§ 5.2. Спонтанное нарушение симметрии. Механизм Хиггса. Модель Вайнберга-Салама.

Понятие спонтанного нарушения симметрии (СНС); примеры, иллюстрирующие и поясняющие сущность СНС. Голдстоуновские бозоны. Понятие о хиггсовских бозонах и механизме Хиггса. Понятие о модели электрослабого взаимодействия Вайнберга-Салама и ее достоинствах.

Вопрос 5.2.1. В чем различие между явным и спонтанным нарушением симметрии?

Ответ 5.2.1.Прежде всего, в том, что в случае явного нарушения в лагранжиане теории есть слагаемые, неивариантные относительно группы симметрии, а в случае спонтанного нарушения таких слагаемых нет. См. также таблицу, составленную на основе [1,c. 10].

Таблица 5.2.1. Механизмы спонтанного нарушения внутренней симметрии

механизм	явный	спонтанный
наличие в лагранжиане теории слагаемых, неивариантных относительно группы симметрии	да	нет
примеры	лагранжиан сильного взаимодействия инвариантен относительно изотопических преобразований, но неинвариантен по отношению к электромагнитному и слабому взаимодействию	?
наличие отличных от нуля вакуумных средних <0|i|0> для одной или нескольких компонент квантованного поля (как правило, эти компоненты соответствуют скалярным частицам)	?	да
к чему это приводит	?	к появлению массивных калибровочных бозонов

Вопрос 5.2.2. Как связано нарушение локальной симметрии с массой калибровочных бозонов?

Ответ 5.2.2.См. таблицу, составленную на основе [1, с. 11].

Таблица 5.2.2

нарушение локальной симметрии	масса калибровочных бозонов
да	 0
нет	= 0

Вопрос 5.2.3. Как водится понятие спонтанного нарушения симметрии на основе примеров из классической физики?

Ответ 5.2.3.Понятие СНС (спонтанного нарушения симметрии) введем, рассмотрев примеры из классической физики. СНС – это существование устойчивых асимметричных решений задачи, условие которой симметрично. Задачи с симметричным условием подразделяются на устойчивые симметричные (УС) и задачи со спонтанным нарушением симметрии (СНС).

Таблица 5.2.3.1.

задача	устойчивость решений отн. малых возмущений		примеры
	симметричные решения	асимм. реш. (или решения с пониженной симметрией?)
УС	да (устойчивы)	нет (неустойчивы)	1) задача о нахождении электростатического поля равномерно заряженного шара (заряд действительно стремится к равномерному распределению); 2) пример I(см. ниже)
СНС	нет (неустойчивы)	да (устойчивы)	1) пример II(см. ниже); 2) примерIII(см. ниже)

Задача о нахождении электростатического поля равномерно заряженного шара решается с помощью теоремы Гаусса, но при этом считается, что поскольку распределение заряда обладает сферической симметрией, то такой же симметрией обладает и поле. Фактически здесь делается 2 предположения: а) симметричная задача имеет симметричное решение; б) последнее устойчиво относительно малых возмущений. Второе не столь очевидно, ибо в принципе малые отклонения от реальной симметрии, всегда присутствующие в системе реальной, могут вызвать значительные отклонения от симметричного решения, которое перестает быть таковым, но зато превратится в устойчивое решение. Иными словами, в общем случае не всякое решение задачи обязано обладать всеми свойствами симметрии ее исходных уравнений.

Таблица 5.2.3.2. Примеры симметричных задач.

	примеры		1	2	3
1	какая симметрия нарушается		СНС отсутствует	дискретная	непрерывная
2	система		класс. 1-мерн. ангарм. осц. с п. э. U(x) =kx^2/2 +ax^4,k> 0,a> 0 (5.2.3.1)	класс. 1-мерн. ангарм. осц. с п. э. U(x) = –kx^2/2 +ax^4,k> 0,a> 0 (5.2.3.2)	движение частицы во внешнем поле с п. э. U(x,y) = –k(x^2+y^2)/2 +a(x^2+y^2)^2–kr^2/2 +ar^4(5.2.3.3)
3	график или рис. п. э.		Рис. 5.2.3.1.	U(x) Рис. 5.2.3.2.	вращение рис. 5.2.3.2 вокруг вертикальной оси
4	положение неустойчивого равновесия		отсутствует	x0 = 0	r0 = 0
5	задача симметрична относительно преобразования		x  – x	x  – x	x^/ = xcos + ysin, y^/ = – xsin + ycos
6	число положений устойчивого равновесия		1	2	бесконечное множество
7	устойчивые решения		x0 = 0	x1= (k/4a)^1/2=,x2= –	r= (k/4a)^1/2(на окружностиr=)
8	вырождение основного состояния по энергии		отсутствует	двукратное	бесконечное
9	симметричность решения относительно преобразований из п. 5		да	нет: происходит переход x1x2, т. е. исходная симметрия потеряна – произошло спонтанное нарушение	нет
10	допустимость нулевого приближения (а = 0)		да, т. к. приходим к гармоническому осциллятору	нет, т. к. переходим к положению неустойчивого равновесия и имеем решение, при любых начальных условиях экспоненциально растущее во времени	нет, т. к. переходим к положению неустойчивого равновесия
11	метод решения	этап А	не требуется	замена переменных =x+илиx=–(5.2.3.4) (сдвигаем начало координат в положение устойчивого равновесия)	замена переменных =x+,y=илиx=–,y=(если, к примеру,x1=,y1= 0) (5.2.3.5)
		этап Б	не требуется	подставляем (5.2.3.4) в (5.2.3.2) и получаем U() = (2k– (8ka)^1/2)^2+a^4(5.2.3.6)	подставляем (5.2.3.5) в (5.2.3.3) и получаем U(,) = 2k^2– (8ka)^1/2(^2+^2) +a(^2+^2)^2(5.2.3.7)
		этап В	по теории возмущений	после этого – по теории возмущений	после этого – по теории возмущений
	при этом	гарм. слаг.	kx^2/2	2k^2	2k^2
		ангарм. слаг.	ax^4	a^4– (8ka)^1/2^2	– (8ka)^1/2(^2+^2) +a(^2+^2)^2

Отметим, что (5.2.3.3) и (5.2.3.7) формально эквивалентны, но последняя по виду не инвариантна относительно преобразований (5.2.3.5). За счет того, что мы фиксировали определенное положение устойчивого равновесия, исходная симметрия спонтанно нарушилась.

Обратим внимание на наличие в (5.2.3.7) слагаемого, квадратичного по и на отсутствие слагаемого, квадратичного по. Смысл этого результат вполне понятен: малые отклонения частицы от положения устойчивого равновесия₀= 0,₀= 0 (x₁=,y₁= 0) представляют собой гармонические колебания вдоль оси х и свободное движение вдоль осиy, несколько искаженные ангармоническими слагаемыми (реальное движение не по отрезку осиy, а по дуге окружности).