2. Пусть имеется однородный стержень массой и длиной (см. Рис. 4)
Выберем на оси
интервал значений
и определим момент инерции массы,
соответствующей этому интервалу. Эта
масса равна
,
а соответствующий элемент момента инерции
.
Полный момент
инерции равен интегралу от
в пределах от
до
(т.е. по области, где масса отлична от
нуля). Вычисление интеграла дает
.
Нам важны два частных случая:
А). a
= 0; тогда
.
Б).
;
тогда
.
Заметим, что случай А) соответствует оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, тогда как случай Б) соответствует оси, проходящей через центр масс стержня. Сопоставление двух этих случаев дает
.
37.
Теорема Штейнера.
.
Последнее соотношение – частный случай теоремы Штейнера: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. Эта теорема позволяет переходить от моментов инерции простых систем к более сложным. Например, момент инерции сплошного диска относительно оси, походящей через его край перпендикулярно плоскости диска равен
.
38.
Момент силы, момент импульса.
По определению, моментом силы
относительно неподвижной точки о
является векторная величина – векторное
произведение радиус-вектора, проведенного
из рассматриваемой точки о
в точку приложения силы b
, на вектор силы, т.е.
.
Аналогичным образом определяется момент
импульса,
. Рисунок 5 поясняет эти определения на
примере момента силы. Там же указана
«линия действия силы» ab
и «плечо силы» oa
.
При
определении момента импульса сила
на рисунке 5 заменяется импульсом
.
Плечо силы. Правила вычисление
моментов.
39. Вывод
уравнения моментов. По
определению, моментом силы относительно
неподвижной точки о
является векторная величина – векторное
произведение радиус-вектора, проведенного
из рассматриваемой точки о
в точку приложения силы b
, на вектор силы, т.е.
.
Аналогичным образом определяется момент
импульса,
. Рисунок 5 поясняет эти определения на
примере момента силы. Там же указана
«линия действия силы» ab
и «плечо силы» oa
. При
определении момента импульса сила
на рисунке 5 заменяется импульсом
.
Продифференцируем момент импульса по
времени. Получим
Первое слагаемое
справа обращается в нуль, т.к. векторно
перемножаются два параллельных вектора
и
. Учтено также, что
.
Соотношение
называется уравнением
моментов.
40. Основной закон вращательного движения абсолютно твердого тела. После небольших преобразований уравнение моментов относительно неподвижной оси можно записать в виде
.
Это основной закон динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции твердого тела, угловая скорость его вращения и результирующая моментов внешних сил, действующих на тело, рассматриваются относительно той же неподвижной оси вращения.
41.
Условия равновесия абсолютно твердого
тела. Если учесть
теорему о движении центра масс, и
потребовать, чтобы
и
,
то можно убедиться, что два последних
условия означают, что центр масс твердого
тела будет двигаться прямолинейно и
равномерно (или покоиться), а само тело
будет равномерно вращаться вокруг оси,
проходящей через центр масс (или вообще
не будет вращаться). Другими словами,
при выполнении указанных условий тело
будет находиться в равновесии.
42. Закон сохранения момента импульса. Вернемся к векторной форме уравнения моментов. Из него видно, что момент импульса тела остается постоянным относительно выбранной неподвижной точки, если момент внешних сил относительно этой же точки равен нулю. Данная фраза представляет собой формулировку закона сохранения момента импульса. В математической записи этот закон формулируется так:
.
.
43. Вывод формулы для периода колебаний физического маятника. Определим, в качестве простого примера, период колебаний физического маятника или твердого тела (см. рис. 6).
На рисунке 6
овал – рассматриваемое твердое тело,
способное без трения качаться около
горизонтальной оси, проходящей через
точку О, не совпадающую с центром масс
А. Момент инерции тела относительно
указанной оси известен и равен J
. К центру масс тела приложена сила
тяжести. В некоторый момент времени
маятник отклонен от вертикали на
небольшой угол
.
Для описания вращения тела вокруг оси
можно записать уравнение движения
.
Слева стоит вторая
производная по времени от угла отклонения
.
Справа – момент внешних сил, действующих
на систему. Численно этот момент равен
,
где
,
то есть равняется расстоянию от оси
вращения до центра масс, тогда как
– плечо действующей силы.
Принципиально важным обстоятельством является тот факт, что внешний момент оказывается возвращающим. Это означает, что вне зависимости от направления движения твердого тела (линии ОВ) – вправо или влево, и вне зависимости от того, находится ли центр масс слева от вертикали ОС или справа, момент силы тяжести стремится вызвать движение тела к положению равновесия, к линии ОС. Поэтому справа появляется знак « – ». Тогда уравнение движения принимает вид
.
Рассматриваются
малые углы отклонения маятника, поэтому
можно приближенно считать, что
.
В результате уравнение движения
приводится к виду
,
то есть к уравнению движения гармонического осциллятора с собственной частотой
.
Соответственно период колебаний равен:
.
44. Физический маятник (условия). Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются двумя начальными условиями
,
.
А и В - заданные постоянные. Приведенная длина физического маятника.
45.
Кинетическая энергия абсолютно твердого
тела. Рассмотрим
материальную точку
,
которая движется по окружности радиуса
с постоянной по модулю скоростью
.
С точки зрения динамики материальной
точки кинетическая энергия в этом случае
равна
.
Учтем, однако, что
линейная скорость связана с угловой
скоростью соотношением
.
Поэтому кинетическую энергию можно
записать и в виде
.
Здесь
– момент инерции материальной точки
относительно неподвижной оси вращения,
а
– угловая скорость её вращения
относительно той же оси. Этот результат
можно обобщить на случай любого твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, проходящей через центр масс:
.
А если твердое
тело и вращается вокруг оси, проходящей
через центр масс, и движется прямолинейно
со скоростью
вместе с этой осью? Тогда надо учитывать
кинетическую энергию и вращательного
движения тела, и кинетическую энергию
поступательного движения центра масс:
.
46. Идеальная жидкость: используются представления об идеальной жидкости. В этой жидкости, напротив, полностью пренебрегают взаимодействием частиц друг с другом. Говорят также, что идеальная жидкость такова, что в ней отсутствует вязкость или силы внутреннего трения.
47. Уравнение неразрывности (непрерывности).
48. Уравнение Бернулли. До сих пор мы давали описание движения жидкости без учета энергетических соображений. Учет их позволяет найти основное для течения идеальной жидкости уравнение – уравнение Бернулли.
Пусть на входе
в трубку тока на жидкость оказывается
давление
Р1
, а на выходе – давление Р2.
Учтем также, что за время
сечение на входе в трубку сместится на
,
а на выходе – на величину
.
Если умножить смещения на площадь
поперечного сечения в соответствующем
месте трубки и на плотность жидкости,
то можно получить величину массы,
прошедшей через начало и конец трубки
тока. В силу непрерывности тока, эти
массы равны. Обозначим их как
.
Тогда, в силу закона сохранения
механической энергии
. то есть разность энергий на выходе и
на входе в трубку тока равна работе,
совершенной над жидкостью в трубке. Но,
очевидно, что
,
.
Совершаемая над жидкостью работа равна
,
или, вводя давления
с помощью соотношений
, учитывающих площади сечений трубки
тока на входе и выходе,
.
Далее, вводя
объемы жидкости
, находим
.
Поэтому
.
Наконец стандартный вид известного уравнения Бернулли:
.
Пусть
.
Тогда там, где скорость движения жидкости
меньше,
там давление жидкости больше.