ФНП Р. Л. Н

Определение. m-мерной последовательностью точек называется бесконечное множество точек пространства Rm , каждой из которых

поставлен в соответствие номер n N , т. е. упорядоченное бесконечное множество точек Rm . Обозначим последовательность

точек M

Rm, где

M

x n

,...,x n , т.е.

x n ,i

–

числовые

n

n

1,m

1

m

i

последовательности.

1

2

A 0,1 , точка А является пределом

Пример. Mn

,1

; Mn

n

n

n

последовательности точек Mn;

М1 1,3 , М2

1

,2

, М3

1

,

5

, А R2,

2

3 3

Mn R2.

Определение.

Точка

А

называется

пределом

последовательности точек Мп при п

Мп

, если:

А

n

Мп,А 0 при п ;

0, достаточно маленького, n0 такой, что n n0, верно

неравенство Mn,A ;

какую бы ни взяли -окрестность точки А, найдется номер п0 ,

начиная с которого все точки последовательности будут находиться в

-окрестности этой точки;

х1п n а1

.............. , если А а1,...,ат .

хтп n ат

Определение. Мп n равносильно:

Мп,0 , 0 0,0,...,0 ;

n

К 0 большого, n0 К такой, что n n0, Mn,0 К ;

какой бы ни взяли m-мерный шар достаточно большого r К с

центром в 0 0,...,0 , найдется n0 К , начиная с которого все точки по-

следовательности будут находиться вне шара;

хотя бы одна xin при n i 1,m, т. е. xin – бесконечно большая числовая последовательность хотя бы для одного из i 1,m.

3. Понятие функции нескольких переменных

Пусть множество Q Rm и U R; точка M x1,...,xm Q, u U .

Определение. Функцией m-действительных переменных называ-

ется закон или правило, по которому каждой точке M Q ставится в соответствие действительное число u U .

Функция обозначается f :Q U ( f отображает множество Q во множество U ), или u f M , или u f x1,...,xm .

Определение. Множество Q называют областью определения функции D f Q , а множество U – область значений функций; x1,...,xm – аргументы; u – функция.

Способы задания функции двух переменных

Пусть множество Q R2 и Z R; M x,y Q;z Z .

Рассмотрим f :Q Z или z f x,y . 1. Аналитический. Задается формулой.

Примеры.

1) z x2 y2; D z R2; 2)z x2 y2 ; D z R2;

3)z 2x y; D z R2.

2.Табличный. Задается таблицей с двумя входами:

	x		x1			x2	x3		…
	y
	y1		f x1,y1			f x2,y1	f x3,y1		…
	y2		f x1,y2			f x2,y2	f x3,y2		…
	y3		f x1,y3			f x2,y3	f x3,y3		…
	…		…			…	…		…
	Замечание	. Если функция задана аналитически, то ее всегда
можно задать таблично.
3. Графический.
	z f x,y ;		M x,y z f x,y , т.е. точке M x,y					соответствует
~
точка M x,y, f x,y .
Геометрический смысл функции двух переменных: поверхность в
пространстве, которую				в	плоскость x0y		можно проектировать на
множество Q (рис. 3).
Функция z f x,y				является уравнением поверхности. Ее назы-
вают явной функцией.

z

z

1

~

М

1 y

1

0 y

x

М Q

x

Рис. 3

Рис. 4

Если поверхность задана, то можно сказать, что задана функция

двух переменных графически, тогда уравнение поверхности

F x,y,z 0 определяет функцию двух переменных, заданную неявно,

причем роль аргументов может играть любая пара переменных, т. е.

функцию можно рассматривать как z(x,y), или x(y,z), или y(x,z).

Пример. Уравнение x2 y2 z2 1 является уравнением сферы с центром в точке D 0;0;0 и r 1, запишем его в явном виде

z 1 x2 y2 .

D(z):1 x2 y2 0 или D z x,y : x2 y2 1 (рис. 4).

Определение. Рассмотрим функцию двух переменных z f (x,y).

Линией уровня функции двух переменных называется кривая, вдоль которой функция принимает постоянное значение, т. е. значению функции z c соответствует линия уровня с уравнением f (x,y) c.

Замечание. С помощью линий уровня можно построить саму по-

верхность, исследовать поведение функции в области определения.

z

y

4

0

1

2 x

1

0

1

2 y

Рис. 5

x

Рис. 6

Пример. Найти и построить линии уровня функции z x2 y2,

построить поверхность.
z x2 y2;	z c;	x2 y2 c;			с 0; линии уровня функции
окружности с центром (0;0) и r					(рис. 5).
			c
с 0 точка 0;0 ; с 1 x2 y2			1; c 4 x2 y2 4. При r
z . По линиям уровня можно построить поверхность (рис. 6).
Пример. Найти и построить линии уровня функции z 2x y.
Линии уровня – прямые (рис. 7).

	c 0,	2x y 0;
z c, 2x y c;	c 1,	2x y 1;
	c 1, 2x y 1.

Замечание. Линейная функция двух переменных определяет плоскость в пространстве.

Упражнение. Найти и построить линии уровня функции z x2 y2 ,

построить поверхность.

y

1

0

1

x

-1

Рис. 7

Функции трех и более переменных

Q R3; M(x,y,z) Q;			U R;	f :Q U .
			~	~			4	.
u f (M); u f (x,y,z); M(x,y,z) M ; M(x,y,z, f (x,y,z)) R
Замечание.	У	функции	трех	переменных		реального
геометрического	смысла	нет, но	множество точек		~	называют
					М

гиперповерхностью в R4, u f (x,y,z) – уравнение гиперповерхности.

