п31

§ 3.1. Модель кварков. Основные свойства, характеристики и проявления сильного взаимодействия. Восьмеричный формализм.

[1, c. 65]. Различные мезоны (пародия на систематизацию).

		s = 0 (странность)		s  0 (странность)
		с = 0	с  0	с = 0	с  0
t = 0	b = 0	^, ^0	D	K^	DS
	b  0	B	BC	BS^+
t  0	b = 0
	b  0

[1, c. 65]. Различные барионы (пародия на систематизацию).

		s = 0 (странность)		s  0 (странность)
		с = 0	с  0	с = 0	с  0
t = 0	b = 0	n, p	b^+, C^^, 0	, , , ^–	C^+, C^0
	b  0	b		b
t  0	b = 0
	b  0

В 1964 г. М. Гелл-Ман и Дж. Цвейг независимо ввели в рассмотрение унитарные триплеты адронов в качестве их простейших не тривиальных семейств, аналогичных изодублетам. Члены триплета были названы М. Гелл-Маном кварками, Дж. Цвейгом – «тузами» (последнее название не прижилось).

Весовые диаграммы кварков и антикварков представлены на рис. 3.1.1. Характеристики кварков приведены в таблице 3.1.1. У антикварков все квантовые числа, кроме J и Т, имеют противоположные знаки по сравнению с соответствующими кварками, а (t₁, t₂) = (0, 1/2). Электрические заряды кратны е/3, т. е. дробные. Считается справедливой формула Y = B + S и соотношение Гелл-Мана – Нишиджимы, позволяющее вычислять значения странности S и электрического заряда q для кварков.

Таблица 3.1.1. Сравнительная характеристика первых 3 кварков.

кварк	u	d	s
смысл названия	up	down	strange
перевод	верхний	нижний	странный
(t1, t2)	(1/2, 0)	(1/2, 0)	(1/2, 0)
спин J	1/2	1/2	1/2
простр. четность P	+ 1	+ 1	+ 1
барионный заряд В	+ 1/3	+ 1/3	+ 1/3
изоспин Т	1/2	1/2	0
проекция изосп. Т3	+ 1/2	– 1/2	0
гиперзаряд Y	+ 1/3	+ 1/3	– 2/3
странность S	0	0	– 1
электр. заряд q	+ 2/3	– 1/3	– 1/3

Общий рецепт построения реально наблюдаемых мезонов М и барионов В: М = q, B = qqq.

Волновые функции членов мезонного октета соответствуют виду: ⁰ = (u – d)/2^1/2, ⁰ = (u + d – 2s)/6^1/2, остальные сочетания кварка и антикварка см. в табл. Кроме октета, имеется также унитарный синглет ^/ = (u + d + s)/3^1/2, связанный с резонансом в системе (), масса которого 958 МэВ, Т₃ = Y = 0. Мезоны ⁰ и ^/ имеют нулевую странность, но содержат s-кварк, т е. обладают «скрытой странностью».

Барионы состоят из 3 кварков. Кварковый состав барионного октета см. в таблицах выше. Чтобы получить J = 1/2, необходимо считать, что спин одного из кварков антипараллелен спинам двух других кварков. Барионный декуплет с J = 3/2 строится также из 3 кварков, но спины их параллельны (кварковый состав см. в таблицах). Приведенные кварковые системы обладают минимальными массами и находятся в основном состоянии с нулевыми орбитальными моментами. Но в этих системах возможны орбитальные возбуждения, увеличивающие массы адронов, а также изменяющие их спины и четности. Образующиеся таким способом октеты и декуплеты с J до 3/2 заполняют барионные резонансы.

Возникают вопросы:

а) почему среди низших мультиплетов нет декулета с J^ = 3/2⁺?

б) почему нет декуплета с J^ = 1/2⁺?

в) чем различаются гипероны ⁰ и ⁰?

