ФНП Р. Л. Н

y

y

0

x

0 x

Рис. 8

Рис. 9

ЛЕКЦИЯ №3.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ

ИНЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

1.Частные и полные приращения, частные производные,

дифференциалы функции двух переменных

Рассмотрим	z f x0,y0 и
точки M0 x0,y0 ,	M1 x0 x,y0 ,

M2 x0,y0 y , M x0 x,y0 y

(рис. 10). Если x и y малы, то

точки M1, M2, М принадлежат

окрестности точки M0.

M0,M x 2 y 2 .

y	М2	М
y0 y
y0	М0	М1
0	x0 x0 x x
	Рис. 10

x и y называют приращением аргумента по переменным x и

y в точке M0.

Определение. Частным приращением функции по переменным x

иy в точке M0 называются величины

x z M0 z M1 z M0 f x0 x,y0 f x0,y0 ;

y z M0 z M2 z M0 f x0,y0 y f x0,y0 .

Определение. Полным приращением функции по переменным x

и y в точке M0 называется величина

z M0 z M z M0 f x0 x,y0 y f x0,y0 .

Определение. Частными производными функции z f x,y в

точке M0 по переменным x или y называется предел отношения

частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последний стремится к нулю и обозначаются

zx M0

lim

x

z M

0

M0

lim

y z M0

; zy

.

x

y

x 0

y 0

Механический смысл частных

производных

–

мгновенная

скорость изменения функции в точке M0 в направлении оси Оx или

Oy.

Определение.			Частным дифференциалом функции z f x,y в
точке M0	по x	или y называется главная часть частного приращения
функции	по	x	или	y , линейная относительно		x или	y.
Обозначаются частные дифференциалы dxz M0 и						dyz M0 . Легко
показать,	что		частные		дифференциалы	имеют	вид
dxz M0 zx M0 x;				dyz M0 zy M0 y.
Определение.			Полным дифференциалом функции z f x,y в

точке M0 называется главная часть полного приращения функции,

линейная относительно x и y, причем если функция имеет полный

дифференциал dz M0 , то	dz M0 zx M0 x zy M0 y. Тогда
полное приращение функции в точке M0 можно представить в виде
z M0 dz M0 x, y ,	где x, y бесконечно малого большего

порядка малости, чем x 2 y 2 , т. е. lim x, y 0.

x 0y 0

Если полное приращение функции можно так представить, то функция имеет полный дифференциал и ее называют дифференцируемой в точке, т. е. дифференциал функции есть бесконечно малая величина относительно бесконечно малых x и

y, эквивалентная полному приращению функции.

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Функция z f x,y дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке непрерывные частные производные.

Замечания:

1)dz dxz dy z;

2)z x z y z.

Пример. Найти частные приращения, полное приращение,

частные дифференциалы, полный дифференциал, частные производные в точке M0 1;2 функции z xy2 2x 3y.

Решение. Возьмем точки М1 1 x;2 , M2 1;2 y ,

M 1 x;2 y ; тогда x z M0 z M1 z M0

1 x 4 21 x 6 4 2 6 6 x dxz M0 ;	zx M0 6;
y z z M2 z M0 1 2 y 2 21 3 2 y 12
7 y y 2 ~ 7 y; dyz 7 y; zy M0 7;
y 0

z z M z M0 1 x 2 y 2 21 x 3 2 y 12

7 y y 2 6 x 4 x y x y 2	~ 7 y 6 x ;
	x 0
	y 0

dz M0 6 x 7 y.

Для независимых переменных x dx; y dy, тогда полный дифференциал имеет вид dz zxdx zydy.

Замечание. Частные производные можно обозначить следующим

образом: zx fx x,y z f x,y .

x x

Правило нахождения частных производных

Чтобы найти частную производную по одной из переменных x y , необходимо вторую переменную y x зафиксировать (т. е.

считать постоянной) и находить производную как от функции одной переменной x y , пользуясь таблицей и правилами нахождения производной для функции одной переменной.

