ФНП Р. Л. Н

Вывод.				Касательную плоскость можно провести к поверхности в
точке	~		,	если Fx, Fy ,	Fz в точке	~		одновременно в ноль не
	M	0				M	0

обращаются. Точка, в которой производные одновременно обращаются в ноль, – особая точка поверхности и, следовательно,

касательную плоскость в особой точке провести нельзя.

Замечания:

1) если функция задана явно z f x,y , то уравнение касательной

плоскости можно выписать, линеаризовав сначала эту функцию в окрестности точки;

2) если функция задана неявно F x,y,z 0, то линеаризовать эту функцию можно, предварительно выписав уравнение касательной

плоскости, а затем из него выразить z.

.

Пример.

z

x2 y2

1.

Линеаризовать

функцию

в

окрестности точки

М0 3;4 ,

~

;

выписать уравнение касательной плоскости в точке М0 3;4;z0

2.

Вычислить

приближенное

значение

функции

в

точке

М 3,1;3,9 .

Решение.

1. z M0 5 z0; zx

2x

x

zx M0

3

.

5

2 x2 y2

x2 y2

y

M0

4

5

3

x 3

4

y 4

3

x

4

y.

zy

zy

;

x2 y2

x2 y2

5

5

5

5

5

z

3

x

4

y уравнение касательной плоскости в точке М0 3;4;5

5

5

.

к поверхности z

x2 y2

2. z M 3 3,1 4 3,9 4,98.

5 5

Пример. 2x2 z ey еz 1 0.

~

1. Записать уравнение касательной плоскости в точке M0 1;0;1 . 2. Линеаризовать функцию z в окрестности точки M0 1;0 .

Решение.

Fx 4x; 1. Fy z ey;

Fz ey ez 1;

	~
Fx M0 4;
F	~		1;
	M
	y ~	0

Fz M0 2.

NM0	4;1;2 или	N 4; 1; 2 .
~
4 x 1 y 2 z 1 0				4x y 2z 2 0 – уравнение
касательной плоскости.
2. Выразим z 2x 1		2y 1 z x, y 2x 1 2y 1.

3.Производные и дифференциалы высших порядков

1.Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y .

z		z
				x	производные второго порядка по x	или y.
	xx	x
z		z
			y
	yy	y
z
		y z
	x		xy смешанные производные второго порядка по xy
	zy	x zyx

или yx.

2z

;

2z

;

2z

;

2z

.

zxx

2

zyy

y

2

zxy

zyx

x y

x

y x

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то ее называют дважды дифференцируемой и тогда она имеет дифференциал второго порядка d2z d dz . Дифференциал

первого порядка имеет вид	dz zxdx zydy,	найдем форму
дифференциала	второго	порядка:

d2z d zxdx zydy d zx dx d zy dy

zxxdx zxydy dx zyxdx zyydy dy.

d

2

2

2

z zxx dx

zyy dy

zxy zyx dxdy.

Замечание.

Смешанные частные

производные не

зависят

от

порядка дифференцирования, если они непрерывны, т.

е.

zxy zyx.

Для

производных

высших

порядков

замечание также

верно,

т.е.

. Если функция имеет непрерывные частные

zxyx

zyxx

zxxy

производные

третьего

порядка,

то

она

называется

трижды

дифференцируемой

и имеет дифференциал третьего порядка

d3z d d2z .

И

так

далее до п-го

порядка, функция

п раз

дифференцируема, если существует dnz d dn 1z .

2. Рассмотрим функцию m-переменных

u f x1,...,xm .

Тогда производные первого порядка

uxi

, i

; второго порядка

1,m

u

x

u

2u

,

i

,

;

третьего

порядка

1,m

xi

j

xix j

x x

j

i

uxix jxk

, i 1,m,

j 1,m, k 1,m и т. д.

uxix j xk

4. Формула Тейлора

Пусть

функция

u f x1,...,xm

n 1 раз дифференцируема в

точке

M0

x1

,...,xm

0

и

некоторой

ее

окрестности, тогда

полное

0

приращение функции в этой точке равно сумме дифференциалов до

п-го порядка плюс остаток Rm , зависящий от dn 1u:

f

M

df

M

d2 f

M

0

...

dn f

M

0

Rm ;

n!