Ответы на эти вопросы кроются в том, что приведенные формулы отражают лишь состав барионов (причем некоторые барионы содержат одинаковые кварки), а при написании волновых функций барионов нужно учитывать свойства их симметрии по отношению к перестановкам тождественных кварков. Этот естественный путь приводит к серьезной трудности: кварки являются фермионами, и к ним применим принцип запрета Паули, т. е. идентичные кварки не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (а есть, например, ^–-гиперон, содержащий 3 кварка с параллельными спинами). Получается противоречие с основными принципами квантовой механики.

В 1965 г. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Струминский, А. Н. Тавхелидзе и независимо Ё. Намбу, М. Хан предложили приписать каждому кварку ещё одно квантовое число, которое может принимать 3 значения. Эту характеристику назвали цветом. Каждый кварк имеет 3 цвета: красный R (red), зеленый G (green) и голубой B (blue) (иногда в литературе дается набор: красный R, синий B и желтый Y). Антикваркам приписываются «антицвета» , , (в популярной литературе их называют бирюзовым Т (turquoise), пурпурным М (magenta) и желтым Y (yellow)). Выбор названий не случаен: цвета R, G, B при смешивании дают белый цвет, а каждый «антицвет» дополняет свой цвет.

Т. о., добавляются два кварковых правила:

а) барионы строятся из 3 кварков, различных по цвету; например, ^–-гиперон имеет структуру, показанную на рис. 3.1.2а;

б) мезоны состоят из кварка и антикварка с равным представлением всех 3 цветов; например, ⁺-мезон имеет структуру, показанную на рис. 3.1.2б. Кварк и антикварк здесь сначала обладают цветами R, , затем меняют их на G, , потом на В, , снова на R, и т. д.

Иными словами, все реально наблюдаемые адроны обязаны быть белыми. Собственно, поэтому кварки и антикварки не наблюдаются – они цветные. Не наблюдаются также дикварки, т. е. связанные состояния типа (q-q), т. к. из двух основных цветов нельзя получить белый цвет (согласно законам колориметрии).

Введение цвета равнозначно постулированию новой симметрии сильного взаимодействия – цветовой. Она означает инвариантность относительно цветовых преобразований, т. е. «вращений» в новом 3-мерном комплексном пространстве (группа SU_C(3)). По своей формальной природе цветовая симметрия подобна унитарной, но соответствующие преобразования затрагивают не сорта, а цвета кварков. Эта симметрия считается точной, а не нарушенной (это означает, в частности, что кварки одного аромата, но разного цвета, имеют равные массы).

Все адроны должны быть цветовыми синглетами. При утверждении концепции цвета различные сорта кварков стали называть ароматами, т. е. было введено как бы новое квантовое число, принимающее значения u, d, s.

Итак, несколько обобщенная кварковая модель Гелл-Мана – Цвейга содержала 18 фундаментальных частиц, из которых строятся адроны: кварки с тремя цветами и тремя ароматами и антикварки с соответствующими «антицветами» и «антиароматами». Но затем выяснилось, что и этих частиц не хватает для конструирования всех адронов.

Прежде всего, пришлось ввести 4-й кварк «с» с новым ароматом, связанным с очарованием С. Он также имеет 3 цвета и античастицу . Квантовые числа с-кварка (charm – очарование): J = 1/2, _P = + 1, B = + 1/3, T = T₃ = 0, S = 0, C = + 1, Y = + 4/3, q = + 2/3. Предполагается, что имеет место точная цветовая симметрия, и постулируется сильно нарушенная симметрия относительно «вращений» в 4-мерном комплексном пространстве, затрагивающих ароматы всех 4 кварков.

Введение с-кварка предлагалось еще до открытия в 1974 г. J/-мезона, обладающего скрытым очарованием (с-), но с его открытием были теоретически рассчитаны возбужденные состояния этой системы (чармония), и все они обнаружены экспериментально. Если до открытия J/-мезона кварки воспринимались многими физиками как некие вспомогательные объекты, введение которых делает наглядным восьмеричный формализм, то с открытием J/-мезона началась новая ФЭЧ, в которой кварки обрели физическую реальность и являются важнейшим элементом всех существующих теоретических схем, в т. ч. и тех, которые выявляют физическую природу фундаментальных взаимодействий (именно поэтому возникло название «ноябрьская революция»). В 1976 г. С. Тингу и Б. Рихтеру была присуждена Нобелевская премия за открытие J/-мезона; в 1979 г. эту премию получил Ш. Глэшоу, теоретик, с наибольшей убедительностью показавший необходимость введения очарованного кварка.

