ФНП Р. Л. Н

Вариант 12

1.

Докажите, что

lim

x2 y

0.

x 0 x2 y2

y 0

1

;

x

2

y

2

0;

2.

z

x2 y2

2

2

1 ;

x

y

0.

3.

f x,y x2 y2 ;

Q x,y :

x

1;

y

1 .

4, 5. f x,y x3 y3.

3x 2y 9;

6.z xy min; Q: 0,5x y 4;

x 0; y 0.

Вариант 13

1.

Докажите, что

lim

x2

0.

x

y

x 0

sin x2 y2

y 0

x2 y2 0;

2.

x2 y2

;

z

2

2

1

;

x

y

0.

3.

f x,y

x6 y6

; Q x,y :

x

2;

y

3;x2 y2 0 .

x2 y2

4, 5.

f x,y x3 y3.

6.z 3x 2y max;

Q: x 2 2 y 1 2 9;

x 0; y 0.

Вариант 14

1.	Докажите, что		limsin x y ln x2 y2 0.
			x 0
			y 0
	cos x y cos x y				xy 0;
2.				;
		2xy
	z		;		xy 0.
		1

3.f x,y x2 y2; Q x,y :x2 y2 25 .

4, 5. f x,y x2 y 2y.

6.z 8x 10y x2 y2 max;

3x 2y 6

Q: x 0; y 0

					Вариант 15
1.	Докажите, что lim logx x y не существует.
					x 1
					y 0
	x2		y2		x y 0;
2.				;
	z x y				x y 0.
			0	;

3.f x,y cos x y cos x y ; Q x,y :xy 0 .

xy

4, 5. f x,y y2x x 1.

6.z 4 x 1 2 16 y 5 2 max;

x y 2;

Q: x 0; y 0.

Вариант 16

1.	Вычислите			lim				x	2 y	2	.
									4 y4
				x x
				y
	sinx siny					xy 0;
2.					;
			xy
	z					xy 0.
		1		;
3.	f x,y		lnx ln y				;		Q x,y :x y .
			x y

4, 5. f x,y 3xy y2 1.

6.z 5x2 3x 4y min;

x y 5;

Q: 0,3x y 3;

x 0; y 0.

Вариант 17

x2 y2

1.

Вычислите

lim

.

x

3

y

3

x

y

sin x y

x y 0;

2.

;

x y

z

x y 0.

1

;

3.

f x,y

1

; Q x,y :0 x2 y2 2 .

x2 y2

4, 5. f x,y 4xy x2 2.

6.z xy max;

3x 2y 9;

Q: 0,5x y 4;

x 0; y 0.

Вариант 18

1. Вычислите lim x y е x2 y2 .

x y

2.z sin x y ln x2 y2 ; x2 y2 0;

0 ; x2 y2 0.

	3.	f x, y	1	; Q x,y :x2 y2 .
			x2 y2

4, 5. f x,y x2 2y2 1.

6.z 8x2 2y2 max;

xy 1;

Q: x2 y2 9;x 2;

x 0; y 0.

1.	Вычислите				lim				.
							2 xy y	2
					x x
					y
	sinxy				x 0;
2.				;
	z	x
		1 ;			x 0.
3.	f x,y		sin x y sin x y							;	Q x,y :xy 0 .
Вариант 19						xy
							ax by

4, 5. f x,y xy y2 x 1.

6.z 3 x 1,5 2 6 y 1,5 2 max;

3x y 15;

0,5x y 4;

Q:

x y 1;

xy 0.

Вариант 20

ln x y

1.

Докажите, что

lim

не существует.

x 1

y

y 0

sinx siny

x y 0;

2.

;

x y

z

x y 0.

1

;

3.

f x,y

x2 y2

; Q x,y :0 x2 y2 3 .

x6 y6

4, 5. f x,y x2 xy y2 1.

6.z 4 x 6 2 6 y 2 2 max;

3x y 15;

0,5x y 4;

Q: x y 1;

xy 0.

Вариант 21

1.

Докажите, что

x

y

не существует.

xlim0

x

y

2.

z cos

x

.

y 0

y

Q x,y :0

3 1 .

3.

f x,y

x6 y6

;

x

3

y

x

3

y

3

4, 5. f x,y xy2 4x.

6.z x y min;

2

y

2

1;

Q: x

x 0.

Вариант 22

xy2

1.

Докажите, что

lim

0.

x 0 x2 y2

y 0

tg x2 y2

x2 y2 0;

2.

z

;

x2 y2

2

2

1

;

x

y

0.

3.

f x,y 4x2 2y2;

Q x,y :4x2 2y2 25 .

4, 5. f x,y x2 xy y3.

6.z x 5 2 y 8 2 min;

Q: x2 y2 6;

x 0; y 0.

