Тема 6. Экономические индексы

ТЕМА 6. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

6.1Основные понятия и формулы

Ин д е к с ы и и х к л а с с и ф и к а ц и я

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. С помощью индексов решаются следующие основные задачи.

Во-первых, индексы позволяют измерить изменение сложных явлений в динамике, в сравнении с планами, нормативами, с территориями.

Во-вторых, с помощью индексов можно определить влияние отдельных факторов на изменение сложного явления.

Индексы классифицируют по трем основным признакам:

-по содержанию изучаемых объектов;

-по степени охвата элементов совокупности;

-по методам расчета общих индексов.

По содержанию изучаемых величин индексы подразделяют на индексы количественных (объемных) и индексы качественных показателей. Такое разделение важно для методологии их расчета.

При построении индексов количественных показателей

индексируемой величиной являются объемные показатели. При расчете таких индексов объемы (количество) оцениваются в одинаковых, сопоставимых ценах.

При построении индексов качественных показателей индексируемой величиной являются качественные показатели (т.е. уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности: цена, себестоимость единицы продукции, урожайность, производительность труда и т.д.). С помощью качественных показателей измеряют интенсивность явления или процесса. Расчет этих индексов производится на основе одинаковых, неизменных количеств (объемов) продукции.

По степени охвата единиц совокупности индексы делят на индивидуальные и общие. Индивидуальные индексы используют для характеристики изменения отдельных единиц (элементов) сложного явления. Общие индексы отражают изменение всех элементов (единиц) сложного явления. При этом сложные явления состоят из разнородных элементов, которые непосредственно не подлежат суммированию (физические объемы продукции разноименных товаров, цены на разнородные товары и т.д.). Если индексы исчисляют не для всех элементов сложного явления, а лишь для их части, то их называют групповыми индексами или субиндексами.

По методу расчета различают индексы агрегатные и средние, исчисление которых представляет особый прием, называемый индексным методом. Он имеет свою символику и терминологию.

Индивидуальные индексы обозначают буквой i с указанием подстрочного знака индексируемого показателя. При этом количество (объем) какого-либо

продукта, товара принято обозначать символом q; цену единицы товара – р; себестоимость единицы продукции (товара) – z; затраты времени на производство единицы продукции – t (трудоемкость); выработку продукции в стоимостном выражении на одного работника или в единицу времени – w, выработку продукции в натуральном выражении на работника, или единицу продукции – v.

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, принято возле символа индекса внизу справа ставить подстрочные знаки: 1 – для сравниваемых (отчетных, текущих периодов), и 0 – для периодов, с которыми производится сравнение (базисных периодов).

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу (явлению) и представляют собой относительные величины динамики, выполнения планазаказа, сравнения. Их определяют отношением двух индексируемых величин. Например, индивидуальный индекс объема рассчитывается:

		iq	q1			,		(6.1)
			q		o
где	q , q количество (объем) одноименного товара (продукта, услуги),
	1	0
произведенного в текущем (отчетном) и базисном (прошлом) периодах.
	Индивидуальный индекс цен:
		ip		р1			,	(6.2)
				рo
где	р	, р цена единицы одноименной продукции в отчетном и базис-ном
	1	0

периодах.

Индивидуальные индексы характеризуют изменения индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т.е. во сколько раз она возросла (или уменьшилась) или сколько процентов составляет ее рост (снижение). Значения индексов выражают в коэффициентах или процентах.

Общие индексы могут быть построены двумя способами: как

агрегатные и как средние из индивидуальных.

Агрегатный индекс является основной формой индекса. Числитель и знаменатель представляет сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (или индексируется), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (ее называют соизмерителем или «весом»). Соизмеритель (или «вес») служит для соизмерения индексируемых величин, т.е. в результате произведения таких показателей получают величины, которые можно суммировать.

Различают агрегатные индексы количественных (объемных) и качественных показателей.

Общие индексы количественных показателей

При построении агрегатных индексов количественных (объемных) показателей индексируемой величиной является физический объем (q), а соизмерителем (весом) взаимосвязанный с ним качественный показатель –

цена (р), себестоимость единицы продукции (z), затраты труда на единицу продукции (t). При этом принято вес (соизмеритель) и в числителе, и в знаменателе брать на уровне одного периода: базисного.

Агрегатный индекс физического объема продукции (Iq ) :

	I q		q1	p0	,	(6.3)
			q0	p0
где q , q	– продукция в натуральном выражении в базисном и отчетном
1	0

периодах соответственно;

р0 – базисная (фиксированная) цена единицы товара (продукции).

