ФНП Р. Л. Н

2) проверяем достаточные условия существования экстремума,

т.е. знак d2F.

~

Замечание. Так как точки M0 таковы, что M0 x,y 0

принадлежат кривой, то знак d2F исследуют при условии, что

x,y 0 d 0 xdx ydy 0 d2 0.

Пример. z x2 y2; x y 1 – уравнение связи.

Решение.

1-й способ. Методом исключения.

y	~	2	1 x	2	2x	2		~	4x 2 0 x0 1 2;
	1 x; z x						2x 1; z
~	4 0 x0 min; М0 1 2;1 2 ;							zmin	z M0 1 2.
z
	2-й способ. Составляем функцию Лагранжа.

F x,y, x2 y2 x y 1 . Находим критические точки.

Fx 2x ;	2x 0;			x 2;	1;
Fy 2y ;		2y 0;		y 2;
					x 1 2;
	x y 1 0.		2 2 1 0.		y 1 2.
F x y 1.

~

Критическая точка M0 1 2;1 2; 1 .

Проверяем достаточные условия существования экстремума,

т.е. знак d2F при d 0, т.е. dx dy 0.

dF d x2 y2 x y 1 2x dx 2y dy x y 1 d ;

d2F 2dx d dx 2dy d dy dx dy d

2 dx 2 2 dy 2 d dx dy 2 dx 2 2 dy 2 4 dx 2 0.

~

M0 1 2;1 2; 1 – точка минимума; М0 1 2;1 2 – точка условного

минимума. zmin z M0 12.

3-й способ. Строим линии уровня (рис. 23).

Задача условного экстремума для функции многих переменных

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

u f x1,...,xm при условии, что переменные связаны уравнениями

связи k m.

	x ,...,x	m		0;
1	1
......................
	x ,...,x		m	0.
k	1

Рассмотрим методы решения данной задачи. 1. Метод исключения.

Метод исключения работает тогда, когда из системы уравнений связи можно выразить k неизвестных x1,x2,...,xk через оставшиеся

m k свободных неизвестных:

x1 ~1 xk 1,...,xm ;x2 ~2 xk 1,...,xm ;

...........................

xk ~k xk 1,...,xm .

Эти неизвестные подставляем в саму функцию, т. е. получаем функцию меньшего числа переменных:

u f ~1 xk 1,...,xm ,...,~k xk 1,...,xm или u~ F xk 1,...,xm .

Исследуем ее на экстремум. Полученная точка М0– точка

локального экстремума для		u	M0 xk0 1,...,xm0	. Тогда точка
~	0 ~1		M0 ,...,~k M0	0	0	.
условного экстремума M				,xk 1	,...,xm

2. Метод множителей Лагранжа.

Как и для функции двух переменных, составляем функцию

Лагранжа F x1,...,xm, 1,..., k f x1,...,xm 1 1 x1,...,xm ...

... k k x1,...,xm , и исследуем ее на локальный экстремум:

1)находим критические точки, т.е. точки, в которых dF 0;

2)проверяем достаточное условие существования

экстремума, т.е. d2F 0 (min) или d2F 0 (max) при условии

dui 0, i 1,k.

Пример. Найти точки условного экстремума.

u x y2 z x, если x y z 1;

x y.

1.Метод исключения: x y;

z 2y 1.

2

2

~

0 0;0; 1 .

u y y

(2y 1) y; u 3y

; u 6y; 6y 0 y 0

M

u

6 0 min;

umin усл u M0 0.

2. Метод множителей Лагранжа:

F x,y,z, 1, 2 x y2 z x 1 x y z 1 2 x y .

Находим частные производные:

Fx 1 z 1 2;

1 z 1 2 0;

x 0;

Fy 2y

1

2

;

0;

y;

Fz x 1;

2y 1 2

1

x 0;

2

3y;

x y z 1;

1

x y z 1 0;

z 1 4y;

F

1

x y.

x y 0.

6y 0.

F

2

y 0; x 0; 1 0; z 1; 2 0.

~

Критическая точка M0 0;0; 1;0;0 , M0 0;0; 1 .

d2F 2 dy 2	2dxdz 2dxd		2dxd	2	2dydx		2dyd	2	2dzd ;
		1				1			1
d 1	dx dy dz;		dx dy dz 0;				dx dy;
d 2	dx dy.
			dx dy 0.				dz 2dy.

d2F 2 dy 2 2dxdz 6 dy 2 0 – точка локального минимума.

Ответ: umin усл u M0 0.

Типовые задания № 1

1.Докажите, что предел функции существует, и вычислите его или докажите, что предел не существует.

2.Исследуйте функцию на непрерывность.

3.	Докажите, что функция f x,y ограничена или не

ограничена на множестве Q.

4.Пользуясь определением частной производной, найдите

u/ x и u/ y для u=f(x,y).