Рассмотрим F(x,y,z,u) 0 – неявную функцию трех переменных.

Она определяет гиперповерхность в R4.

Рассмотрим функцию т-переменных u f (x1,...,xm), явно заданную, или F(x1,...,xm,u) 0 неявно заданную.

Функция задается аналитически. Определяет гиперповерхность в

Rm 1.

Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных u f (x,y,z) называется поверхность, вдоль которой функция принимает постоянное значение, то есть значению u c соответствует поверхность уровня с уравнением f (x,y,z) c.

Пример. Найти поверхности уровня функции u x2 y2 z .

D(u):x2 y2 z 0;

u c;	x2 y2 z c;	c 0; x2 y2 z c2;	z x2 y2 c2.
При с 0 z x2 y2;		при c 1 z x2 y2 1.

ЛЕКЦИЯ №2

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Предел функции

Определение. Число B называется пределом функции u f (M) в

точке A(a ,...,a		)		lim f M B;	lim	f x ,...,x		B		, если:
1	m		M A		x1 a1	1	m
					......
					xm am
какую бы	ни			выбрали	последовательность					точек Mn ,

сходящуюся к точке	A при		n ,				соответствующая	числовая
последовательность f Mn сходится к							В при п ;
0, достаточно малого,			найдется				-окрестность	точки A,
такая, что для всех точек M , принадлежащих этой окрестности,
выполнено неравенство		f M B				, т. е. значения функции f M

принадлежит -окрестности числа В, если точка М лежит в -

окрестности точки А.

Определение. Функция u f M не имеет предела в точке A,

если существуют хотя бы две последовательности точек Mn A,
			n
~	что	числовые последовательности значений
Мп A, такие,
n
	~	либо имеют разные пределы при n ,
функции f Mn , f Mn
либо не имеют пределов вообще.
Определение.	lim f M B Mn ;		f Mn B.
M		n	n

Замечания:

1)аналогично функции одной переменной вводятся понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций нескольких переменных в точке и на бесконечности;

2)все свойства предела функции одной переменной верны и для функции нескольких переменных;

3)понятия эквивалентности бесконечно малых и бесконечно больших функций аналогичны понятиям для функции одной переменной.

Определение. Функция u f M ограничена на Q, если существуют константы c1,c2 или c 0, такие, что выполнены

неравенства c1 f M c2 или		f M		c; M Q.
Примеры.

1. lim

x 1 y 0 z 2

2x y z 1	1	M 1,0,2 .
x 4y z

2.

lim

sinxy

0

lim

xy

lim

1

1

, т.к. sinxy ~ xy.

xy

2

0

2

3

x 0

x 0 xy

x 0 y

x 0

y 3

y 3

y 3

y 3

1

1 lim

1

1

1

3.

lim 1 xy

1 xy

x

e3 3

e

.

yx

2

yx

x 3

x 3

y 0

y 0

x y

0

x cos

cos sin

4.lim

y sin lim

x 0 x y

0

x 0

0 cos sin

y 0

y 0 0

lim cos sin .0cos sin

Так как при переходе в полярную систему координат 0, если x,y 0, и не зависит от , то предел функции будет существовать,

если он не зависит от . Тогда lim cos sin не существует, так как

0cos sin

получается значение, зависящее от .

x3

y3

0

x cos

lim cos3 sin3 0.

5.

lim

y sin

2

y

2

0

x 0 x

x 0 0

0

y 0

y 0

6.

lim

x y 3

u x 1, x 1 u 0

x 1

2

2

v y 2,y 2 v 0

y 2

x 1

y 2

		u v			u					cos sin
							cos
lim								,u,v 0 0	lim
		u2 v2
u 0					v sin				0
v 0

lim cos sin , предел не существует.

0

2. Непрерывность функции в точке и на множестве

Определение.	Функция		u f M , M Rm		непрерывна в точке
M0 Rm, если она определена в этой точке,				и	lim	f M f M0 .
				M M0
Определение.	Функция u f M ,			M Rm		непрерывна на
множестве Q, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение.	Точка	M	называется	точкой		разрыва функции
u f M , M Rm,	если	она	принадлежит		области определения

функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Точка М0 называется точкой	разрыва первого	рода, если
lim f M существует, но не равен	f M0 .
M M0
Точка М0 называется точкой разрыва второго рода,		если предел
не существует или равен бесконечности.

Точка М0– точка устранимого разрыва, если предел существует,

но не существует f M0 , и тогда функцию можно доопределить,

положив значение функции в этой точке, равным пределу.

Замечания:

1)исходя из определения непрерывности функции в точке и предела функции в точке, можно установить, что все свойства непрерывных функций одной переменной верны и для функций многих переменных: сумма, произведение, частное, суперпозиция непрерывных функций есть непрерывные функции;

2)так же, как элементарные функции одной переменной

непрерывны в своей области определения, элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения.

Теорема. Всякая непрерывная функция нескольких переменных в замкнутой ограниченной области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений (либо внутри области, либо на границе).

1

Пример. Исследовать функцию на непрерывность z x2 y2 .

D z :x2 y2 0 или D z R2 0, 0 .

В D z функция непрерывна, т. к. является элементарной.

lim		1	0;0 – точка разрыва второго рода (рис. 8).
		2 y2
x 0 x

y 0

Пример. Исследовать функцию на непрерывность z ln x y .

D z :x y 0; D z x,y :x y;x R; y R .

В D z функция непрерывна, т. к. является элементарной.

Q x0,x0 ;x0 R точки разрыва.

lim ln x y точки разрыва второго рода (рис. 9).

x x0 y x0