Вчислителе формулы (6.3) стоит условная стоимость произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода ( q1 р0 ), а в знаменателе

–фактическая стоимость товаров, произведенных в базисном периоде ( q0 р0 ).

Сам индекс (результат отношения) показывает во сколько раз увеличился (если Iq 0) или уменьшился (если Iq 0) физический объем продукции или

сколько процентов составляет его рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Абсолютное изменение физического объема продукции вычисляется как разность между числителем и знаменателем формулы (6.3):

Apq(q)	q p	q	p .	(6.4)
	1 0	0	0

Эта разность показывает, на сколько денежных единиц (рублей) изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) ее физического объема, т.е. натурального объема (q), так как изменение цен на продукцию не влияет на значение индекса.

Обычно при построении агрегатного индекса физического объема продукции в качестве соизмерителей принимаются сопоставимые,

неизменные, фиксированные цены на уровне базисного периода – это позволяет устранить влияние изменения цен на единицу объема продукции.

При построении агрегатного индекса физического объема произведенной на предприятии продукции в качестве весов может быть использована себестоимость базисного периода ( z0 ):

			I q		q1 z0		.	(6.5)
					q0 z0
Этот индекс характеризует изменение денежных затрат на производство
продукции		qz	в результате			изменения физического		объема ее

производства.

Агрегатный индекс объема, взвешенный по трудоемкости единицы продукции, равен:

I q		q1t0	,	(6.6)
		q0 t0

где t0 – затраты труда на единицу продукции в чел.-часах или чел.-днях.

Этот индекс характеризует изменение трудовых затрат на производство продукции ( qt ) в результате изменения объема ее производства.

Общие индексы качественных показателей

При построении агрегатных индексов качественных показателей

индексируемой величиной являются качественные показатели (цена, себестоимость единицы продукции, трудоемкость), а соизмерителем (весом) взаимосвязанные с ними количественные показатели (объемы). При этом соизмеритель (вес) и в числителе, и в знаменателе берут на уровне одного периода (как правило, отчетного).

Формула агрегатного индекса цены ( I p ) будет иметь вид:

I p	p1 q1 ,	(6.7)
	p0 q1

где p1 q1 – стоимость товаров, выручка от реализации продукции в

отчетном периоде;

p0 q1 – условная стоимость товаров, или выручка от реализации объема продуктов (товаров) отчетного периода по ценам базисного периода.

Сам индекс показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем уровень цен на массу товара, реализованную в отчетном периоде, или сколько процентов составляет его рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным, то есть на сколько товары в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном периоде.

Разность между числителем и знаменателем индекса характеризует

абсолютный прирост стоимости (выручки от реализации товаров) за счет

изменения цен ( Apq( p ) ):
Apq( p)	p q	p q .	(6.8)
	1 1	0 1

Агрегатный индекс себестоимости исчисляется по формуле:

		I z	z1 q1	,	(6.9)
			z0 q1
где	z1	q затраты на производство продукции отчетного периода;
		1
	z0	q условные затраты на производство той же продукции,			если бы
		1

себестоимость единицы продукции осталась на уровне базисного периода.

Рассчитанный по формуле (6.9) индекс себестоимости показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем уровень себестоимости единицы

продукции, произведенной в отчетном периоде или сколько процентов составляет ее рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем характеризует перерасход

(если Azq( z ) 0 ) или экономию (если Azq( z )				0 )		в затратах от изменения
себестоимости единицы продукции:
Azq( z )		z1	q		z0		q .	(6.10)
			1				1

Индексы средние взвешенные из индивидуальных индексов

Наряду с агрегатными индексами общие индексы могут быть построены как средние взвешенные из индивидуальных индексов. Они тождественны агрегатным.

Различают средние гармонические и средние арифметические индексы.

Если индексируемой величиной (х) является качественный показатель, то его общий индекс может быть построен как средний взвешенный гармонический из индивидуальных индексов:

	I x		x1 f1
				1		x1 f1
				i	x

Например, средний гармонический индекс цены единицы продукции:

I p		p1 q1				,	(6.11)
			1	p q
			ip		1
		1

где ip	p1	.
	p0

Весами индивидуальных индексов (ip ) в этом индексе служит стоимость отдельных видов продукции отчетного периода ( p1 q1 ).

Если индексируемой величиной (х) является количественный показатель, то его общий индекс может быть построен как средний взвешенный арифметический из индивидуальных индексов:

Iix x0 f0

xx0 f0

Например, средний арифметический индекс физического объема:

			I q	iq p0 q0	,	(6.12)
				p0 q0
где iq	q1		– индивидуальный индекс физического объема;
	q	0

p0 q0 – стоимость продукции, произведенной в базисном периоде.

Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ

С помощью индексного метода можно проследить влияние отдельных факторов на изменение сложного явления.

Многие статистические показатели, характеризующие различные общественные явления, находятся между собой в определенной связи. Так, стоимость произведенной или реализованной продукции является произведением количества продукции на цену; денежные затраты на произведенную продукцию есть произведение себестоимости единицы продукции на ее количество; объем выработанной продукции связан с уровнем производительности труда и количеством работников.

Все соотношения в таких произведениях рассматриваются как факторы, определяющие величину результативного показателя.

Связь между экономическими показателями находит отражение и во взаимосвязи характеризующих их индексов, образуя индексные системы.

Взаимосвязь индексов позволяет применять факторный анализ с целью изучения влияния отдельных факторов на изменение сложного явления. При этом различают факторы: объемные и качественные, а их произведение является результативным показателем.

В отечественной статистике принята следующая практика факторного индексного анализа: определяя влияние объемного фактора на изменение результативного показателя, качественный фактор, выступающий как соизмеритель (вес), фиксируют на уровне базисного периода; при изучении влияния качественного фактора количественный фактор, выступающий как вес, фиксируют на уровне отчетного периода.

Рассмотрим построение взаимосвязанных индексов на примере индекса цены, индекса физического объема продукции и индекса стоимости продукции (выручки или товарооборота в фактических ценах):

		I pq	I p Iq ,				(6.13)
или в развернутом виде:
	p1q1		p1q1		p0 q1	.	(6.14)
	p0 q0
			p0 q1		p0 q0

Из системы указанных индексов видно, что связь прослеживается. Такую систему взаимосвязанных индексов ещё называют мультипликативной.

Прослеживается также взаимосвязь и абсолютных приростов стоимости продукции:

Apq Apq( p) Apq(q) ,	(6.15)
где Apq p1q1 p0q0 .	(6.16)

Взаимосвязь абсолютных приростов, представленную в формуле (6.15)

называют аддитивной системой.

Аналогичную взаимосвязь можно представить между индексом затрат на производство продукции, индексом себестоимости единицы продукции и индексом объема:

I zq I z Iq ,

или в развернутом виде:

z1q1 z1q1z0 q0 z0 q1

z0 q1 .z0 q0

где I zq – индекс затрат на производство продукции.

(6.17)

(6.18)

Абсолютный прирост затрат на производство за счет рассмотренных факторов будет равен:

Azq Azq( z ) Azq(q) ,	(6.19)
где Azq z1q1 z0 q0 .	(6.20)

Аналогичную взаимосвязь можно представить между индексом трудовых затрат, агрегатными индексами трудоемкости и объема производства продукции:

			Itq	It Iq ,				(6.21)
или в развернутом виде:
		t1q1		t1q1		t0 q1	.	(6.22)
		t0 q0
				t0 q1		t0 q0
где	Itq – индекс затрат на производство продукции.
Абсолютный прирост общих затрат труда за счет рассмотренных
факторов будет равен:
		Atq Atq(t ) Atq(q) ,						(6.23)
где	Atq t1q1 t0 q0 .							(6.24)

Индексы средних величин

Индексы средних величин исчисляются только для качественных показателей. На динамику качественных показателей оказывает влияние изменение значений осредняемого (индексируемого) показателя по каждой группе единиц и изменение структуры исследуемой совокупности, то есть соотношение доли каждой группы в общей ее численности.

Решение задачи измерения влияния данных факторов на динамику среднего значения качественного показателя возможно с помощью индексного метода, то есть путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую входит три индекса: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с изменяющимися (переменными) весами:

				1 :		0 x1 f1	: x0 f0 ,
	I x		x		x			(6.25)
						f1	f0
где х0	и х1 – уровни осредняемого показателя соответственно в базисном и
отчетном периодах;
f0	и f1 – веса осредняемого показателя соответственно в базисном и
отчетном периодах.

Индекс, с помощью которого определяют изменение средней величины при одной и той же, то есть фиксированной, структуре совокупности,

называется индексом постоянного (фиксированного) состава:

						x1 f1		x0 f1 .
I x	x1 : x усл						:		(6.26)
						f1		f1

Он показывает, как изменилась средняя величина показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения только самой осредняемой величины, или самого индексируемого показателя при неизменной структуре совокупности.

Индекс структурных сдвигов применяется для измерения влияния только структурных сдвигов, то есть доли весов в отчетном периоде по сравнению с долей весов показателя в базисном периоде.

Величина осредняемого показателя остается неизменной и фиксируется на уровне базисного периода:

x0 f1

:

x0 f0

.

