ФНП Р. Л. Н

вектора, ее называют производной по направлению вектора l в точке

М0 от функции u f x,y,z .

u

l

	Обозначим производную по направлению					u		M	, т.е.
				u		l			0
	M		lim		.
		0
			l 0 l

Вывод формулы производной по направлению:

u lim u lim du lim ux M0 x uy M0 y uz M0 z

l

l 0 l

l 0 l

l 0

l

ux M0 cos uy M0 cos uz M0 cos

g

M0 l0

g

M0

l0

cos

cos ; т.е.

u

g

gradu

M

0

M

M

l0 ,

l

0

0

где

gradu

M0 ux M0 ;uy M0 ;uz M0

g

M0 –

вектор-градиент в

точке М0,

l0 cos ;cos ;cos .

Таким образом, значение производной по направлению в точке

М0

(мгновенная скорость изменения функции в точке М0 в

направлении l

) зависит от угла, который образует l с

g

M0 .

max

u

u

g

cos 1; 0 ;

M0

l

l

g

min

u

u

g

;

g

g

cos 1; 180 .

M0

1

l l

g1

Замечание.

Для функции двух переменных аналогично выво-

дится

производная

по

направлению z f x,y ;

M0 x0,y0 ;

z

g

g

zx M0 ;zy M0 ;

M

0

M

0

l0 , где

M

l

0

l0 cos ;cos cos ;sin ; 90 .

Пример. Найти мгновенную скорость изменения функции

z 2x2 4y y2 в точке M0 1;2 в направлении точки N 3; 1 .

Найти направление максимума и минимума мгновенной скорости

изменения функции в точке М0 и их величины.

Решение. 1)

z 2x2 4y y2;

zx 4x;

zy 2y 4;

g

M0 4;0 ;

l

2

3

l M0N 2; 3 ;

l

13; l0

;

;

z

l

13

13

g

1

4;0 2; 3

8

;

M

M

l0

l

0

0

13

13

max

z

М

z

M

g

M

4;

min

z

М

z

M

4;

g

1 4;0 .

l

g

l

0

0

0

l

l

0

g1

0

Вектор

g

M0

направлен по нормали

y

к линии уровня (для функции двух

переменных) или поверхности уровня

(для

функции

трех

переменных),

N

М0

проходящей через точку М0.

Покажем это для функции двух

переменных.

Рассмотрим

функцию

0

x

z f x,y и линию уровня				Рис. 14
z M0 C0 z C0, проходящую через точку М0;				f x,y C0				линия
уровня, f x,y C0 0.			M0 fx M0 ; fy M0		g	M0		вектор
		N

нормали касательной к линии уровня (рис. 14).

Замечание. Для линейной функции z ax by c g постоянен во

всех точках, g a;b . Линиями уровня линейной функции являются

		y						y
4												g
1				g				1				М0
								0
-2		-1				2	x
										1		x

Рис. 15

Рис. 16

параллельные прямые.

Пример. Найти линии уровня, проходящие через заданную точку,

построить, найти вектор gM0 .

z 2x 4y; M0 0;0 ; z M0 0; 2x 4y 0; gradz 2;4 (рис. 15). Пример. z x2 y2; M0 1;1 ; z M0 2; x2 y2 2;gradz 2x;2y ;

gM0 2;2 (рис. 16).

ЛЕКЦИЯ №7

НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО

ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

В ЗАМКНУТОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Теорема. Всякая непрерывная функция достигает

своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой

ограниченной области, причем либо внутри области – в

точке локального экстремума, либо на границе.

Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

с помощью линии уровня

Рассмотрим z f x,y ; z c, f x,y c. Выстраивая линии

уровня в зависимости от c, находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе, либо внутри области, причем на границе достигается наибольшее и наименьшее, либо в точке касания границы и линии уровня, либо в угловых точках границы (где не существует касательная).

y

М0

М1

0 x

Рис. 17

zнаим z M1 с0 ;

y

М0

М1

g

0 x

Рис. 18

zнаиб z M0 с0 (рис. 17).

Необходимо найти точку М0 и значения с0. Пусть уравнение

границы имеет вид F x,y 0. Линия уровня, проходящая через точку

М0: f x,y с0.

ккас FxFy – угловой коэффициент касательной к границе;

ккас fx

fy – угловой коэффициент касательной к линии

уровня.

Тогда решение определяется следующей системой:

		F x,y 0;
		f x,y с0 ;
Fx		Fy	fx	fy .

Аналогично составляется система, когда наибольшее и наименьшее значения находятся в угловых точках границы:

		F x,y 0 ;
		f x,y с0 ;
Fx		Fy несуществует.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции z ax by c в замкнутой ограниченной области

Рассмотрим для данной функции различные области:

1. Q – многоугольник ; линии уровня данной функции,

соответствующие значению z c0, прямые ax by c c0, вектор g a;b (рис. 18). Таким образом, наибольшего и наименьшего значения линейная функция достигает в вершинах многоугольника либо на ее стороне.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в многоугольнике:

находят вершины многоугольника, вычисляют значения функции в этих точках;

выбирают наибольшее и наименьшее значения функции.

Если значения функции совпадают в двух точках, то функция достигает наибольшего и наименьшего значений на стороне,

соединяющей эти точки.

2. Q – не многоугольник, решается в общем виде.

Пример.

z x2 y2.

