Вопрос 5.1.12. Почему требование лки приводит к необходимости введения калибровочных полей?

Ответ 5.1.12.Простая подстановка (5.1.11.4) в (5.1.11.1) дает уравнение

i_(^/(X)/x_) –m^/(X) +q_((X)/x_)^/(X) = 0, (5.1.12.1)

отличающееся от (5.1.11.3), в противоречии с требованием инвариантности. Необходимо как-то скомпенсировать возникающее добавочное слагаемое.

Решающая идея состоит во включении в исходное уравнение (5.1.11.1) дополнительной 4-векторной функции, т. е. в замене его уравнением

i_(/x_+iqA_(X))(X) – m(X) = 0, (5.1.12.2)

(векторный характер А диктуется релятивистской инвариантностью). Если предположить, что меняется не только поле (X) (по закону (5.1.11.4)), но одновременно трансформируется иA_(X) по закону

A_(X)=A_^/(X) + (X)/x_, (5.1.12.3)

то ЛКИ схемы в целом окажется полностью соблюденной. Итак, требование ЛКИ приводит к необходимости введения векторной функции A_(X). Функции такого типа называют калибровочными полями.

Вопрос 5.1.13. Как можно трактовать a(X)?

Ответ 5.1.13.4 величиныA_(X) можно рассматривать как реальные полевые переменные. При этом вид уравнений, которым они подчиняются в отсутствие электронов (т. е. вид уравнения свободного поля) однозначно фиксируется самыми общими требованиями типа релятивистской инвариантности и требованием инвариантности относительно преобразований (5.1.12.3). Эти уравнения в предположении линейности и при ограничении низшими производными записываются следующим образом:

F_/x_ = 0, F_  A_/x_ – A_/x_. (5.1.13)

Эта запись напоминает не что иное, как компоненты тензора электромагнитного поля, известного из курса СТО. Существенно, что эти компоненты не могут включать массовое слагаемое М²A_(X), нарушающее инвариантность относительно преобразований (5.1.12.3).

Вопрос 5.1.14. Как можно получить уравнения для поля a(X) при наличии электронов?

Ответ 5.1.14.Будем исходить из общего выражения для полного гамильтониана системы «электроны-поле»:

Н = Н₀^е+ Н₀^А+ Н_вз. (5.1.14.1)

Здесь Н₀^е– гамильтониан свободных электронов, приводящий к уравнению Дирака (явный вид Н₀^енас здесь не интересует); Н₀^А– гамильтониан свободного поляA_(X), приводящий к уравнениям (5.1.13) и задаваемый формулой

W= (₀E²+₀H²)/2, (5.1.14.2)

где E и Bсвязаны сF_стандартным образом; Н_вз– гамильтониан взаимодействия электронов с полемA_(X). Первый и последний член в (5.1.9) должны приводить к уравнению (5.1.12.2), чем однозначно фиксируется гамильтониан взаимодействия:

Н_вз=j_A^;j_q(^*Г_). (5.1.14.3)

Но тогда второе и третье слагаемое в (5.1.14.1) приведут к уравнениям

F_/x_=j_. (5.1.14.4)

Итак, требование ЛКИ вынуждает нас ввести некое калибровочное поле, по своим свойствам полностью идентичное электромагнитному полю. Функция A_(X) – 4-потенциал,F_– тензор электромагнитного поля. При этом (5.1.12.3) – обычное градиентное преобразование, а уравнения (5.1.14.4) и их частный случай (5.1.13) совпадают с первой парой уравнений Максвелла (вторая пара – прямое следствие определенияF_). Величинуq, фигурирующую в (5.1.11.2) и (5.1.11.4) и задающую интенсивность взаимодействия электронов с полем, следует отождествить с электрическим зарядом (он сохраняется, что является следствием глобальной калибровочной инвариантности). В квантовой теорииA_(X) описывает частицы с нулевой массой и сJ^= 1^–, т. е. фотоны. Итак, заключаем, что требование ЛКИ автоматически приводит к концепции электромагнитного поля и полностью задает структуру электродинамики.