Iстр

x усл : x0

(6.27)

f1

f0

Если соотношение долей обозначить через

d i

f

i

,

то индексы можно

f

i

выразить следующими формулами:

I						x1 d1			x1 : x0 ;		(6.28)
						x0 d
	x
								0
I x				x1 d1						x1 : x усл ;	(6.29)
				x0 d1
I стр					x0 d		1			x усл : x0 .	(6.30)
					x0 d
							0

6.2 Примеры решения типовых задач

Пример 6.1

По данным табл. 6.1 рассчитайте агрегатный индекс физического объема продукции, реализованной предприятием торга.

Таблица 6.1 – Выработка продукции на предприятии

	Произведено, тыс. ед.		Цена за единицу		Индивидуальные
			продукта, руб.		индексы объема,%
Продукты	апрель	июль	апрель	июль	i	q1	100%
	q0	q1	p0	p1	q	q
						0
Молоко, л	100	110	25	28		110
Мясо, кг	6	5	180	210		83,3
Картофель, кг	300	320	10	12		106,7

Решение Из данных табл. 6.1 видно: индивидуальные индексы показывают, что в

июле молока произведено на 10% больше, картофеля – на 6,7%, а мяса на 16,7% меньше, чем в апреле. Общий индекс физического объема продукции составит:

	Iq	q1 p0		110		25	5 180	320 10		6850	100% 104,1% ,
		q0 p0		100		28	6 180	300 10		6580

то есть физический объем всей продукции составил 104,1% от его уровня в апреле, он возрос на 4,1%.

Абсолютный прирост стоимости произведенных продуктов за счет увеличения объема производства в неизменных ценах равен:

Apq(q) q1p0 q0 p0 6850 6580 270 тыс. руб.

Пример 6.2 По данным табл. 6.1 рассчитайте индивидуальные и агрегатный индексы

цен. Найдите абсолютный прирост выручки за счет изменения цен. Решение Индивидуальные индексы цен рассчитаем по формуле (6.2).

ip ( м ол око) 2825 100% 112%; ip ( м ясо) 180210 100% 116,7%;

ip (картофел ь) 1210 100% 120%.

Из расчетов следует, что цены на все товары возросли в июле по сравнению с апрелем: молоко – на 12%, мясо – на 16,7, картофель – на 20%.

	I p	p1q1		28 110 210 5 12 320		7970	100% 116,4% .
		p0q1		25 110 180 5 10 320		6850

Индекс показывает, что в июле по сравнению с апрелем цены на указанные продукты выросли в среднем на 16,4%.

Из-за повышения цен покупатели фактически перерасходовали средств на сумму:

Apq( p) p1q1 p0q1 7970 6850 1120 тыс. руб.

Пример 6.3 По данным табл. 6.2 рассчитайте индивидуальные и агрегатный индексы

себестоимости продукции. Определите абсолютный прирост затрат на производство за счет изменения себестоимости единицы продукции.

Таблица 6.2 – Производство и себестоимость единицы продукции предприятия за два периода

				Себестоимость		Индивидуальны
		Произведено, тыс. ед.		единицы продукции,
						е индексы
				руб.
	Виды					себестоимости,
		базисный	отчетный	базисный	отчетный
	продукции						z1
		период	период	период	период	% iz		100%
		q0	q1	z0	z1		z0
	Молоко, л	100	110	20	22	110,0
	Мясо, кг	6	5	170	200	117,6
	Картофель, кг	300	320	5	7	140,0

Решение Расчет индивидуальных индексов уровня себестоимости единицы

продукции (табл. 6.2) показал, что он вырос по всем видам продукции, но особенно высоко на производстве картофеля – 140% к базисному периоду.

Вычислим агрегатный индекс себестоимости:

	I z		z1q1		22 110 200 5 7 320		5510	100% 118,5% .
			z0 q1		20 110 170 5 5 320		4650

Исходя из значения агрегатного индекса себестоимости единицы продукции следует, что она в отчетном периоде по сравнению с базисным возросла в среднем на 18,5%. Это увеличение себестоимости единицы продукции вызвало прирост затрат на произведенную в отчетном периоде продукцию в размере:

Azq( z ) z1q1 p0 q1 5510 4650 860 тыс. руб.

Пример 6.4 Исходя их данных табл. 6.3 рассчитайте средний гармонический индекс

цен.

Таблица 6.3 – Стоимость продукции и индекс цен на предприятии за два периода

		Стоимость продукции в	Индивидуальные индексы
	Виды продукции	отчетном периоде, тыс. руб.	цен, %
		p1q1	ip 100%
	Молоко	3080	112,0