В 1979 г. был открыт -мезон, который интерпретировали как систему (b), где b-пятый «красивый» кварк (beauty – красота) (иногда его аромат называют «дном» – bottom); кварку приписывают квантовое число b – красота (буква В уже «занята» барионным зарядом). Гиперзаряд Y = B + S + C – b. Квантовые числа b-кварка: J = 1/2, _P = + 1, B = + 1/3, T = T₃ = 0, S = 0, C = 0, b = + 1 Y = – 2/3, q = – 1/3.

Наконец, шестой t-кварк (от truth – истина или top-вершина) несет 6-й аромат t, а вместе с ним аддитивное квантовое число – истинность, имеет q = + 2/3 (в некоторых моделях q = – 1/3). Масса t-кварка 175 ГэВ. Топоний – мезон, состоящий из (t-)-аналога J/- и -мезонов.

Итак, можно подвести предварительные итоги:

1. Имеются, по крайней мере, две группы истинно элементарных частиц: лептоны, непосредственно регистрируемые на опыте, и кварки, составляющие адроны.

2. Как лептоны, так и кварки имеют по 6 разновидностей (ароматов).

3. По ароматам лептоны и кварки разбиваются на три естественные пары (поколения). В каждом поколении есть «верхние» и «нижние» частицы:

_e _ _ ; u c t

e^–, ^–, ^– ; d s b – отсюда и термин «дно»

4. Лептоны считаются белыми, а каждый кварк имеет 3 цвета.

5. Мезоны конструируются из кварка и антикварка с дополнительными цветами, барионы – из трех кварков с разными основными цветами; наблюдаемые мезоны и барионы – белые.

Таким образом, число истинно элементарных частиц (не считая переносчиков взаимодействий) равно 48 = (6 + 6  3)  2. Но и число 48 довольно велико. Предпринимаются попытки построения составных моделей самих лептонов и кварков (из преонов, ришонов и т. п.). В одной из преонных моделей кварки конструируются из трех хромонов, двух флэйвонов и трех фамилонов. Есть попытки ввести всего два пре-преона.

Почти все реально наблюдаемые частицы разбиваются на два класса: лептоны, не подверженные сильному взаимодействию, и адроны, способные участвовать в этом взаимодействии. Особый класс составляют фотон и др. переносчики взаимодействий.

Лептоны претендуют на роль истинно элементарных частиц: их мало (всего 6, если не считать античастицы); они или абсолютно стабильны (электрони и все нейтрино), или живут очень долго по ядерным масштабам (мюон и таон); они ведут себя как точечные объекты, не обнаруживая никаких размеров, а тем более внутренней структуры, даже при сверхвысоких энергиях. То же можно сказать о фотоне и всех переносчиках фундаментальных взаимодействий.

Иное дело адроны. Их много – сотни, причем большинство из них резонансы, т. е. крайне нестабильные частицы; у них обнаружена электромагнитная структура. Таким образом, перед физиками встала задача упорядочить множество этих частиц.

Таблица 3.1.2. Сравнительная характеристика лептонов и адронов.

	количество	участие в сильн. вз.	обнаруживают ли внутренн. структуру	есть ли такие, что расп. за счет сильн. вз.	есть ли такие, что расп., но не за счет сильн. вз.	есть ли такие, что не расп. вообще
лептоны	6	нет	нет	нет	да	да
адроны	сотни	да	да, электромагнитн.	да	да	да

Первую систематику, когда адронов было известно всего 13 (пионы, каоны, нуклоны и гипероны , , ) предложили в 1953-54 гг. М. Гелл-Ман и К. Нишиджима, а оформили в стройную схему в 1956 г. Б. д’Эспанья Дж. Прентки. Основой схемы служит размещение адронов по изомультиплетам, каждому из которых приписывается определенный изоспин Т и определенный гиперзаряд Y (странность S). Члены одного изомультиплета обладают одинаковыми спинами J, четностями _Р, барионными зарядами В и примерно одинаковыми массами М, но разными значениями проекции изоспина Т₃ и заряда q. При том число членов изомультиплета N = 2T + 1, а заряд каждого q = Т₃ + Y/2, где Y = B + S.

