МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный технологический университет

«СТАНКИН»

ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Методические указания к решению физических задач

по общему курсу физики

МОСКВА 2011

1. Удк 536

Термодинамика и статистическая физика: Методические указания к решению физических задач по общему курсу физики.

Составитель: А.А.Шарц.- М.: ФГБОУ МГТУ «СТАНКИН», 2011, – 28 с.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов, изучающих основы классической феноменологической термодинамики и статистической физики.

Цель указаний - помочь студентам освоить особенности физического метода решения задач: качественный анализ, использование идеализаций, построение модели явления, решение задачи в рамках принятой модели и анализ полученных результатов. Ответы на дополнительные вопросы позволяют проконтролировать степень усвоения теоретических знаний.

Рис. 3, Библ. 3 назв.

Составитель: к.ф.-м.н., профессор А.А.Шарц

Утверждено кафедрой физики. Протокол № 2 от 25.09.2004 г.

© МГТУ «СТАНКИН», 2001

1. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Понятие работы было введено в механике для обозначения количества энергии, передаваемой механическим, то есть силовым способом, и под работой всегда подразумевается макроскопическая работа на макроскопически наблюдаемом пути. Однако энергия может поступать в термодинамическую систему и немеханическим путем, без совершения макроскопической работы, то есть через микропроцессы, которые непосредственно не наблюдаются. Этот называемый тепловым способ передачи энергии обычно не учитывается в механике. Но если его учитывать, то всегда следует помнить, что, хотя работой и теплотой измеряется количество переданной энергии, но между работой А и теплотой Q (с одной стороны) и внутренней энергией системы U (с другой) имеется существенное различие: Работа и теплота (при участии обоих способов передачи энергии) являются функциями процесса, то есть способа передачи энергии, в то время как энергия всегда является функцией состояния системы, то есть функцией координат и импульсов образующих термодинамическую систему микрочастиц. Поэтому при переходе термодинамической системы из одного состояния в другое разными путями будет совершаться разная работа и при этом еще поглощаться (или выделяться) разная теплота, но изменение энергии будет то же самое. Теперь, учитывая два способа передачи энергии, механический и тепловой, можно записать закон сохранения энергии в обобщенной форме

Q = dU + А (1.1)

В термодинамике этот закон носит название первое начала термодинамики.

Для газообразных тел первое начало термодинамики записывают (без учета электромагнитных влияний) в виде

Q = C_vdT + РdV, (1.2)

где через C_v обозначена теплоемкость при постоянном объеме. Поскольку при этом dV=0 и, соответственно, dА=0, то вся подводимая в систему теплота идет только на изменение внутренней энергии (суммарной энергии межмолекулярных и внутримолекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул), и поэтому

Если процесс передачи теплоты происходит при неизменном давлении, то мы имеем дело с теплоемкостью при постоянном давлении С_р, которая больше, чем С_v, так как часть поступающей в систему теплоты идет не на нагревание системы, а на совершение системой работы (против сил внешнего давления и внутреннего притяжения молекул)

Используя уравнение состояния идеального газа (для числа молейравного единице)

PV = RT, (1.4) и независимость внутренней энергии идеального газа от объема, легко получить уравнение Майера, связывающее молярные теплоемкости идеального газа в изобарном и изохорном процессах

С_р - С_v = R, (1.5)

где R - универсальная газовая константа, равная 8,31 Дж/мольК.

Задача 1.1

В цилиндре под поршнем находится углекислый газ СО₂ массой 0,2 кг. Какую работу совершает газ при его нагревании на 88^оС, если давление его постоянно?

Анализ и решение

Относительно объема и давления нам ничего не известно, и мы будем считать газ достаточно разреженным, чтобы можно было использовать модель идеального газа, уравнение состояния которого (1.4) известно. При Р = const это уравнение дает дифференциальное соотношение

PdV = RdT.

Поскольку дифференциал работы газа dA = PdV, то полная работа газа А при его расширении при постоянном давлении

Так как размер градуса в шкалах Кельвина и Цельсия одинаков, то Т = t.

Поскольку масса одного моля СО₂ известна (М = 0,044 кг), то число молей м/М следует подставить в выражение для работы. Окончательно

А = мRt /М = 0,2∙8,31∙88/0,044 = 3,3 кДж.

Задача 1.2

Идеальный одноатомный газ расширяется согласно уравнению PV^1/2 = Const, где Р – давление, V – объем. Надо определить молярную теплоемкость газа в этом процессе.

Анализ и решение

Поскольку уже предполагается, что газ можно считать идеальным, то газ должен подчиняться и уравнению процесса PV^1/2 = Const и уравнению состояния (1.4) PV = RT (здесь учтено, что количество интересующего нас газа равно одному молю). Из определения теплоемкости и уравнения (1.2) получаем для молярной теплоемкости выражение

Молярная теплоемкость идеального газа согласно теории С_v = iR/2, где через i обозначено число степеней свободы одной молекулы газа. Последнее слагаемое в выражении для теплоемкости должно быть найдено из требования, чтобы поведение газа удовлетворяло двумвышеупомянутым уравнениям. Для этого воспользуемся дифференциальными выражениями, полученными из этих уравнений:

V^-1/2 PdV + 2V^1/2 dP = 0 и PdV + VdP = RdT.

Если подставить во второе уравнение выражение VdP = - PdV/2, полученное из первого уравнения, при умножении его на V^1/2 , то найдем, что PdV/dT = 2R. Следовательно, теплоемкость идеального газа в процессе данного вида (PV^1/2 = = Const.) определится как

C = C_V + 2R = iR/2 + 2R.

Осталось подставить в полученное выражение число степеней свободы одноатомного идеального газа (i =3), и мы получаем искомую молярную теплоемкость газа в этом процессе, С = 7R/2.

Задача 1.3

Найдите связь между термодинамическими параметрами (температурой Т, давлением Р, объемом V) при адиабатном сжатии идеального газа.

Анализ и решение

Из первого начала термодинамики для газообразных тел (1.2), уравнения состояния идеального газа для одного моля (1.4) и условия адиабатности процессаQ = 0 (теплообменом пренебрегаем) получаем уравнение, связывающее давление, температуру и объем в адиабатном процессе

интегрирование которого (с последующим потенцированием) дает

Поскольку из уравнения Майера (1.5)R = С_р - С_v, то, применяя общепринятое обозначение отношения теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме С_р/С_v =  мы можем написать уравнение, связывающее температуру и объем в адиабатном процессе в координатах температура Т и объём V, как

Если теперь воспользоваться уравнением (1.4) в виде PV/T = const., умножив его почленно на только что полученное уравнение, получим уравнение адиабаты в координатах (Р,V), связывающее давление и объем

Исключив объем с помощью уравнения состояния идеального газа, получаем уравнение адиабаты в координатах (Т, Р) температура-давление

Эти три уравнения дают попарную связь между температурой, объемом и давлением в адиабатном процессе. Очевидно, что все три уравнения равносильны и при решении задач используется то из уравнений, которое связывает интересующие нас параметры.

Дополнительные вопросы

1. В чем удобство использования количества вещества, называемого моль? Как найти массу одного моля?

2. На что тратится энергия совершаемой над газом работы, если газ можно считать полностью теплоизолированным?

3. За счет чего совершается работа в адиабатном процессе?

4. Можно ли в процессе расширения идеального газа всю передаваемую газу теплоту преобразовать в макроскопическую работу? Что изменится, если газ нельзя считать идеальным?