3. Нормальное распределение

Пример 3. Моделируется случайная величина , измеряющая длину (в метрах) елей на некотором участке леса. Можно считать, что N(a; 2), ãäå a = 10; 3 ì è = 2; 6 ì.

Найти процент елей на участке, чья длина находится в диапазоне от 6; 4 ì äî 11; 6 ì.

Найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в который попадает длина 45% елей на участке.

Применив правило "трех сигм", найти интервал, в который попадает длина всех елей на участке.

Решение. Вероятность P( < < ) того, что нормально распределенная величина примет значение в диапазоне от до , может быть найдена по формуле

P( < < ) =	a				a	;	(7)

ãäå a и параметры нормального распределения, (x) интегральная функция Лапласа. В нашем случае a = 10; 3, = 2; 6, = 6; 4 ì = 11; 6. Подставляя эти значения в (7), получим:

	2; 6				2; 6
P(6; 4 < < 11; 6) =	11; 6 10; 3			6; 4	10; 3	= (0; 5)		( 1; 5) =

= (0; 5) + (1; 5)1 = 0; 1915 + 0; 4332 = 0; 6247:

Другими словами в диапазоне от 6; 4 м до 11; 6 м лежит длина 62,47 % процентов елей на участке.

Интервал, симметричный относительно среднего значения, в который попадает длина 45% елей на участке, имеет вид (a ; a + ) и находится из равенства

P (a < < a + ) = 0; 45

èëè

P (j aj < ) = 0; 45:

(8)

Для нормального с параметрами (a; ) распределения левая часть (8) вычисляется по формуле

P (j aj < ) = 2			;	(9)

(x) интегральная функция Лапласа. Подставляя выражение (9) в левую часть (8), получим

2 = 0; 45:

1значения (0; 5) и (1; 5) взяты из таблиц значений интегральной функции Лапласа, ко-

торые имеются в большинстве учебников/задачников по теории вероятностей и математиче- ской статистике, а также в интернете; кроме того, значения интегральной функции Лапласа можно рассчитать, воспользовавшись встроенной функцией ГАУСС в программе Microsoft O ce Excel или GAUSS в программе Open O ce Calc

8

Пример 4.

Отсюда ( = ) = 0; 225. С помощью таблиц значений интегральной функция Лапласа находим

0; 6;

откуда = 0; 6 = 0; 6 2; 6 = 1; 56 м. Искомый интервал

(10; 3 ì 1; 56 ì; 10; 3 ì + 1; 56 ì) = (8; 74 ì; 11; 86 ì) :

Согласно правилу "трех сигм", интервал, в который попадает длина всех елей на участке, имеет вид (a 3 ; a + 3 ). В нашем случае a = 10; 3 ì è= 2; 6 м; искомый интервал есть

(10; 3 ì 3 2; 6 ì; 10; 3 ì + 3 2; 6 ì) = (2; 5 ì; 18; 1 ì) :

Ответ. 62,47%; (8; 74 ì; 11; 86 ì); (2; 5 ì; 18; 1 ì).

4. Показательное распределение

Изучается интенсивность потока проезжающих по трассе автомобилей. Моделируется случайная величина , означающая время (в секундах) между проездами через контрольную точку двух последовательных автомобилей. Можно считать, что Exp(0; 18).

Записать плотность распределения p (x) случайной величины и построить ее график.

Записать функцию распределения F (x) случайной величины и построить ее график.

Найти вероятность того, что между проездом через контрольную точку семнадцатого и восемнадцатого автомобиля пройдет не более 3 секунд.

Ровно в полдень через контрольную точку проехал автомобиль. Найти

вероятность того, что в течении 15 секунд через контрольную точку не проедет ни одного автомобиля.

Чему равно среднее время между проездами через контрольную точку двух последовательных автомобилей?

Чему равна интенсивность потока автомобилей (то есть среднее число проезжающих автомобилей в секунду)?

Решение. Если случайная величина имеет показательное (экспоненци-

альное) распределение с параметром ( Exp( )), то плотность p (x) ее распределения имеет вид

( e x ïðè x > 0;

p (x) =

0ïðè x < 0:

В нашем случае

(

0; 18e 0;18 x ïðè x > 0;

p (x) = (10)

0ïðè x < 0:

9

Íà ðèñ. 4 изображен график функции p (x), построенный с помощью программы Open O ce Calc.

