Тема 3. Средние величины
3.1 Основные понятия и формулы
Средней величиной называется обобщающий показатель, выражающий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.
Первым условием научного использования средней величины является качественно однородная совокупность, поэтому расчет средней сочетается с методом группировок. Второе условие – средняя должна исчисляться на основе данных в большом числе единиц, так как в этом случае колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются, и проявляется общее свойство для всей совокупности.
Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней.
Средние рассчитанные для каждой группы – групповыми средними.
Существует две категории средних величин:
1. Степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая и др.);
2. Структурные средние (мода и медиана).
Величины, для которых исчисляется средняя, обозначаются (варианты). Средняя обозначается через . Частота – повторяемость индивидуальных значений признака – обозначается символом . Частоты могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными – частостями .
Выбор формулы для расчета средней зависит от наличия исходной информации, задачи исследования, экономической сущности oсредняемого показателя (табл. 3.1).
Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда каждая из вариант хi встречается в изучаемом явлении один или одинаковое количество раз.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в тех случаях, когда различные варианты встречаются в изучаемой совокупности неодинаковое число раз ( число раз). Или когда не известен числитель и известен знаменатель выражения для расчета средней величины.
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известен числитель и не известен знаменатель выражения для расчета средней величины.
Средняя геометрическая рассчитывается, если индивидуальные значения признака хi представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных коэффициентов. По этой формуле рассчитывается средний коэффициент роста.
Средняя квадратическая используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения.
Таблица 3.1 – Формулы для расчета различных видов степенных средних величин
Вид средней величины |
Формула средней величины | |
простая |
Взвешенная | |
Арифметическая | ||
Квадрати-ческая | ||
Гармоническая |
|
; |
Геометрическая |
Мода и медиана представляют собой средние величины, используемые в качестве вспомогательных обобщающих характеристик при изучении структуры совокупности.
Модой называется величина признака, которая чаще всего встречается в совокупности. В дискретном вариационном ряду для определения моды не требуется особых вычислений. В интервальном вариационном ряду для нахождения моды используется формула:
, (3.1)
где Мо – мода;
–нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой или частостью );
–величина модального интервала;
–частота модального интервала;
–частота интервала, предшествующего модальному;
–частота интервала, следующего за модальным.
Медианой называется значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности вариант (значений признака) части.
В дискретном вариационном ряду определение медианы зависит от числа членов ряда n: если n – четное число, то медианой будет средняя арифметическая из двух срединных вариант, если n – нечетное число, то медианой будет средний член ряда по порядку, т.е. варианта с номером:
, (3.2)
где n – число членов ряда.
В интервальном вариационном ряду сначала определяют место (номер) медианного значения по формуле:
, (3.3)
где n – число членов ряда.
Медиану определяют по формуле:
, (3.4)
где Ме – медиана;
–нижняя граница медианного интервала;
–величина медианного интервала;
–сумма частот ряда;
–частота медианного интервала;
–накопленная частота интервала, предшествующего медианному (сумма частот интервалов, предшествующих медианному).