то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

x =

x1′

- vK ′ ×t¢

1

v2

1-

x ′ - x ′

C2

Þ x2 - x1 =

1-

v2

2

2 Þ l¢ = l ×

2

¢

×t¢

v

C

x =

x2

- vK ′

1-

2

2

2

v

C

1-

C2

l′ < l Þ длина тела в движущейся системе отсчета меньше истинной. Сокращение длины тела зависит от скорости движения системы. При рассмотренном движении (вдоль ОХ) поперечные размеры не изменяются, а значит меняется форма тела. Следовательно длина является вариантом в преобразованиях Лоренца. Если v << C , то l′ ® l .

ì

v

2

v2

l

× v2

ïl

дв

= l

пок

× 1-

Þ lдв = lпок × (1

-

) Þ Dl = lдв - lпок = -

пок

-

абсолютное

í

C2

2*C

2

2 *C

2

ï

îv << C

изменение длины.

ДЛИТЕЛЬНОСТЬ СОБЫТИЙ. СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ.

ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ. 3-Е СЛЕДСТВИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА.

Длительность событий. Собственное время. Замедление хода движущихся часов.

Пусть в точке с координатой x в системе K происходит событие, длительность которого по часам этой системы τ = t2 -t1 , где t1, t2 - начало и

конец события.

Длительность этого события в системе K′ :

t

- vx

t

- vx

t

2 - t1

τ

τ ¢ = t2¢ - t1¢ =

2

c2

-

1

c2

=

=

v2

v2

v2

1-

1-

1-

v2

1-

c2

c2

c2

c2

τ =τ

¢

v2

Þ τ <τ

¢

1

- c2

Таким образом, событие, происходящее в некоторой точке, характеризуется наименьшей длительностью в той системе, в которой эта точка неподвижна. Время, измеренное по часам той системы, в которой эта точка неподвижна, называется собственным временем.

Интервал времени τ ′ , отсчитанный по часам K′ , с точки зрения наблюдателя из системы K будет продолжительнее собственного интервала. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета с постоянной скоростью сопоставимой со скоростью света, идут

21

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

медленнее покоящихся часов. Этот эффект называется эффектом замедления времени. Но наблюдатель в системе K′ не заметит, что его часы идут медленнее, чем в системе K т. к. данный эффект является взаимным.

В СТО в отличие от классической механики течение времени зависит от состояния движения систем. Таким образом единого мирового времени не существует.

Парадокс близнецов.

Пусть фантастический корабль совершает полет к Звезде, находящейся на расстоянии от Земли в 500 световых лет, со скоростью, близкой к скорости

света:	v2	= 0,001. Тогда τ = τ ′×0,001. По земным часам полет туда обратно
	1- c2

занимает 1000 лет, а для космонавтов – 1 год:

τKOC =1000×0,001 =1.

То есть, космонавт вернется на Землю более молодым, чем его брат близнец

– парадокс близнецов.

	τ KOC	=		1
	¢		1000
τЗЕМН

При таком отношении обнаруживается релятивистский эффект.

В действительности парадокса нет, т.к. принцип относительности утверждает равноправие не всяких, а только инерциальных систем отсчета. (Система Земли – инерциальная, а корабля – нет.)

Эффект замедления времени является взаимным, симметричным относительно обеих систем.

Экспериментальное подтверждение замедления времени применяют для объяснения нахождения мюонов у поверхности земли.

1. dτ = dτ

¢

v2

–

эта

формула нашла

ν

1

- c2

π +

применение

в

объяснении

МЕЗ

прохождения мюонов через атмосферу

e

+

Земли.

μ+

π + ® μ+ +ν

μ+ ® e+ + 2ν

ν

ν

Время

жизни

нестабильного

μ : τ

μ

+ = 2×10−6

сек .

Они образуются на высоте 20-30 км от поверхности Земли, однако их часть регистрируется у самой поверхности. В отсутствии замедления времени они смогли бы пролететь только l¢ =τμ v = 2×10−6 ×3×108 = 600м

2. Кроме того эффект замедления времени применяется в ускорителях.

22

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3. В 1972 году Китинг и Хафель обнаружили замедление времени с помощью атомных часов.

Опыт заключался в том, что одни атомные часы летали в реактивном самолете, в то время, как другие оставались на земле. После приземления самолета выяснилось, что часы, находившиеся в самолете отстали (дополнительно к различию, объяснимому изменением с высотой гравитационного поля).