Ðèñ. 4.

Åñëè Exp( ), то функция распределения F (x) имеет вид

(

1 e x ïðè x > 0;

F (x) =

0ïðè x < 0:

В нашем случае

F (x) =	(0		e 0;18 x	ïðè x < 0:	(11)
	1			ïðè x > 0;

Íà ðèñ. 5 изображен график функции F (x), построенный с помощью программы Open O ce Calc.

Ðèñ. 5.

10

Событие A, состоящее в том, что между проездом через контрольную точку семнадцатого и восемнадцатого автомобиля пройдет не более 3 секунд, означает, что случайная величина примет значение 6 3:

A = ( 6 3):

Для любой непрерывной случайной величины

P( 6 x) = F (x):

В нашем случае

P( 6 3) = F (3)	см. формулу (11)	1 e 0;18 3 = 1 e 0;54 = 1 0; 583 = 0; 417:
	=

Событие B, состоящее в том, что в течение 15 секунд через контрольную точку не проедет ни одного автомобиля, означает, что случайная величина примет значение > 15:

B = f > 15g = (x < < +1):

Для любой непрерывной случайной величины

P(x < < +1) = F (+1) F (x) = 1 F (x):

В нашем случае

P(x < < +1) = 1 F (15)	см. формулу (11)	1 (1 e 0;18 15) = e 2;7 = 0; 067:
	=

Среднее время между проездом через контрольную точку двух последовательных автомобилей есть математическое ожидание M( ) случайной вели- чины . Известно, что если Exp( ), òî M( ) = 1= . В нашем случае M( ) = 1=0; 18 5; 56, то есть искомое среднее время составляет 5,56 секунд.

В моделях, изучающих время между появлениями двух последователь-

ных событий в простейшем потоке событий, интенсивность потока совпадает с параметром соответствующего показательного распределения. Поэтому, ин-

тенсивность потока составляет 0,18 проезжающих автомобилей в секунду, то есть примерно 11 автомобилей в минуту.

Ответ. Плотность случайной величины имеет вид (10), ее график изображен на рис. 4; функция распределения случайной величины имеет вид (11), ее график изображен на рис. 5; P = 0; 417; P = 0; 067; T = 5; 56 секунд;

интенсивность потока 0,18 проезжающих автомобилей в секунду.

5. Распределение Пуассона

Пример 5. Изучается интенсивность потока автомобилей, подъезжающих к заправке. Моделируется случайная величина количество автомобилей,

подъехавших к заправке в течение 2 минут. Можно считать, что Poi(1; 68).

11

Записать функцию распределения F (x) случайной величины при x 2 (1; 4; 5] и построить ее график.

Найти вероятность того, в течение 2 минут ни один автомобиль не подъедет к заправке.

Найти вероятность того, в течение 2 минут к заправке подъедет не более трех автомобилей.

Найти вероятность того, в течение 2 минут к заправке подъедет не менее двух автомобилей.

Что вероятнее: за 2 минуты к заправке подъедет 1 èëè 2 автомобиля?

Чему равно среднее количество автомобилей, подъехавших к заправке в течение 2 минут?

Решение.

Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром

( Poi( )), то есть она принимает значения 0; 1; 2; : : : с вероятностями

e k pk = P( = k) = k ! :

Тогда ее функция распределения F (x) есть кусочно-постоянная функция, равная нулю на промежутке (1; 0] и имеющая скачки в точках x = 0, x = 1,

x = 2, . . . , причем величины скачков совпадают с вероятностями, соответ-

ственно, p0, p1, p2, . . . . Рассчитаем вероятности p0, p1, p2, p3, p4 в нашем случае 2:

p0 = P( = 0) =

e 1;68 1; 680

=

e 1;68 1

= 0; 18637;

(12)

0!

1

p1 = P( = 1) =

e 1;68 1; 681

=

e 1;68 1; 68

= 0; 31311;

(13)

1!