0

0

2!

dn f

M0

f

M0

f M f M

0

;

f M f M

0

...

R

m

,

n!

где точка M x1,...,xm принадлежит окрестности точки

M0.

В окрестности

точки

M0

функцию

приближенно

можно

представить в виде

f M f M

0

df

M0

...

dn f

M0

, если функция

дифференцируема п 1 раз.

n!

Вывод.

Если функция

п 1

раз дифференцируема в

точке и

некоторой ее окрестности, то функцию в окрестности этой точки можно заменить многочленом п-й степени относительно переменных x1,...,xm.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x,y и представим в

окрестности точки M0 x0,y0 по формуле Тейлора.	dx x x0;
dy y y0, тогда
f x,y f x0,y0 fx x0,y0 x x0 fy x0,y0 y y0

fxx x0,y0 x x0 2 2fxy x0,y0 x x0 y y0 fyy x0,y0 y y0 2

2!

... dn f x0,y0 . n!

Пример. Представить в виде многочлена третьей степени в

окрестности точки M0 0,0 функцию z ex y .

dz ex ydx ex ydy; d2z ex y dx 2 ex y dy 2 2ex ydxdy;

d3z ex y dx 3 ex y dy 3 3ex y dx 2 dy 3ex y dy 2 dx;

ex y 1 x y x2 2xy y2 x3 3x2y 3xy2 y3 . 2! 3!

Замечания:

1) формула линеаризации – частный случай формулы Тейлора,

когда n 1;

2) формулу Тейлора в точке М0 0,...,0 называют формулой Маклорена.

ЛЕКЦИЯ №5

ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ, НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ

1. Понятие локального экстремума
Определение. Рассмотрим u f M , M Rm . Точка	M0 Rm

называется точкой локального минимума (максимума) данной функции, если для всех точек М , принадлежащих окрестности точки

М0, выполнено неравенство f M f M0 f M f M0 или

f M0 0 f M0 0 .

Пример.	Пусть точка	M0 x0,y0 является точкой		локального
z		f M0
		z
f M0
0	y0	y		y0	y
x0	М0	x0
		x	М0
	Рис. 11		Рис. 12

экстремума	функции z f x,y		(рис. 11, 12). В	точке локального
экстремума	функции	z f x,y касательная		плоскость	либо
параллельна	x0y, т. е.	fx и	fy 0, либо не существует, т.		е. не
существуют хотя бы одна из производных: fx или				fy.

2. Необходимое и достаточное условия

существования локального экстремума

Необходимое условие

Пусть точка М0 – точка локального экстремума функции

u f M ,

M0 Rm .

Для

определенности возьмем

точку

М0

минимум, тогда f

M0 0,

и

следовательно,

xi

f

M0 0.

Пусть

функция

дифференцируема

в

точке

М0,

т.

е.

существуют

f

x

f

x

f

непрерывные f

lim

i

0,

т. к.

i

0

для x 0;

x

xi

xi

xi 0 x

i

i

i

x

i

f

0 для xi

0.

xi

Теорема 1. В точке локального экстремума fxi M0 0 или не существуют, i 1,m.

Достаточное условие

Рассмотрим

u f M , M Rm .

Пусть

функция

трижды

дифференцируема в

точке

М0

и некоторой

ее окрестности,

М0

стационарная точка df M0 0 .

Рассмотрим формулу Тейлора в точке М0:

f M0

df M0

d

2 f M

0

d2 f M

0

R2

.

2!

2!

Отсюда и из определения экстремума следует теорема 2.

Теорема 2.

Пусть

функция

u f M , M Rm

трижды

дифференцируема

в окрестности

стационарной точки

М0

df M0 0 , тогда:

1) точка М0

– точка локального минимума, если d2 f M0 0;

2) точка М0 – точка локального максимума, если d2 f M0 0;

3) точка М0 не является точкой локального экстремума, если

d2 f M0 меняет свой знак в зависимости от приращений аргументов.