Изомультиплеты можно изображать с помощью т. н. весовых диаграмм. Для стабильных барионов N, , ,  они имеют вид, представленный на рис. 3.1.3:

Y = + 1

Рис. 3.1.3 Примеры простейших изомультиплетов.

Здесь везде В = + 1, J^ = ½⁺. Аналогичные диаграммы можно нарисовать для антибарионов (В = – 1, J^ = ½^–), для стабильных мезонов , , К и их античастиц (в обоих случаях В = 0, J^ = 0^–).

Теоретическая основа данной схемы – инвариантность сильного взаимодействия относительно изоспиновых и калибровочных преобразований (с заменой электрического заряда q на гиперзаряд Y). Изоспиновые преобразования трактуются как «вращения» в двумерном комплексном пространстве, т. е. как линейные преобразования, сохраняющие скалярные произведения комплексных двумерных векторов (в качестве последних могут, например, выступать зарядовые волновые функции нуклонного изодублета N). С математической точки зрения такие преобразования составляют группу SU(2): они реализуются квадратными матрицами g, которые двухрядные (символ 2) и удовлетворяют условиям унитарности g⁺g = 1 (символ U) и унимодулярности detg = + 1 (символ S от англ. special); матрицы g выражаются через матрицы Паули.

При анализе изоспиновой инвариантности изодублеты играют выделенную роль, подобную роли векторов в обычном пространстве, тогда как высшие изомультиплеты являются аналогами тензоров. Изоспин Т = ½ (как и обычный спин J = ½) в некотором смысле элементарный (любой изоспин может быть получен комбинированием должного числа половинных изоспинов). Полную волновую функцию произвольного изомультиплета в принципе можно построить, перемножая волновые функции нескольких изодублетов. Именно «элементарность» изодублетов служит основой построения составных моделей частиц.

В свое время схема Гелл-Мана – Нишиджимы позволила привести тогда еще небольшое число частиц в относительный порядок и предсказать открытые впоследствии -мезон, ⁰-гиперон, ⁰-гиперон, на местах которых в соответствующих изомультиплетах ничего не было. Но после открытия резонансов эта схема стала слишком узкой, т. к. необходимо было классифицировать очень большое количество различных изомультиплетов. В данной схеме природа изоспина и гиперзаряда разная. Есть изоспиновая инвариантность, которая порождает аддитивное квантовое число Т₃, различающее частицы внутри изомультиплета, и неаддитивное квантовое число Т, характеризующее изомультиплет в целом. Совершенно независимо накладывается требование калибровочной инвариантности, которая порождает свое аддитивное квантовое число Y, приписываемое наряду с В и J^ изомультиплетам извне, дополнительно к Т.

Требовалось найти такую симметрию, которая порождала бы два равнозначных аддитивных квантовых числа, сохраняющихся и совместно измеримых – проекцию изоспина Т₃ и гиперзаряд Y. Её построили в 1961 г. независимо М. Гелл-Ман и Ю. Нееман.

Если расположить все барионные изомультиплеты с В = + 1, J^ = ½⁺ на плоскости Т₃Y, то получим картинку, представленную на рис. 3.1.4.

Аналогичную картину можно нарисовать для антибарионов или для стабильных мезонов (В = – 1, J^ = ½^–; В = 0, J^ = 0^–). Точно так же располагаются на плоскости Т₃Y и мезонные резонансы с В = 0, J^ = 1^–.

Столь явная симметрия не может быть случайной, а должна отражать какие-то глубокие свойства симметрии сильного взаимодействия и самих адронов. Гелл-Манн и Нееман, проведя математический анализ, установили, что получаемые картинки отвечают симметрии относительно «вращений» в 3-мерном комплексном пространстве (группа SU(3) преобразований). Она получила название «унитарной симметрии». Порождаемую ею классификационную схему адронов, в которой число 8 играет явно выделенную роль, Гелл-Ман назвал восьмеричным формализмом.

