планковская масса равны следующим величинам:

L = \7iGc~3] = 1.6 х 10"33 см,

М = \bcG~= 2.2 х И Г 5 г = 1.2 х 1019 ГэВ/с2 .

616 Приложение

Постоянные с и Ъ мы положили равными 1.

Мы используем лоренцеву метрику пространства-времени ( —, +, + , . . . , + ). На мировой поверхности используется двумерная метрика ( —, + ), где первый индекс относится к т, а второй-к ст. Двумерные матрицы суть

р о = 0 ~ о ) '	р 1 = 0 о ) '	г д е ^ =
Как правило,	кобозначает	физический импульс, а	оператор,

собственным значением которого служит этот импульс. Однако, как это принято в соответствующей литературе, мы будем часто игнорировать это различие и использовать оба этих обозначения взаимозаменяемо.

Значения наклона Редже выбраны следующим образом:

а' = 1/2 для открытых струн, а' = 1/4 для замкнутых струн.

Всюду, где возможно, для индексов искривленного пространства используются греческие буквы. 26- и 10-мерные лоренцевы индексы обозначаются буквами р и v соответственно. Греческие буквы а, (3 обозначают индексы двумерной искривленной мировой поверхности. Индексы плоского пространства, как лоренцевы, так и двумерные, обычно обозначаются латинскими буквами а, Ь, с. Когда это не может вызвать недоразумения, мы иногда используем метрику (+, +, ... , +) для плоского касательного пространства.

Гамма-матрицы выбираются таким образом, что

Гв} = — 2дАВ, rD + ! = Г0Г1 ... T D - l .

В случае пространства с четным числом измерений они нормируются так, что

(rD + 1 )2 = -hi, если D = 4к + 2, (TD + l )2 = - 1 , если D = 4к.

Если появляются гамма-матрицы более чем с одним индексом, то берется сумма всех антисимметричных комбинаций этих индексов. Например, гамма-матрицы нормируются так, что

рлв _ j^p^pfi ГВГ^]]

В калибровке светового конуса используются гамма-матрицы

Г+ = - ^ F ( r 0 + rD "1 ),

Г" = J - ( r ° - r D - 1 ) .

В частных случаях 10 и 4 измерений мы будем часто использовать символ уц.

В конусном формализме, осуществляя редукцию до группы SO (8), будем применять прямые произведения матриц Паули размера 2x2:

		§ П.7.	Обозначения				617
		У аа	у5 = /т3 ® Т2 ® 1 ,
	'	4 ° .У 1ьь о
			у6 = п 2		® 11		1'
		\Уь
	у1 = - / т 2 ® т 2 ® т 2 ,		у7 = /т2 ® 1 ® т 3 ,
	у2 = /1® ^ ® т2,		у8 = 1 ® 1 ® 1,
	у3	= /1® т3 ® т2,	и _ 1		i	_	j i
	у	= /Tj ® T2 ® 1,	У ab	vYao У ab			У аа У ab / •

Здесь т,-матрицы Паули, а каждая у-матрица является прямым произведением трех блоков размера 2 x 2 .

ЛИТЕРАТУРА

Теория групп:

[1]Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Representations, Wiley-Interscience, New York, 1974.

[2]Jacobson N. Lie Algebras. Dover, New York, 1962.

[3]Georgi H. Lie Algebras in Particle Physics. Benjamin/Cummings, Reading, Mass. 1982.

[4]Cahn R. N. Semi-Simple Lie Algebras and Their Representations. Benjamin/Cummings, Reading, Mass., 1984.

Общая теория относительности:

[1]Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A. Gravitation. Freeman, San Francisco, 1973.

[2]Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, New York, 1972.

[3]Hawking S. W., Ellis G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973.

[4]Adler R., Basin M., Schiffer M. Introduction to General Relativity. McGraw-Hill, New York, 1965.

[5]Carmeli M. Group Theory and General Relativity. McGraw-Hill, New York, 1977.