Линейная скорость точек поверхности Земли – v

Время в неподвижной системе координат (центр земли) – t Собственное время покоящихся часов – τ0

Часы в западном направлении – τ+ На поверхности Земли:

dτ0 = dt 1- v2 c2

При движении на запад:

dτ+ = dt 1- (v -2u)2 c

При движении на восток:

dτ

−

= dt

1- (v + u)2

c2

ü

τ = τ ¢× 1-

v

2

ï

C2

ï

- инварианты в перобразованиях Лоренца - Эйнштейна

ý

dτ = dτ ¢× 1-

v2

ï

ï

C

2

þ

Докажем инвариантность собственного времени в преобразоованиях Лоренца - Эйнштейна

Пусть :dτ

¢

= dt, dτ = dt

v2

1- C2 Þ

dS2

= dx2 + dy2 + dz2 - C2 × dt2

dS2

= dr2 - C2 × dt2

v2

= i ×C × dτ Þ dτ =

dS

dS = dr2 - C2 × dt2 = i ×

C2 × dt2 - dr2 = i ×C × dt × 1-

= const

C2

i ×C

Таким образом dtсобст ,tсобст является инвариантом в преобразованиях Лоренца- Эйнштейна.

Рассмотрим четвертое следствии преобразований Лоренца-Эйнштейна:

Пространственно-временной вектор является инвариантом в преобразованиях Лоренца-Эйнштейна.

Всистеме K : S 2 = (x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - C 2 (t2 - t1 )2

Всистеме K ¢ : S¢2 = (x¢2 - x1¢)2 + ( y2¢ - y1¢)2 + (z¢2 - z1¢)2 - C 2 (t2¢ - t1¢)2

23

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Докажем, что S 2 = S¢2

Из преобразований Лоренца-Эйнштейна:

y

= y′, y

2

= y′

1

1

2

¢

= z

¢

z1 = z1 , z2

2

¢

¢

¢

¢

x

- x =

x2 - x1

+ v(t2

- t1 )

2

1

v2

1-

C 2

¢

¢

+

v

¢

¢

t2 - t1 =

t2

- t1

C 2

(x2

- x1 )

1-

v2

C 2

¢

¢

2

+ v

2

¢

¢

2

¢

¢ ¢

¢

2

¢

¢

2

-

v2

¢

¢

2

(x2¢ - x1¢)

2

- C

2

(t2¢ - t1¢)

2

=

(x2

- x1 )

(t2

- t1 )

+ 2(x2

- x1 )v(t2

- t1 ) - C

(t2

- t1 )

C 2

(x2

- x1 )

1-

v2

C

2

- 2v(x¢2 - x1¢)(t2¢ - t1¢)

	(x2¢ - x1¢)2	+ v2 (t2¢ - t1¢)2	+ 2(x2¢ - x1¢)v(t2¢ - t1¢) - C 2 (t2¢ - t1¢)2	-	v2	(x2¢ - x1¢)2	=
					C 2
	(x2¢ - x1¢)2	+ v2 (t2¢ - t1¢)2	+ 2(x2¢ - x1¢)v(t2¢ - t1¢) - C 2 (t2¢ - t1¢)2	-	v2	(x2¢ - x1¢)2
					C 2
	0 = 0 Þ

Пространственно-временной вектор является инвариантом в преобразованиях Лоренца-Эйнштейна. Кроме того инвариантом является и дифференциал пространственно-временного вектора.

Следовательно в преобразованиях Лоренца инвариантами

являются:C,tсобст ,четырехмерный вектор, дифференциал четырехмерного вектора

Варианты: координаты,t,v,l, a

СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО ЛОРЕНЦУ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

НЕВЫПОЛНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ЗАКОНА НЬЮТОНА.

Пусть в системе K ′ движется частица со скоростью U¢ = i¢ ×U¢x + j¢×U¢y + k¢ ×U¢z .

¢

dx′

¢

dy′

¢

=

dz′

Ux =

dt

,U y =

dt

,Uz

dt

r

r

r

×Ux +

r

×Uz

Тогда:

В системе K :U = i

j

×U y + k

dx

dy

dz

Ux =

,U y

=

,Uz =

dt

dt

dt

24

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Воспользуемся преобразованиями Лоренца-Эйнштейна для вывода закона

r

сложения скоростей для случая, когда U ¢ OX ,U ¢ сравнимо с С :

ì		x¢ + v ×t¢
ïx =
						v2
ï	1-
ï					C2
ï
ïy = y¢
íz = z¢
ï								v
ï
ï	t¢ + x¢ × C2
ït =
						v2
ï	1-
ï						C		2
î

ì
ïU	x	=		dx	=
ï				dt
ï
ï
ï
ï				dy
ï
Þ íU y =						=
				dt
ï
ï
ï
ï				dz
ï
ïUz		=			=
				dt
ï
î

dx¢ + v × dt¢ dt¢ + dx¢ Cv2

dy¢ 1- v2 C2

dt¢ + dx¢ Cv2

dz¢ 1- v2 C2

dt¢ + dx¢ Cv2

dt

¢

¢

=

v +Ux

dt¢

¢

v

1+Ux C2

U¢y

1-

v2

=

C

2

- закон сложения скоростей.

