3. Построение диаграмм статической и динамической остойчивости. Связь ддо и дсо. Задачи, решаемые с помощью диаграмм остойчивости.

Построение диаграммы статической остойчивости.

Статическая остойчивость – остойчивость, при которой кренящий момент приложенный к судну, нарастает постепенно от нуля до бесконечного значения и не вызывает угловых ускорений, а следовательно и сил инерции.

Для определения угла крена, возникающего в результате действия на суд­но кренящего момента, строят кривую, выражающую зависимость плеч ста­тической остойчивости о г угла крена судна. Построение выполняют в пря­моугольной системе координат: на оси абсцисс откладывают углы крена (по­ложительные - вправо, отрицательные - влево от начала координат), а по оси ординат - плечи статической остойчивости. В точках на оси абсцисс, соответствующих конкретным углам крена, восстанавливают перпендикуля­ры и на них откладывают снятые со специальной универсальной дна) рам мм отрезки плеч статической остойчивости. 1 (полученные точки соединяют плав­ной кривой, которая называется диаграммой статической остойчивости. Диаграмма статической остойчивости имеет вид кривой с ярко выраженным максимумом.

Диаграмма динамической остойчивости

На ней можно отметить три точки, характерные для непов­режденного судна, обладающего положительной остойчивостью: точку О (начало координат), определяющую положение ус­тойчивою равновесия; точку А, где плечо статической остойчивости и восстанавливающий момент имеют максимальные значения; точку В, определяющую так называемый угол заката диаграммы.

Равновесие накренившегося судна наступает при равенстве кренящего и восстанавливающего моментов. Чтобы воспользоваться диаграммой статичес­кой остойчивости для определения угла крена, возникающего под действием заданного кренящего момента М_кр, необходимо найти плечо кренящего мо­мента . Условие равновесия судна можно написать и в таком виде: . Плечо откладывают в соответствующем масш­табе на оси ординат диаграммы и проводят горизонтальную линию до пере­сечения с кривой. В точке пересечения восстанавливающий момент равен кре­нящему, и, следовательно, судно находится в равновесии в наклоненном по­ложении. Точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки С, с горизонтальной осью диаграммы определяет угол крена. Диаграмма статической остойчивости строится для конкретного судна и соответствует определенным водоизмещению и положению Ц.В. по высо­те. Если у данного судна изменится водоизмещение или аппликата Ц.Т., то диаграмма статической остойчивости приобретает другой вид. Это обстоя­тельство всегда следует иметь в виду, и, прежде чем воспользоваться диаг­раммой для решения каких-либо вопросов, касающихся остойчивости дан­ного судна, необходимо обратить внимание на ее соответствие имеющейся нагрузке судна. Каждое судно должно быть снабжено комплектом диаграмм статической остойчивости, характеризующих остойчивость его при наибо­лее часто встречающихся случаях загрузки.

Диаграммы статической остойчивости отличаются большим разнообрази­ем форм кривых, но все они обладают некоторыми общими свойствами:

1. Начальный участок диаграммы статической остойчивости представляет собой прямую наклонную линию. Это видно, если приравнять две формулы восстанавливающего момента; метацентрическую формулу поперечной остой­чивости, применимую только для малых углов крена, и формулу восстанавли­вающего момента, справедливую для любых углов крена, т. е.

откуда:

При малых углах крена поперечная метацентрическая высота - посто­янная величина, поэтому зависимость между плечом статической остойчиво­сти и углом крена θ при малых углах крена является линейной и изоб­ражается прямой линией.

2. Отрезок перпендикуляра, восста­новленного из точки на оси абсцисс, на­ходящейся на расстоянии одного радиа­на (57,3 град) от начала осей координат; до точки пересечения его с начальной касательном к кривой, определяет на ди­аграмме статической остойчивости по­перечную метацентрическую высоту h, взятую в масштабе плеч статической остойчивости. Однако графически определять метацентрическую высоту h по диаграмме статической остойчивости не рекомендуется, т.к. проведение ка­сательной к кривой не может быть выполнено с необходимой точностью.

Определение поперечной метацентрической высоты по ДСО

3. Восходящая часть кривой диаграммы статической остойчивости характеризует устойчивое положение равновесия судна, а нисходящая - не­устойчивое.

Построение диаграммы динамической остойчивости.

Динамическая остойчивость – остойчивость, при которой приложенный кренящий момент, действующий на судно мгновенно, приводя к возникновению углового ускорения и сил инерции.

При статическом приложении кренящего момента восстанавливающий момент постепенно увеличивается вместе с нарастанием угла крена, и эти моменты взаимно уравновешивают друг друга в течение всего процесса ста­тического накренения судна Движение судна происходит равномерно, без уг­ловых ускорении. Предположим теперь, что к судну, находящемуся в прямом положении, внезапно приложен кренящий момент, величина которого не связана с углом наклонения. Тогда график его действия можно изобразить на диаг­рамме статической остойчивости прямой линией ЕК параллельно оси (так действу­ет, например, на судно внезапно налетев­ший порыв ветра (шквал), обрыв тяжело­го груза, подвешенного на шкентеле вываленной за борт грузовой стрелы, обрыв

буксирного троса) Под действием этого момента судно быстро накреняется.