Замечание. Если d2 f M0

0, то f M0

d3 f M

0

и требуется

3!

дальнейшее исследование.

Из теоремы 2 следует достаточное условие существования

локального экстремума для функции двух переменных z f x,y .

Теорема 3.

Пусть функция z f x,y

трижды дифференцируема в точке М0

и некоторой ее окрестности,

df M0 0, тогда точка

М0

является

M0

Z

M

0

точкой локального экстремума,

если M0

Zxx

xy

M

0,

Z

M

0

Z

0

xy

yy

M0

0, и минимума,

причем точка М0– точка максимума, если Zxx

0. Если M0

0, то точка

М0 не является точкой

если Zxx M0

локального

экстремума. Если

M0 0,

признак

не

работает,

следовательно, требуются дополнительные исследования.

Правило

нахождения

локального

экстремума:

находим

стационарные или критические точки, т. е. точки, в которых производные равны нулю или не существуют; пользуясь теоремой 2

или 3, исследуем знак d2 f M0 или М0 и запишем ответ. Если теорему 2 или 3 нельзя применить, то исследуем знак полного приращения f M0 , т.е. исследуем функцию на экстремум по определению.

Пример. Найти точки локального экстремума функции z x2 y2.

Решение. Находим критические точки.

dz d x2 y2 2xdx 2ydy; xy 00 M0 0;0 критическая точка.

Проверяем достаточное условие существования экстремума.

d2z d 2xdx 2ydy 2 dx 2 2 dy 2 0 d2 f 0;0 0 M0 0;0

точка минимума. Ответ: zmin z 0;0 0.

Пример. Найти точки локального экстремума функции

z x2 y2 .

Решение. zx

x

; zy

y

, не существуют zx , zy в

x2 y2

x2 y2

точке M0 0;0 . Воспользуемся определением локального экстремума

и найдем полное приращение

z M z M

0

0, где M x, y ,

z

0

x2

y2

x2 y2

M0

M0 0;0 . Т. к. z

M 0 0

точка, M0 0;0 точка локального минимума.

Ответ: zmin z 0;0 0.

Пример. Найти точки локального экстремума функции z x3 y3.

Решение. Находим критические точки:

z	0	M		0;0 критическая точка;
dz d x3 y3 3x2dx 3y2dy x			0
zy 0
d2z d 3x2dx 3y2dy 6x dx 2 6y dy 2,					d2z		M0 0
требуются дополнительные исследования.
d3z 6 dx 3 6 dy 3 0;dx 0;dy 0;				d3z 6 dx 3 6 dy 3 0;
dx 0;dy 0.

Т. к. дифференциал d3z меняет свой знак, следовательно, точка

М0 не является точкой локального экстремума.

ЛЕКЦИЯ №6

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ВЕКТОР-ГРАДИЕНТ

Производная по направлению. Вектор-градиент
Рассмотрим функцию u f x,y,z , возьмем точку	M0 x0,y0,z0 .

Необходимо найти мгновенную скорость изменения функции в

направлении

вектора

l

l1,l2,l3 .

Пусть

l0 cos ,cos ,cos , где

, ,

углы между

l

и

координатными

осями

0x,0y,0z

соответственно.

l

1

l

l

cos ; l

l

l

l

0

1

и l

0

l

;

2

cos ;

cos .

l

1

3

M x,y,z

из окрестности точки М0

Возьмем точку

(рис. 13).

Рассмотрим вектор M0M x x0;y y0;z z0 x; y; z ,

обозначим

y 2

z 2 M0,M .

l x 2

Отсюда x lcos ;

y lcos ;

z lcos .

Найдем полное приращение функции в точке М0:

u u M u M0 ,

тогда

u l

–

средняя

скорость

изменения

функ-

z

М

ции на отрезке M

M ;

lim u l

–

0

l0

l 0

мгновенная

скорость

изменения

функции в точке М0 в направлении

0

y

x

Рис. 13