¢

v

1+Ux C2

Uz¢

1-

v2

=

C2

1+Ux¢

v

C2

(1)

Из закона сложения скоростей следует, что в вакууме нельзя получить скорость большую скорости света.

Законы динамики.

Динамика рассматривает движение тел с учетом сил, вызывающих это движение. Таким образом сила является главным параметром динамики.

Силы.

Сила – физическая величина, характеризующая взаимодействие двух или более тел, определяющая изменение состояния движения тел (скорость) или изменение формы тела (деформация).

В динамике Ньютона не скорость, а изменение скорости, то есть ускорение, имеет причину. Причиной изменения скорости является сила.

1)Сила не есть самостоятельная сущность, не зависимая от материальных тел. Она создается материальными телами.

2)Сила – количественная мера интенсивности взаимодействия.

3)сила изменяет скорость по величине и направлению.

Сила – векторная величина.

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона.

Тело, достаточно удаленное от других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. (Закон инерции)

25

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

		r
Fрез = ma
				n	r
n	r	r r		åFi n			r	r
				i=1				dv
åFi		= ma, a	=			, åFi = m
				m				dt
i=1						i=1
Если		F = 0 ,	то		a = 0 Þ dv = 0 Þ v = const . Не является ли первый закон

следствием второго?

Равномерное движение теряет смысл, если часы системы отсчета не синхронизированы. То есть, законы инерции без указаний системы отсчета теряют смысл.

Первый закон Ньютона является независимым законом, выражающим критерий пригодности системы отсчета для рассмотрения движения. Это закон является первым в порядковом смысле, потому что только после него

можно говорить о точно определенном физическом смысле и содержании второго и третьего законов.

Второй закон Ньютона:

	r		r		r	r
			dv		d2r
	ma	= m		= m		= Fрез
			dt		dt2

Физическое содержание этого закона состоит в том, что сила определяет вторые производные координат по времени.

			r			r	r	r
	m dv =				d (mv)		= dp
								= F
		dt			r	dt	dt	рез
	r
			= dp
	F
	рез			dt

Производная импульса тела по времени равна результирующей силе и совпадает с ней по направлению.

r
dp = Fdt	r	Изменение импульса равно изменению суммы внешних сил.
r
d (mv ) = Fdt

Пример – буксировка на гибком металлическом тросе и на канате.

Инертность – способность тела оказывать сопротивление при попытке изменить вектор скорости.

Третий закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямых, соединяющих эти точки.

Пусть взаимодействуют m1 и m2 .

26

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

r

r

ìdp1

r

r

= F1

ì p1

= m1v1

ï dt

í r

r

í

r

r

î p1 = m1v1

ïdp2

= F2

ï

dt

r

r

î

r

r

F1 = -F2

, F1 + F2

= 0

r

r

d

r

r

r

r

dp

dp

1

+

2

=

( p1

+ p2 ) = 0

Þ

p1

+ p2

= const

dt

dt

dt

В изолированной системе сумма импульсов постоянна.

r				r
dp = Fdt, d			(mv ) = Fdt
r	r	t2 r		r		r		r
p2			v2		v2		t2
ò dp = ò Fdt,			ò d (mv ) = mò d (v ) = òFdt
r		t1	v1		v1		t1
p1

Пример: Стакан падает на бетонный пол или на ковер.

v1 = v2			= const Þ p = const
	t2		r
p = ò Fdt = FDt
	t1
F =		p
		Dt

Чем меньше время взаимодействия, тем больше сила. Что будет, если масса не постоянна?

r		d	r	dm r			dv		dm r		r
F	=		(mv) =		v	+		m =		v	+ ma
		dt		dt			dt		dt

Þ Направление силы может не совпадать с направлением ускорения!

Третий закон Ньютона в замкнутых изолированных системах является законом сохранения импульса. Он ничего не говорит о величинах сил действующих на тело. Свидетельствует лишь их равенство. Таким образом действие и противодействие ничем не отличаются по своей сути.

27

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Однако третий закон Ньютона может не выполняться при магнитных взаимодействиях. Из рисунка видно, что F1 ¹ F2 . Но если скорости частиц малы, то магнитным полем можно пренебречь, и тогда закон выполняется.

ПРОДОЛЬНАЯ И ПОПЕРЕЧНАЯ МАССА. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ. МОМЕНТ СИЛЫ, МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОГО ТЕЛА.