Сравним восьмеричный формализм со схемой Гелл-Мана – Нишиджимы в виде таблицы 3.1.3.

Таблица 3.1.3. Сравнительная характеристика схемы Гелл-Мана – Нишиджимы и восьмеричного формализма.

		схема Гелл-Мана – Нишиджимы	восьмеричный формализм
1	кто разработал	М. Гелл-Ман, К. Нишиджима; Б. д’Эспанья, Дж. Прентки	М. Гелл-Ман, Ю. Нееман (назависимо)
2	когда разработали	1953 – 54 гг; 1956 г.	1961 г.
3	семейства, на которые разбиваются частицы	изомультиплеты (небольшие семейства)	унитарные мультиплеты (более широкие)
4	«внешние» квантовые числа, приписываемые семействам	Y, B, J, P	B, J, P
5	значениями каких «внутренних» аддитивных квантовых чисел отличаются члены семейств	проекция изоспина Т3	проекция изоспина Т3, гиперзаряд Y
6	значениями каких «внутренних» неаддитивных квантовых чисел отличаются члены семейств	---	изоспин Т
7	какими неаддитивными «внутренними» квантовыми числами характеризуются семейства в целом	изоспин Т	аналоги изоспина t1, t2
8	какие значения могут пробегать	весь ряд неотрицательных целых чисел	весь ряд неотрицательных целых и полуцелых чисел с ограничением t1 – t2 =3k/2, k  Z
9	число компонент соответствующего вектора	3 в соответствии с количеством матриц Паули	8
10	формула размерности семейств	N = 2T + 1	N = (2t1 + 1)(2t2 + 1)(t1 + t2 + 1)
11	допустимые размерности семейств	любое натуральное число	N(0, 0) = 1 – синглет; N(1/2, 0) = N(0, ½) = 3 – триплет; N(1, 0) = N(0, 1) = 6 – секстет (секступлет); N(1/2, 1/2) = 8 – октет (октуплет); N(3/2, 0) = N(0, 3/2) = 10 – декуплет
12	физически допустимые семейства	любые	синглет (0, 0); октет (1/2, 1/2), декуплеты (3/2, 0) и (0, 3/2), 27-плет (1, 1)
13	из них фактически известные семейства	с Т от 0 до 3/2	синглеты, октеты, декуплеты
14	являются ли дублет и триплет физически допустимым	да, и соответствуют ряду реальных частиц (напр., нуклонный дублет, пионный триплет)	нет
15	симметрия в приближении сильного взаимодействия	точная	нарушена
16	Симметрия в целом нарушена	за счет электромагнитного взаимодействия	Изначально, даже за счет сильного взаимодействия
17	массы членов одного семейства	различаются на 1%	масса нуклона примерно 30% массы -гиперона
18	частицы, предсказанные в рамках схемы	-мезон, ^0-гиперон, ^0-гиперон	^–-гиперон (1962 г., М. Гелл-Ман; открыт в 1964 г.)
19	фундаментальные концепции, порожденные в рамках схемы	---	концепция кварков

Δ^–

Δ⁺

+ 1

У

Т₃

нитарная симметрия установила глубокие связи между частицами с разными массами, изоспинами и гиперзарядами, разместив реально наблюдаемые адроны по унитарным мультиплетам. Все они заполняют синглеты, октеты и декуплеты. Важнейший пример декуплета дают адроны с В = + 1, J^ = 3/2⁺ (см. рис. 3.1.5). Первоначально на месте ^–-гиперона было пусто, что позволило в 1962 г. предсказать новую частицу с характеристиками: J = 3/2,  = +1, В = + 1, Т = 0, Т₃ = 0, Y = – 2, S = – 3, q = – 1. Время её жизни оценивалось как  ~ 10^{– 10} c, Mc²  1675 МэВ. В 1964 г. была обнаружена частица с   0.810^{– 10} c, Mc²  1672 МэВ, все остальные характеристики совпали с вышеуказанными.