Q

x y 3;

z c;

x

2

y

2

c;

линии уровня –

окружность

:

0,y

0;

x

R

с

центром

в точке

0;0 ;

с 0; снаим 0;

x2 y2 0;

c

zнаим z 0;0 0 при

R ,

c zнаиб z A z B 9; A 0;3 ,

B 3;0 (рис. 19).

Пример. z 2x 4y 1.

Q

x y 3;

А 0;3 ,

В 3;0 ,

С 0;0 , z A 13, z B 7, z C 1.

:

0,y

0;

x

zнаим z 0;0 1;

zнаиб z 0;3 13.

Пример. z 2x 4y 1.

2

2

Q

: x

y

4;

z c; 2x 4y 1 c; 2x 4y c 1;

g

2;4 .

x 0,y 0;

c 1

; 2x 4y 0; zнаим z 0;0 1; zнаиб z M0 C0

(рис. 20).

x2 y2

4;

2x 4y

C

0

1;

М

?, С

?

2

2x

0

0

;

4

2y

x 0, y

0.

y 2x ;

C0 1 10x;

5x2 4;

x 0, y 0.

		x	2				;
			5
		y	4					;
			5
	C0 1 4				5.

		наим z 0;0 1; zнаиб							2				4
z								z				;					1 4			5.
									5
														5
y																	y
3			А
																	2						М0		g
							В										1
0								x									0			1			2			x
		1				3
						Рис. 19																	Рис. 20

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений

функции:

1)находим область определения функции, строим ее;

2)находим критические точки функции и выбираем те, которые принадлежат данной области. Вычисляем значения функции в этих точках;

3)находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе (методом исключения);

4)из найденных значений в п. 2), 3) выбираем наименьшее и

наибольшее.

y x ; x a;b граница области.

Исследуем функцию z f x,y . Рассмотрим ~z f x, x .

Полученная функция ~z совпадает с функцией z вдоль кривой y x ; x a;b . Т. о., нахождение наибольшего и наименьшего

значений функции z f x,y на границе y x ; x a;b сводится к

нахождению наибольшего и наименьшего значений функции ~z f x, x на a;b . Пусть искомая точка x0 a;b , тогда ей

соответствует точка М0 x0, x0 , принадлежащая границе области.

Вычисляем z M0 .

Замечание. Если граница не задается одним уравнением, а

разбивается на k частей, каждая из которых задается уравнением

y k x , то наибольшее и наименьшее значения на границе находим по следующей схеме:

вычисляем значения в точках пересечения кривых;

y

находим наибольшее и

наименьшее

значения внутри каждой из границ;

В

2

выбираем наибольшее и наименьшее

значения.

-1

x

Пример. Найти наибольшее и

3

наименьшее значения функции (рис.21)

А

-2

С

z x

2

y

2

x y 1;

в области Q:

Рис. 21

x 1,y 2.

Решение.

1.

D z R2. Разобьем границу области Q на части.

а)x y 1;

y 1 x;

x 1;3 ;

б)

x 1;

y 2;2 ;

в)

y 2;

x 1;3 .

A 1; 2 ,

B 1;2 , C 3; 2 – точки пересечения кривой а) – б).

2. Найдем критические точки.

zx 2x;

2x 0;

M

0;0 ;

z M

0.

zy 2y.

0

0

2y 0.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на

x,y 0

Рис. 22

z f x,y

границе.

а)

z

x2 1 x 2 1 2x 2x2;

z

4x 2;

z

0 x 1 2;

M1 12;12 ; z M1 12;

б)

1 y2;

2y;

z M2 1;

0 y 0; M2 1;0 ;

z

z

z

в)

~

2

4

;

~

x 0; M3 0; 2 ; z M3 4;

z x

z 2x;

г) z A 5;

z B 5;

z C 13.

Ответ: zнаиб z c 13; c 3; 2 ;

zнаим z M0 0;

M0 0;0 .

ЛЕКЦИЯ №8

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Задача условного экстремума для

функции двух переменных

z

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f x,y при условии, что переменные связаны

уравнением связи x,y 0.

0 y

Геометрический смысл: нахождение

x

наибольшего и наименьшего значений функции z f x,y вдоль кривой

x,y 0 или нахождение наибольшего и наименьшего значений кривой в пространстве, полученной в результате пересечения

поверхностей z f x,y и x,y 0 z f x,y ; (рис. 22).

x,y 0.

Задача решается тремя способами:

1. Метод исключения.

Уравнение связи x,y 0 записываем в явном виде y 1 x и

подставляем в функцию z f x,y . Получаем функцию одной переменной ~z f x, 1 x . Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции.

2. С помощью линий уровня.

Линии уровня функции, соответствующие значению z c,

имеют вид f x,y c. Исследуем их поведение вдоль кривой

x,y 0.

3. Метод множителей Лагранжа.

Вводится вспомогательная функция – функция Лагранжа.

Замечание.

y

1

1/2

0 1/2

Рис. 23

F x,y, f x,y x,y .

Функция Лагранжа совпадает с исходной функцией при условии выполнения уравнения связи. Т. о., задача сводится к нахождению точек локального экстремума функции Лагранжа:

1) находим критические точки:

1		x	Fx	fx	x	;		Fx	0;
			Fy fy y ;					Fy 0;
									0.
			F x,y .					F

~

M0 x0,y0, 0 M0 x0,y0 x, y 0;