Рассмотрим синхротрон:

m =

F

= const(v << c)

a

m =

F

¹ const(v ® C)

a

r r

r

r

r

r

F = FЭ + FМ

= E × q + q[v, B]

E

×rq

FЭ

m0

Продольная масса:

m

=

=

=

d

v

aτ

(1-

v2

3 / 2

)

dt

C2

Поперечная масса:

		r						m0
m =	q ×	[v, B]			=
		a	n					v2
							1 / 2
					(1		-		)
								C2

Где m0 - масса покоя.

Рассмотрим релятивистское уравнение движения:

Из рисунка видно, что r не совпадают.

a и F

r

r r

m0

r dv

m0

r

v2

F

= FЭ + FМ

=

×τ ×

+

× n

×

(1)

v2

3 / 2

dt

v2

1 / 2

R

(1-

C

2

)

(1-

)

C2

28

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

dτ (S)		=	dτ			×	dS		= v ×
			dS
dt							dt
r	v × dτr						m0
FМ =
		dt		(1-				v2		1 / 2
										)
								C2

dτ	r		v		dτ	r		v
dS	= n	×		Þ		= n	×		(2)
			R		dt			R
(3)

r

= τr

d

v

F

× m ×

(

)

(4) Þ

dt

Э

0

-

v2 1 / 2

(1

)

r

C2

v × dτr

r

d

v

m0

F = τ × m0 ×

(

) +

×

(5)

dt

(1-

v2

1 / 2

dt

(1-

v2

1 / 2

)

)

C2

C2

Рассмотрим производную:

æ

ö

æ

ö

d

ç r

m × v

÷

d

ç

m × v

÷

r

d

r

m × v

çτ ×

0

÷ =

ç

0

÷

×τ +

(τ )×

0

dt

ç

(1-

v2

1 / 2

÷

dt

ç

-

v2

1 / 2

÷

dt

-

v2

1 / 2

ç

)

÷

ç

(1

)

÷

(1

)

C2

C2

C2

è

ø

è

ø

Таким образом:

		æ			r
	r	ç
		d ç		m0	×τ × v
	F =
		dt	ç	(1-	v2	1 / 2
		ç				)
					C2
		è

ö			æ			r	ö
÷		d	ç				÷
÷	=		ç	m0 × v			÷	(7)
					v2
÷		dt ç		(1-		1 / 2	÷
÷			ç			)	÷
					C2
ø			è				ø

С другой стороны:

r

dP

r

r

m0

r

m0v

F

= ma

=

Þ P =

Û m =

dt

æ

v

2

ö1 / 2

æ

v

2

ö1 / 2

ç

-

÷

ç

-

÷

2

2

ç1

C

÷

ç1

C

÷

è

ø

è

ø

1)Таким образом: выражение (7) является вторым законом Ньютона в релятивистской форме.

2)Т.к. поперечная и продольная массы неравны, то векторы силы и ускорения неколениарны.

3)Релятивистская масса зависит не только от скорости, но и от направления вектора силы.

МОМЕНТ СИЛЫ, МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОГО ТЕЛА.

Представим твердое тело как систему материальных точек, рассматриваемых в совокупности.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА – мера действия силы на тело.

Рассмотрим твердое тело способное вращаться относительно некоторого начала О.

29

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

M = M =

cosα

r

[r, F]

r r α = α r F sin rF sin

rr

=(r, F)

rr r F

= = r = r r Þ = α

L N [r, P] m[r,v] N rvmsin

Введение момента силы ( M ) и момента

импульса ( L ) важно потому, что существует уравнение моментов, связывающее момент

силы и момент импульса.

dN d

r r

r

r

dP r

r

r r

r

r

r

r

dN

r

dr

=

([r,mv]) = P ´

+

´ r

= P ´ v + r

´ F

= 0

+ F

´ r

Þ

= M

dt

dt

dt

dt

dt

Производная момента импульса материального тела относительно неподвижного начала по времени равна моменту силы относительно того же начала. Это уравнение верно и для релятивистского случая.

ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ. ЦЕНТР МАСС. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ.

Механическая система – совокупность материальных точек, которые можно рассматривать в данных условиях как единое целое.

Силы с которыми на материальные тела системы действуют внешние тела называются внешними, а силы взаимодействия материальных тел системы между собой – внутренними. Внутренние силы действуют попарно, их можно приложить к одной точке. В силу третьего закона Ньютона векторная сумма всех сил системы равна нулю. Поэтому внутренние силы никогда не изменяют состояния движения механической системы. Если на систему не действуют внешние силы, то она ЗАМКНУТА и ИЗОЛИРОВАННА.

Рассмотрим основные механические параметры материальных точек системы и самой системы в целом.

30

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com