Пример. z ln x y2 ;

zx ln x y2 x

1

x y

2

x

1

;

x y2

x y2

zy ln x y2 y

2y

;

dz

dx 2ydy

.

x y2

x y2

2. Частные дифференциалы и производные,

полный дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию u f x1,...,xm ; M0 x1

,...,xm

.

x1 ,...,xi

0

,

0

Рассмотрим

точки

Mi

xi

,...,xm

i

;

xi–

0

1,m

0

0

приращения

аргументов

x1,...,xm ,

i

(в

точке

Mi меняется

1,m

только

одна

i-я

координата),

и

точку

M x1

x1,x2

x2,...,xm

xm .

0

0

0

Определение.

Частным

приращением по i-й

переменной

функции u f x1,...,xm

в

точке

M0

называется

выражение

f Mi f M0 .

xi u

i

M0

1,m

Определение. Полным приращением функции в точке M0,

соответствующим приращениям аргументов xi , i 1,m, называется

выражение u	f M f M0 .
	M0

Определение. Частной производной по i-й переменной функции u f x1,...,xm в точке M0 называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению аргумента xi, когда последний стремится к нулю:

ux

M0 lim

x

u

i

, i 1,m.

i

xi 0

x

i

Замечание.

Частные производные могут обозначаться

ux

u

fx

M

f

M .

x

i

i

x

i

i

Определение.

Полным дифференциалом функции u f x1,...,xm

в точке M0 называется главная часть полного приращения функции,

линейная относительно приращений аргументов xi и эквивалентная

полному приращению при xi 0, i 1,m. Обозначается полный дифференциал du ux1 x1 ux2 x2 ... uxm xm, так как xi dxi ,

i 1,m для независимых переменных, то полный дифференциал имеет вид du ux1 dx1 ... uxm dxm.

Правило нахождения частных производных

Чтобы найти частную производную от функции m переменных по i-й переменной, нужно зафиксировать все переменные, кроме i-й

и вычислять производную как от функции одной переменной.

Замечания:

1)полный дифференциал для функции нескольких переменных обладает теми же свойствами, что и для одной переменной;

2)полный дифференциал для функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности, т. е. сохраняет свой вид независимо от того, являются ли x1,...,xm независимыми

переменными или функциями, т. е. du ux1 dx1 ... uxm dxm .

Пример. Найти частные производные и полный дифференциал

функции u ex2 xy z3 .

ux 2x y ex2 xy z3 ; uy xex2 xy z3 ;		uz 3z2 ex2 xy z3 .
du ex2 xy z3	2x y dx xdy 3z2dz .

Примеры. Найти дифференциалы функции, пользуясь его свойствами.

1) u x2 y3 z4;
du d x2		y3 z4 dx2 dy3 dz4	2xdx 3y2dy 4z3dz,
тогда	ux	2x; uy 3y2 ; uz 4z3;
2)	z xy; dz d xy ydx xdy, тогда			zx y; zy x.

3. Дифференцирование сложных функций

Дифференцирование сложной функции следует из

инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим u f x1 t ,x2 t ,...,xm t .

du		df			dx1		2dx
				f x1		f x		2 ... f xmdxm
dt		dt
							dt

f x1 x1 t f x2 x2 t ... f xm xm t .

Рассмотрим u f x1 t1,...,tk ,x2 t1,...,tk ,...,xm t1,...,tk .

Тогда

f

u

f

x1

...

f

xm

,

i

.

1,k

ti

xm

ti

x1 ti

ti

4.Производная функции, заданной неявно

1.Рассмотрим функцию одной переменной, заданную неявно:

F x,y 0. Подставим зависимость		y x в уравнение		F x,y 0. Тогда
F x,y x 0 и	dF 0. Отсюда	Fx dx Fy dy 0.		Таким образом,
получили формулу для производной функции y x ,				заданной неявно:
dy dx Fx Fy .	Аналогично получаем		производную		для x y :
dx dy Fy Fx .	Для существования dy dx		или dx dy		необходимо

выполнение условий Fx 0 или Fy 0.

