2. Формулировка теоремы о кинетическом моменте и основные свойства гироскопа.

Формулировка теоремы о кинетическом моменте.

Теорема о кинетическом моменте имеет важное значение в теории гироскопов. С ее помощью доказываются основные свойства гироскопа, которые были рассмотрены ранее лишь со стороны их внешнего проявления.

Докажем теорему о кинетическом моменте, имея в виду произ­вольное твердое тело, у которого точка О неподвижна (рис. 1.4).

Выде­лим в теле материальную точку A, имеющую массу т_i. Положение точки A вполне определяется радиусом-вектором r_i. Предположим, что на тело в указанной точке А действует внешняя сила f_i. Момент l_i этой силы относительно неподвижной точки О определяется следующим векторным произведением:

.

Значение момента силы

Под действием силы тело приходит во вращение и каждая матери­альная точка тела, в том числе A, приобретает линейную скорость v_i.

Как известно, произведение массы материальной точки на ее линей­ную скорость называется количеством движения материальной точ­ки q_i. Тогда

Вектор имеет то же направление, что и вектор линейной скоро­сти . Точно так же, как выше был определен момент силы f_i относи­тельно точки О, можно определить момент любого другого вектора, в том числе . Этот момент называется моментом количества движения h_i материальной точки массой относительно точки О:

Найдем первую производную по времени от вектора момента количества движения

Поскольку первая производная от радиус-вектора по времени и есть вектор скорости его конца, т.е. , векторное произведение как произведение коллинеарных векторов (синус угла между ними равен нулю).

В соответствии с формулировкой второго закона Ньютона:

Подставим данное значение в формулу:

Поскольку правая часть этого равенства есть момент силы относительно точки О, то .

Рассматривая твердое тело как совокупность n материальных то­чек и считая, что на тело действует к внешних сил, суммируя, можем записать

Выражение обозначим H. Новый вектор H — это момент количества движения тела относительно точки О или, применяя более часто употребляющийся термин, кинетический момент.

Выражение обозначим L. Вектор L — это главный момент внешних сил, действующих на тело относительно точки О.

С учетом сказанного выражение (1.4) примет следующий вид:

Полученная формула (1.5) выражает основную теорему динамики твердого тела (теорему о кинетическом моменте): первая производная по времени от вектора кинетического момента тела равна вектору главного момента всех внешних сил. действующих на тело.

Производную от кинетического момента нужно понимать в векторном смысле: Тогда производная есть скорость U конца вектора H, т.е. .

Сопоставляя выражения получим: U = L.

Отсюда теорема о кинетиче­ском моменте может быть сфор­мулирована следующим образом: вектор линейной скорости конца вектора кинетического мо­мента твердого тела относитель­но некоторой точки равен векто­ру главного момента всех сил, действующих на тело относи­тельно той же точки. Эта форму­лировка известна под названием теоремы Резаля.

Рассмотрим подробнее, что представляет собой кинетический мо­мент H применительно к гироскопу.

Выделим в гироскопе, ротор которого имеет угловую скорость Q собственного вращения, точку A (рис. 1.5). Момент количества движе­ния точки A относительно точки О центра подвеса гироскопа . В данном случае . Исходя из соотношения , получим . При суммировании по всем точкам ротора гироскопа найдем

Однако есть не что иное как момент инерции ротора гироскопа относительно оси X .Окончательно получим

Таким образом, собственный кинетический момент гироскопа ра­вен произведению осевого момента инерции ротора гироскопа на его собственную угловую скорость.

Направление вектора кинетического момента Н совпадает с направлением вектора угловой скорости Ω.

Предположим, что в то время, когда гироскоп вращается вокруг своей главной оси X с угловой скоростью , эта ось не остается непод­вижной, а изменяет направление в пространстве, вращаясь вокруг точки О. Как в этом случае определить кинетический момент гироско­па относительно неподвижной точки О?

Очевидно, что его значение не равно , а направление не совпа­дает с направлением оси X, поскольку суммарный вектор кинетическо­го момента является результирующим двух составляющих векторов кинетических моментов. Однако, если гироскоп вращается вокруг оси X с большой угловой скоростью между тем как ось X изменяет свое

направление в пространств с сравнительно медленно, при вычислении кинетического момента можно пренебречь движением оси X. В этом случае значение кинетического момента Н выражается формулой , а направление вектора Н совпадает с направлением оси X.

Кинетический момент Н гироскопа является наиболее полной ха­рактеристикой вращающегося тела, поскольку ни масса тела, ни его момент инерции, ни угловая скорость его вращения по отдельности не отражают его гироскопических свойств.

Основные свойства гироскопа.

Свойство гироскопа с 3-мя степенями свободы. (Рис. 1.1).

Первое свойство заключается в следующем. Главная ось свобод­ного гироскопа стремится удержать неизменным свое направление в инерциальном пространстве. Это означает, что если главная ось на­правлена на какую-либо звезду, то при любых перемещениях основа­ния, на котором установлен гироскоп, она будет неизменно указывать на эту звезду, изменяя свою ориентацию по отношению к системе координат, связанной с Землей. Впервые указанное свойство было ис­пользовано Л. Фуко для доказательства суточного вращения Земли.

Второе свойство состоит в том, что под действием внешней силы, приложенной к внутреннему или внешнему кольцу и создающей мо­мент, не совпадающий по направлению с главной осью гироскопа, последняя будет двигаться не по направлению действия силы (как это было бы при невращающемся роторе), а перпендикулярно этому на­правлению. Подобное свойство гироскопа называется прецессией. Пре­цессионное движение происходит с постоянной угловой скоростью, т.е. является безынерционным.

Третье свойство выражается в следующем. Под действием им­пульса силы (удара) главная ось гироскопа практически не изменяет первоначального направления, а лишь совершает быстрые колебания около положения равновесия.

Свойство гироскопа с 2-мя степенями свободы. (Рис. 1.2).

Гироскоп с двумя степенями свободы не обладает ни одним из тех свойств, которые имеет гироскоп с тремя степенями свободы. Свойство, присущее только гироскопу с двумя степенями свободы, заключается в следующем. Если придать основанию, на котором установлен гиро­скоп, вращение вокруг оси Z — Z, т. е. оси, не совпадающей с осью собственного вращения ротора и осью подвеса Y— Y, то ротор вместе с кольцом подвеса поворачивается вокруг оси подвеса до тех пор, пока ось X — X собственного вращения ротора не совпадет с осью вращения основания, т. е. с осью Z — Z вынужденного вращения гироскопа.

Свойство гироскопа с одной степенью свободы.

Пока основание, на котором установлено тело, обладающее собственным вращением, неподвижно, никаких гироскопических свойств тело не имеет. Они возникают в том случае, если вращение основания вызовет вынужден­ное вращение тела вокруг оси, не совпадающей с осью его собственного вращения. В соответствии со свойством гироскопа с двумя степенями свободы ось собственного вращения тела при этом стремится совпасть с осью вынужденного вращения. Этому движению препятствуют опоры (подшипники) главной оси. Действие ротора на опоры выражается в виде приложения к ним сил и F₂ (рис. 1.З.), которые получили название гироскопических сил.