Вариант 23

1.	Вычислите	lim 1 xy2							y		.
							y2 xy2
		x 0
		y 3
		1				x		2	y	2		0;
	x y cos				;
			x2 y
2.	z			2				2		2
		0		;		x			y			0.

3.f x,y y cos1; Q x,y :0 x 1;0 y 1 .

x

4, 5. f x,y 2y2x x 5.

6.z x 4 2 y 5 2 max;

3x 2y 6

Q: x 0; y 0

Вариант 24

1.

Вычислите

lim

exy 1

.

1 xy2

x 0 ln

y 2

xy

2

;

x

2

y

2

0;

2.

z x2 y2

2

2

0

;

x

y

0.

3.

f x,y

1

;

Q x,y :0 x2 y2 2 .

x

2 y2

4, 5. f x,y 3xy 4y2 3.

6.z 3x 2y min;

	2	y	2	16;
Q: x
x 0;				y 0.

Вариант 25

1.Докажите, что lim x y cos 1 0.

x 0

xy

y 0

x y

;

x2

y2 0;

2.

x

y

z

2

2

1

;

x

y

0.

3.f x; y xye x2y2 ; Q: x, y : x 1; y 1

4, 5. f x,y 4x2 y2 x 1.

6.z xy max;

Q: x2 y2 1;

x 0; y 0.

Типовые задания № 2

1.Дано: а) z=f(x,y); б) двумерные точки А,В,С; в) область G.

1)найдите и постройте область определения функции z=f(x,y);

2)постройте линию уровня функции, проходящую через точку А;

3)найдите все первые и вторые частные производные функции;

4)вычислите zx A ,zy B ;

5)с помощью полного дифференциала найдите приближенное зна-

чение функции в точке В;

6)исследуйте функцию на локальный экстремум;

7)постройте область G и найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области G;

8)вычислите производную функции f(х,у) в точке А в направлении вектора AC;

9)найдите вектор g gradzA и постройте его на чертеже с изображением линии уровня п.2.

2.Дано: а) функция z=g(х,у); б) дифференциальное уравнение в

частных производных						0. Покажите, что
	F x,y,z,zx	,zy	,zxx	,zxy	,zyy

данная функция является решением данного дифференциального

уравнения.

~

3. Дано: а) функция z= (x,y); б) точки Д , Д . 1) линеаризуйте функцию в окрестности точки Д ;

2) составьте уравнение касательной плоскости и нормали к по-

~

верхности z= (x,y) в точке Д .

4. Найдите экстремум функции а) при условии, что переменные

х, у, z связаны уравнением б).

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной

функции а) в области Q, заданной системой неравенств б).

Вариант 1

1. а) z ln16x x2 4y2 ; б) А 3;3 , В 3,03;2,95 , С 6;7 ;

в) Q: x 7;

1 x 2y x 1.

2.

а) z e

cos ax y

; б) a

2

0.

zyy

zxx

3.

а) z 2xy 3x2

2y

2

10;

б) Д 1; 1 ,

~

1; 1;3 .

Д

4.

а) u x y2 z2 ; б) z x 1 0.

5.

а) z 0,5x 2y;

x y 6;

x y 1; б) 2x y 6;

0,5x y 4.

	Вариант 2
		; б) А(0; 3), В(0,08; 3,1), С(3; -1);
1. а) z x	y2 2y 10 2x

x 2;

в) G: 1 y 3 x.

						1							3
2.	а) z								; б) zxx		zyy	z		.
				x2 2x y2 6y 10
	1			x2 y	2	;				~
3.	а) z						б) Д 3;1 ,			Д 3;1;4 .
	2
4.	а) u x y z2;						б) y xz 1 0.
5.	a) z 8 3x 9y;

4x 7y 28;

4x 2y 18;

б) x y 0;

3x 8y 48.

Вариант 3

1. а) z 2lnx ln 2x y2 1 ; б) А(3; 2), В(3,06; 1,98), С(0; 6);

	в) G: y 1;
		y x 3 3 2y.
2.	а)	z ex2 y2sin x2 y2 ; б) yzx xzy 0.
3.	а)	z xy 2x y ; б)	~
			Д (2; 2), Д (2; 2; 6).
4.	а) г x2 y2 z 3 2 ;		б) x2 2y2 4z2 8 0.
5.	а) z 5x 4y 12;

x 2y 4;

5x 6y 30;

б) 3x 8y 24;

3x 4y 12.

Вариант 4

1. а) z ln x2 4y2 4 lnx; б) А(4; 2), В(4,1; 1,95), С(8; 5);

в) G: x 8;

4

x y 4.

2.

а) z y

x; б) x

2

y

2

0.

zxx

2xyzxy

zyy

3.

а) z x2

xy y

2

6x 9y;

б)

Д (-1; 1),

~

(-1; 1; -2).

Д

4.а) u xyz; б) x y z 0.

5.а) z x 2y 1;