Задача. Составить уравнение касательной к кривой в точке M0,

заданной неявным уравнением F x,y 0.

Решение. Уравнение прямой y y0 k x x0 , где k dydx.

Тогда уравнение касательной к кривой F x,y 0 имеет вид

		Fx x0	,y0
	y y0				x x0		Fy x0,y0 . После преобразования
		Fy x0	,y0

получаем уравнение Fx M0 x x0 Fy M0 y y0 0.

NM0 Fx M0 ;Fy M0 – нормаль к касательной в точке M0.

2. Рассмотрим функцию двух переменных F x,y,z , заданную

неявно. Тогда, зафиксировав одну из переменных, получим функцию одной переменной и по пункту 1 получим формулу для нахождения частных производных:

F

Fy

для функции z x,y ;

a)

zx

x

;

zy

Fz

Fz

Fy

F

для функции x y,z ;

б) xy

;

xz

z

Fx

Fx

в)

yx

Fx

;

yz

Fz

для функции y x,z .

Fy

Fy

Замечание.

Fx 0

или Fy 0, или Fz 0 для

существования

частных производных.

1.

Аналогично

получаем

частные производные функции

т-переменных.

Если

функция

т-переменных

имеет вид

F x1,...,xm,u 0,

то частные производные находятся по формулам

uxi

Fxi

, где Fu 0.

i

Fu

1,m

ЛЕКЦИЯ №4

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ.

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

КПОВЕРХНОСТИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

1.Линеаризация функции в окрестности точки

Вокрестности точки M0 x10 ,...,xm0 при достаточно малых

приращениях аргумента		xi i		можно полное приращение
			1,m
функции	u f x1,...,xm	заменить			приближенно	полным

дифференциалом u du, эта операция называется линеаризацией.

f M f M0 fx1 M0 x1 ... fxm M0 xm,

где M x1	x1,...,xm	0	xm .
0
Обозначим координаты точки М соответственно xi xio xi;
			i	1,m
M x1,...,xm xi xi			xi0 .

Формула примет вид

f M f M0 fx1 M0 x1 x10 ...fxm M0 xm xm0 .

Линеаризация означает, что в окрестности точки M0 функция

u f M заменяется линейной функцией

u f M0 fx1 M0 x1 x10 ... fxm M0 xm xm0 .

Это уравнение касательной гиперплоскости к гиперповерхности

u f M	~		x10,...xm0	,u0 , u0	f M0 .
	в точке M	0

Рассмотрим функцию двух переменных z f x,y , M0 x0,y0 .

Тогда формула линеаризации записывается следующим образом:

f x,y f x0,y0 fx x0,y0 x x0 fy x0,y0 y y0 .

Уравнение касательной плоскости z f x,y к поверхности в

~

точке M0 x0,y0,z0 , z0 f x0,y0 имеет вид

z z0 fx M0 x x0 fy M0 y y0 .

Неявный вид: fx M0 x x0 fy M0 y y0 z z0 0.

~

Вектор нормали в точке M0 к касательной плоскости:

NM0 fx M0 ; fy M0 ; 1 .

2. Касательная плоскость к поверхности,

заданной неявным уравнением

Пусть

поверхность задана

уравнением

F x,y,z 0;

точка

~

,y0,z0 принадлежит этой поверхности,

т. е. F x0,y0,z0 0.

M0 x0

Составим уравнение касательной

плоскости к

этой поверхности в

~

Fx

~

M0

точке

M0.

0

~

;

Обозначим точку M0 x0,y0 . Тогда Zx M

~

Fz

M0

~

~

Fy M0

Zy M0

~

, и вектор нормали к поверхности

в точке M0

Fz M0

запишется следующим образом: NM~0

~

Fx M0 ;~

Fz M0

	~
Fy	M0				или
	~		; 1
Fz M0

~		~	~		~		~		~
N1M	0 Fz	M0	NM0	Fx M0		;Fy	M0 ;	Fz	M0 .
	Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид
	~			~				~		0.
	Fx M0	x x0 Fy M0			y y0 Fz M0 z z0