5.Найдите u, du в точке (1;1) для функции u=f(x,y).

6.Найдите наибольшее или наименьшее значения функции в области Q c помощью линий уровня.

					Вариант 1
	1.	Докажите, что lim x y sin				1	sin	1	0.
						x		y
				x 0
				y 0
	2.	z	1	.
			x2 y2

3.f x,y x4 y4 ; Q x,y :0 x2 y2 1 .

x2 y2

4, 5. f x,y xy2.

6.z x y max;

Q: x2 y2 1;

x 0.

	Вариант 2
	2
1.	Вычислите lim 1 xy		.
		x2 xy

x 0 y 2

2.z ln 4 x2 y2 .

3.f x,y x2 y2; Q x,y :x2 y2 25 . 4, 5. f x,y x2y.

6.z 4 x2 y2 min;

Q: x2 y2 1;y 0.

Вариант 3

Вычислите lim 1 xy2

y

1.

x7y xy2

.

x 0

y 3

2.

z

x y

.

x

3

y

3

3.

f x,y

ax2 by2

;

Q x,y :x2

y2

0 .

x2 y2

4, 5. f x,y 2xy.

6.z x2 y2 max;

3x 2y 6

Q: x 0; y 0

Вариант 4

1.	Вычислите				lim			tg2xy			.
					x 1			x2 y
					y 0
	x2		y2		x2 y2 0;
2.					;
			y2
	z x2					2			2
		1 ;			x		y			0.

3.f x, y x2 y2 ; Q x,y :x2 y2 0 .

x2 y2

4, 5. f x,y x2 xy.

6.z x 4 2 y 5 2 min;

3x 2y 6

Q: x 0; y 0

Вариант 5

1.	Вычислите				lim			sinxy			.
					x 0				x
					y 3
		2xy		;	x2 y2					0;
2.
	z x2 y		2			2			2
		0	;		x		y			0.

3.f x,y x6 y6; Q x,y :0 x2 y2 9 .

x2 y2

4, 5. f x,y y2 xy.

6.z x 5 2 y 8 2 max;

Q: x2 y2 6;

x 0; y 0.

Вариант 6

sin

1

.

1.

Вычислите lim

x2 y2

2

x 0

x

y

2

y 0

2.

z sin

x

.

y

3.

f x,y

x2 y2

;

Q x,y :x2

y2 0 .

x4 y4

4, 5. f x,y x2 y2.

6.z 8x 10y x2 y2 min;

3x 2y 6

Q: x 0; y 0

Вариант 7

1.

Вычислите

lim

sin2 x2 y

2

.

3 x2 y2

x 0

y 0

xy

;

x2 y2

0;

2.

z x2 y

2

2

2

0

;

x

y

0.

3.f x,y x2 y2; Q x,y :x 0, y 0 .

4, 5. f x,y x2 y2.

6.z 3x 2y max;

	2	y	2	16;
Q: 4x
x 0;			y 0.

Вариант 8

3 x2 y2 2

1. Вычислите lim .

x 0 tg2 x2 y2 y 0

		x2 y2		x4 y4 0 ;
2.			;
	z x4 y4				4		4
		0	;	x		y		0.

3.f x,y x4 y4 ; Q x,y :0 x2 y2 1 .

x2 y2

4, 5. f x,y x3 xy2.

6.z xy min;

Q: x2 y2 1;

x 0; y 0.

Вариант 9

1.	Вычислите			lim			sinx sin y			.
				x 0					x y
				y 0
		x3y2		x4 y4 0;
2.				;
	z x4 y4				4			4
		0 ;		x		y			0.

3. f x,y x sin1; Q x,y :0 x 1;0 y 1 .

y

4, 5. f x,y xy2 y3.

6.z xy max;

Q: x2 y2 1;

x 0; y 0.

Вариант 10

1.

Докажите, что

lim

xy

не существует.

2

x 0 x2 y

y 0

x2 y

;

x2

y2 0;

2.

z x2 y

2

2

2

0

;

x

y

0.

3.f x,y xy sin 1 ; Q x,y :0 x 1,0 y 1 .

y

4, 5. f x,y x2 y x3.

2x y 0;

0,5x y 0;

6.z 4x 3y max; Q: xy 50;

9

x 0; y 0.

Вариант 11

1.

Докажите, что

lim

x

2 y2

не существует.

2 y2

x 0 x

y 0

2

1

2

2

0;

2.

x2

y

sin

; x

y

x2 y2

z

2

2

0

;

x

y

0.

3.

f x,y

x4 y4

; Q x,y :

x

1;

y

1; x2 y2 0 .

x2 y2

4, 5.

f x,y y3 x2 y.

z x 2.5 2 y 3.5 2 max;

x 3 y 3 1;

6.

Q: x 0; y 0;

x 3.