Угол крена, на который наклоняется судно при внезапном действии кренящего момента, называется динамическим углом крена θ_дин. Динамический угол крепа θ_дин определяют из условия равенства работ кренящего и восстанавливающего момента:

Следовательно, мерой динамической остойчивости служит работа восста­навливающего момента , которую надо совершить, чтобы накренить судно на угол θ_дин . (Напомним, что мерой статической остойчивости является вос­станавливающий момент). Работа постоянного кренящего момента при накло­нении судна до угла θ_дин равна произведению момента на угол крена:

На рисунке эта работа графически представлена площадью прямоугольника OEDθ_дин .

Поскольку восстанавливающий момент М_кр как функция угла крена за­дается диаграммой статической остойчивости, работу восстанавливающего момента , необходимую для накренения судна на угол θ_дин , графически можно изобразить площадью фигуры ОАВθ_дин. Тогда условие можно записать в виде.

S_OEDθдин = S_{ОАВθдин}

Как видно из рисунка, обе площади включают общую для них площадь OADθ_дин , поэтому приходим к выводу, что равенство работ кренящего и восстанавливающего моментов будет соблюдено, если заштрихованные на рисунке площади будут равны.

Отсюда получаем правило, которое используемся для графического решения уравнения (1) при сданном динамичес­ком кренящем моменте М_кр положение ординаты Вθ_дин подбирают таким образом, чтобы заштрихованные площади оказались равными. Тогда пересечение с осью ординаты Вθ_дин даст искомый угол динамическою крена. Определить динамический угол крена по диаграмме статической остойчивости можно лишь приближенно. Задачи, связанные с динамической остойчивостью решаются быстрее и точнее с помощью, так называемой диаграммы динамической остойчивости, которая представляем собой кривую, выражающую зависимость работы вос­станавливающего момента от угла крена. Построение такой диаграммы, являющейся интегральной кривой по от­ношению к диаграмме статической остойчивости, производится следующим образом. На оси абсцисс намечают несколько точек, соответствующих выб­ранным углам крена, и восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривой диаграммы статической остойчивости.

Вычислив работу восстанавливающего момента (выраженную графически соответствующими площадями) при накренении судна от прямого поло­жения (θ = 0) до заданною угла крена, на перпендикулярах откладывают орди­наты, которые в заданном масштабе оп­ределяют вычисленные значения пло­щадей Точки ординат соединяют плав­ной кривой, которая является диаграммой динамической остойчивос­ти при данном состоянии нагрузки суд­на. Чтобы определить динамический угол крена на диаграмме динамической остойчивости следует отложить на оси абсцисс один радиан (57,3 град.) и в полученной точке Н восстановить перпендикуляр, на котором в масштабе работы откладывается отрезок НС = М_кр. Соединив точку С прямой с началом координат, получим график работы постоянного кренящего момента Абсцисса точки пересечения пря­мой ОС с диаграммой динамической остойчивости (точка В) определяет ис­комый yгол θ_дин. С помощью диаграммы динамической остойчивости может быть реше­на обратная задача об отыскании динамически приложенною кренящею мо­мента М_кр по заданному углу крена θ_дин .

Связь ДСО и ДДО.

Диаграмма динамической остойчивости является интегральной кривой по отношению к диаграмме статической остойчивости и поэтому обладает свойствами, общими для всех интегральных кривых:

— Точки пересечения подынтегральной кривой (диаграммы статической остойчивости) с осью абсцисс отвечают точкам экстремума интегральной кривой (диаграммы динамической остойчивости);

— Точка максимума диаграммы статической остойчивости соответствует точке перегиба диаграммы динамической остойчивости;

— Точка максимума диаграммы динамической остойчивости соответствует углу заката диаграммы статической остойчивости;

— Любая ордината диаграммы динамической остойчивости, отвечающая некоторому углу крена θ, представляет в масштабе соответствующую этому углу крена площадь диаграммы статической остойчивости (заштрихована);

Задачи, решаемые с помощью диаграмм остойчивости.