Теория форм:

[1]Eguchi Т., Gilkey P.В., Hanson A.J. Phys. Rep. 66, 213 (1980).

[2]Nash C., Sen S. Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, New York, 1973.

[3]von Westenholtz C. Differential Forms in Mathematical Physics. North-Holland, Amsterdam, 1978.

[4]Gilkey P. B. Invariance Theory, the Heat Equation, and the AtiyahSinger Index Theorem. Publish or Perish, Wilmington, Del.

[5]Goldberg S.I. Curvature and Homology. Dover, New York, 1962. Суперсимметрия и супергравитация:

[1]von Nieuwenhuizen P. Phys. Rep. 68C, 189 (1981).

[2]Gates S. J., Grisaru M., Rocek M. and Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin/Cummings, Reading, Mass., 1983.

[3]Jacob M., ed. Supersymmetry and Supergravity. North-Holland, Amsterdam, 1986.

[4]West P. Introduction to Supersymmetry and Supergravity. World Scientific, Singapore, 1986.

[5]Wess J., Bagger J. Introduction to Supersymmetry. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1983.

[6]Mohapatra R. N. Unification and Supersymmetry. Springer-Verlag, New York, 1986.

618	Предметный указатель

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

автоморфная функция 207, 597 амплитуда рассеяния 46, 63, 106, 133 аномалия 597 анти-де Ситтера группа 566

Атьи-Зингера теорема 445

безмассовый вектор 128 Бетти число 506, 508, 515, 524, 597 Бозе статистика 177 бозон 135, 151 бозонизация 164, 187, 597 бозонная струна 128 бозонное разложение 585 Бьянки модель 521 - тождество 422, 579, 598

Вайнберга-Салама теория 21 вакуум 50, 76, 128, 159, 559 вакуумное состояние 185, 598 вейлевский спинор 598 вейлевское преобразование 137, 598 вектор с наивысшим весом 171 Венециано модель 87 Верма модуль 172, 324, 598

вертекс 60, 93, 109, 129, 132, 145, 155 вертексная функция 93, 219 вершинная функция 291 Весса-Зумино модель 591 Вигнера-Инону сжатие 567 вильсоновские линии 599 Вирасоро алгебра 70, 100, 125, 197, 599

-генераторы 69

-супералгебра 141, 158 Виттена индекс 446 волновая функция 51 волновое уравнение 34

гамильтониан 35, 48, 67, 75, 77, 127 гармоническая форма 515, 600 гармонические осцилляторы 49 Гаусса интеграл 33 Гаусса-Бонне теорема 419, 600

Гейзенберга принцип неопределенности 32

гетеротическая струна 484, 600 глобальная инвариантность 405

-симметрия 14, 365, 369 глобальные диффеоморфизмы 240 голоморфная факторизация 601

-функция 601

голономий группа 499, 579, 601 гомологий группа 601 гомотопия 440 гравитон 25, 78, 104

грассманово число 43, 604

Грина функция 35 Грина-Шварца действие 146, 148, 157 -- модель 154, 160, 601 группа классов отображений 601

-ортогональная 563

-ортосимплектическая 585, 609 группы параметры 564

-ранг 571

Гупты-Блейлера квантование 41, 52

два-форма 515, 579 двухточечная функция 264 ДДФ-состояния 602

действие 29, 37, 53, 55, 58, 65, 70, 74 - гравитационное 322 дельта-функция 42 Дена твист 224, 257, 602

де Рама группа когомологий 503, 602 де Ситтера группа 566 дзета-функция 253, 535 дивергенция аксиального тока 581 Дирака индекс 447, 524, 602

- матрица 120, 382 -спинор 120, 125, 136

Дольбо группа когомологий 514, 602 дуальность 466, 602 дух 23, 56, 79, 170

Дынкина диаграммы 572

замкнутая форма 579, 603 замкнутые струны 77, 150, 216 заряд 54 Зигеля действие 329

изображений метод 92, 201 инвариант 566 интегральные формулы 48 интерсепт 68, 131

инфракрасная расходимость 64 исключительные группы 603

Кадомцева-Петвиашвили иерархия 263 Калаби-Яу многообразие 603 -- теорема 502 калибровка светового конуса 73 Картана матрица 572

Картана-Вейля представление 571 касательное пространство 384, 603 Каца детерминант 379, 604 Каца-Муди алгебра 178, 195, 604 квантование в переменных светового

конуса 113, 139, 160

- NS-R действия 138 кватернионы 570

Киллинга конформные векторы 242

619 Предметный указатель

киральное суперполе 588 киральность 150 Клебша-Гордона коэффициенты 195 Клейна-Гордона уравнение 41, 45 Клиффорда алгебра 565 Кобы-Нильсена перемещение 604 ковариантное преобразование 575

когерентных состояний метод 212, 221 когомологии аксиомы 358 компактификация 604 комплексное многообразие 605

контрвариантное преобразование 575 конформная аномалия 605

-группа 566, 605

-калибровка 74, 606

-теория поля 136, 162, 606 конформные духи 606 конформный вес 100, 165, 606 космологическая постоянная 606 коцикл 193, 196, 483 Кристоффеля символ 575 кулоновское квантование 40, 55 кэлеров потенциал 607 кэлерова форма 515, 607

кэлерово многообразие 515, 554, 607

Лагранжа множитель 38, 70 лагранжиан 29, 36, 55, 65 лапласиан 507 Ли группы 563

--градуированные 585

--компактные вещественные 563 локальная симметрия 14, 136, 138, 365 локальные конформные преобразования

23

лоренц-инвариантность 140 Лоренца группа 566

Майораны спинор 607 Майораны-Вейля спинор 147, 155, 607 -- фермион 144 Максвелла действие 323, 591

-теория 76, 128, 502 Манделстама переменная 96

-преобразование 316

массовая поверхность 99, 128, 600, 608 матрица периодов 235, 258, 272, 506 Мёбиуса преобразование 91, 99 мировая поверхность 64, 101, 607 многообразие 608 множитель 608

модулей пространство 239, 610 модулярная группа 224, 607

Намбу-Гото действие 71 Невё-Шварца-Рамона действие 157

теория 122, 125, 157, 607

Неймана функция 92, 236, 267, 292, 608 неподвижные точки 530, 608

один-форма 501, 579 оператор смены картины 132, 187 орбиобразие 529, 608 ориентируемость 609 открытые струны 76, 150, 215

Паули-Виллара поле 23 перемещение 586 перехода вероятность 36 - функция 31, 345 плотность 577 поле 47

поля связности 389, 592 Полякова действие 71, 237, 609 Понтрягина класс 425, 453, 609

почти комплексное многообразие 513 проективная группа 100, 115, 566 проективное преобразование 91, 610 пропагатор 24, 55, 60, 76, 115, 127, 130

-инфинитезимальный 35 простой корень 572

пространства-времени размерность 171 Пуанкаре группа 567

-дуальность 509, 515

Пуассона уравнение 89 пфаффиан 426

распределения функция 614 расслоенное пространство 614 Редже полюс 610 - траектория 68, 76, 128, 610

релятивистская струна 76 репараметризационная группа 367 решетка 610 Римана-Роха теорема об индексе 611 риманова поверхность 611

риччи-плоская метрика 517, 554, 611 род римановой поверхности 611

само дуальность 147 свободное поле 164 Сельберга дзета-функция 271 симплекс 22

симплектическая группа 568, 611 собственные состояния 75 сопряженная переменная 30 сопряженное представление 564 спин 177

-изотопический 413 спиновая связность 577, 611

-структура 126, 249, 612 спиновое поле 164

спиновой связности вложение 599 спинорное многообразие 447, 612