Если момент, действующий на судно, находящееся в прямом положении, будет постепенно возрастать, то заштрихованная часть площади АВК (рис.1) будет также увеличиваться (из ус­ловия равенства работ кренящего и восстанавливающего моментов). При достижении некоторого значения кренящего момента М_{кр мах дин} вся площадь, расположенная выше линии кренящего момента, должна быть заштрихована. Динамический угол крена θ_{дин мах} станет равным статиче­скому углу крена θ_ст. соответствующему неустойчивому равновесию. Положение θ_ст определяет­ся второй точкой пересечения линии кренящего момента с диаграммой статической остойчивости, т.е. точкой К. При малейшем отклонении судна из этого положения равновесия работа кренящего момента превысит работу восстанавливающего — судно приобретет положительную угловую ско­рость и, выйдя из положения равновесия, неизбежно опрокинется. Внезапно приложенный кренящий момент, при котором динамический угол крена достигает значения статического угла неустойчивого равновесия, называется минимальным опрокидыва­ющим моментом М_опр. Прямая ОС (рис. 2) по мере увеличения кренящего момента может занять предельное положение, став касательной, проведенной из начала координат к диаграмме динамической остой­чивости. В этом случае абсцисса точки касания T₁ определит значение предельного угла динами­ческого крена θ_{дин мах}. Абсцисса точки T₁ на диаграмме динамической остойчивости будет соот­ветствовать абсциссе точки К на диаграмме статической остойчивости. Касательная ОС к диа­грамме динамической остойчивости характеризует ее предельный угол наклона α_пр к оси абсцисс, следовательно, точка пересечения этой касательной с перпендикуляром, восставленным к оси абс­цисс из точки А. соответствующей значению θ = 57.3° (1 радиан), дает отрезок АС, который опре­деляет минимальный опрокидывающий момент.

Рис 1.

Рис. 2

Теперь сопоставим значения предельных кренящих моментов — статических, постепенно возрастающих, и динамических, т. е. внезапных. Из сказанного выше следует, что предельный кре­нящий момент, действующий статически (его значение на рис.1 определяется ординатой точ­ки В), всегда больше предельного момента, действующего динамически (его значение определяет­ся ординатой ОЕ). Таким образом, для судна быстрое нарастание кренящего момента всегда более опасно, чем медленное.

До сих пор, рассматривая вопросы, связанные с действием внезапно приложенного креняще­го момента, мы исходили из предположения, что начальному положению судна соответствует угол крена, равный нулю (прямое положение). Между тем в практике эксплуатации судов бывают случаи, когда к началу действия внезапного кренящего момента судно уже находится в накренен­ном положении в результате действия какого-то кренящего момента. В этой ситуации при реше­нии задач динамической остойчивости возможны два случая: 1) судно плавает с начальным углом крена в том же направлении, в котором приложен внезапный кренящий момент; 2) судно имеет начальный крен в сторону, противоположную действию внезапного кренящего момента. При­мером первого случая служит действие на судно внезапно усилившегося ветра — шквала с навет­ренной стороны, примером второго — действие шквала с подветренной стороны.

Рис. 3

Ограничимся рассмотрением способа решения задач по определению минимального опроки­дывающего момента для второго, более опасного случая.

Допустим, что судно имеет крен – θ_ст1 созданный первоначально действующим моментом М_кр (рис.3). Кроме того, на судно действует внезапный кренящий момент М_{кр дин} в направле­нии, противоположном направлению М_кр, т. е. судно имеет крен на тот борт, со стороны которого подействовал внезапный кренящий момент.

В этом случае минимальный опрокидывающий момент определяют следующим образом.

Диаграмму статической остойчивости продолжают в область отрицательных значений абсцисс на участке, равном углу крена θ_ст1. Затем на оси абсцисс откладывают в соответствующем масштабе угол крена θ_ст1 через полученную точку Е проводят вертикальную линию до пересечения с диа­граммой (точка F) и продолжают ее вверх. После этого подбирают такое положение по высоте ли­нии DK. параллельной оси абсцисс, чтобы заштрихованные площади FDA и АВК оказались рав­ными. Найденная ордината ОС соответствует значению минимального опрокидывающего момента М_{кр мах дин} при наличии крена судна на угол θ_ст1 созданного первоначальным моментом М_кр. Абсцисса точки /С определяет угол крена θ_{дин мах} который при этом получит судно.

По диаграмме динамической остойчивости значения опрокидывающего момента и вызывае­мого им крена определяют следующим образом. Продолжают диаграмму

(рис. 4) в область отрицательных значений абсцисс на участке, равном углу θ_ст1. Затем на левой части оси абсцисс отмечают точку Е, соответствующую первоначальному углу крена θ_ст1, и через нее проводят вер­тикальную линию до пересечения с диаграммой

(точка F).

Рис. 4

Из точки F проводят касательную FT и горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс, на которой откладывают отрезок FP, равный 1 рад (57,3°). Из точки Р восставляют перпендикуляр до пересечения с касательной FT в точке Q. Отрезок PQ в масштабе оси ординат равен минималь­ному опрокидывающему моменту М_{кр мах дин} при наличии первоначального крена судна на угол - θ_ст1. Абсцисса точки Т дает значение угла крена θ_{мах дин}, вызванного моментом М_{кр мах дин}.

Сравнив ход решения задач с помощью двух диаграмм, видим, что использование диаграм­мы статической остойчивости для определения минимального опрокидывающего момента пред­ставляет некоторые трудности, но зато по этой диаграмме удобно находить динамический угол крена. По диаграмме динамической остойчивости, напротив, удобно определять минимальный оп­рокидывающий момент, но сложно найти точное положение точки Т и, следовательно, угол крена от действия этого момента. Очевидно, более точные результаты решения задачи можно получить в том случае, если минимальный опрокидывающий момент определять по диаграмме динамической остойчивости, а после этого, нанеся последний на диаграмму статической остойчивости, найти угол крена.