1

p2

= P( = 2) =

e 1;68 1; 682

= 0; 26301;

(14)

2!

p3

= P( = 3) =

e 1;68 1; 683

= 0; 14729;

(15)

3!

p4

= P( = 4) =

e 1;68 1; 684

= 0; 06186:

(16)

4!

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

2Эти вероятности можно быстро рассчитать, воспользовавшись встроенной функцией

ПУАССОН.РАСП (поставить значение = 1; 68 в окне СРЕДНЕЕ и 0 в окне ИНТЕГРАЛЬНАЯ) в программе Microsoft O ce Excel или POISSON (поставить значение = 1; 68 в окне СРЕДНЕЕ и 0 в окне КУМУЛЯТИВНАЯ) в программе Open O ce Calc.

12

10 3).

F (x) (ïðè

Тогда

8

0

>

>

>

>

>0; 186

>

>

>

>

>

>0; 18637 + 0; 31311 = 0; 500

>

>

>

>

>0; 18637 + 0; 31311 + 0; 26301 = 0; 763

>

>

<

F (x) = 0; 18637 + 0; 31311 + 0; 26301+

>

>

>+0; 14729 = 0; 910

>

>

>

>

>

>0; 18637 + 0; 31311 + 0; 26301+

>

>

>

>

>+0; 14729 + 0; 06186 = 0; 972

>

>

>

>

:

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(окончательные значения3 округлены до

Íà ðèñ. 6 изображен график функции ный с помощью программы Open O ce Calc.

ïðè x < 0;

ïðè 0 6 x < 1;

ïðè 1 6 x < 2;

ïðè 2 6 x < 3;

(17)

ïðè 3 6 x < 4;

ïðè 4 6 x < 4; 5

x 2 (1; 4; 5]), построен-

Ðèñ. 6.

Вероятность того, в течение 2 минут ни один автомобиль не подъедет к заправке, есть P( = 0). Данная вероятность уже вычислена в формуле (12):

P( = 0) = 0; 187.

3На самом деле, значения функции F (x) можно найти, причем сразу, не вычисляя веро- ятности pi, воспользовавшись встроенной функцией ПУАССОН.РАСП (поставить значение= 1; 68 в окне СРЕДНЕЕ и 1 в окне ИНТЕГРАЛЬНАЯ) в программе Microsoft O ce Excel или POISSON (поставить значение = 1; 68 в окне СРЕДНЕЕ и 1 в окне КУМУЛЯТИВНАЯ) в программе Open O ce Calc.

13

Вероятность того, в течение 2 минут к заправке подъедет не более трех автомобилей, есть P(0 6 6 3). Данную вероятность можно рассчитать так:

P(0 6 6 3) = P( = 0) + P( = 1) + P( = 2) + P( = 3):

(18)

Вероятности в правой части формулы (18) уже были вычислены (см. формулы (12) (15)); подставляем найденные значения в (18), получим:

P(0 6 6 3) = 0; 18637 + 0; 31311 + 0; 26301 + 0; 14729 = 0; 91:

Вероятность того, в течение 2 минут к заправке подъедет не менее двух автомобилей, есть P( > 2). Данную вероятность можно рассчитать как сумму

P( = 2) + P( = 3) + P( = 4) + : : : :

Но проще перейти к дополнительной вероятности:

P(0 6 6 1) = P( = 0) + P( = 1) =

см. формулы (12) è (13)	0; 18637 + 0; 31311 = 0; 500:
=

Тогда

P( > 2) = 1 P(0 6 6 1) = 1 0; 5 = 0; 5:

Вероятности того, в течение 2 минут к заправке подъедет 1 автомобиль или 2 автомобиля, есть P( = 1) è P( = 2), соответственно. Эти вероятности уже были рассчитаны в (13) è (14):

P( = 1) = 0; 313; P( = 2) = 0; 263; P( = 1) > P( = 2):

Среднее количество автомобилей, подъехавших к заправке в течение некоторого времени, есть математическое ожидание M( ) случайной величины . Известно, что если Poi( ), òî M( ) = . В нашем случае M( ) = 1; 68, то есть в течение 2 минут к заправке в среднем подъезжает 1,68 автомобилей.

Ответ. Функция распределения случайной величины имеет вид (17), åå

график изображен на рис. 6; P(	= 0) = 0; 187;	P(0 6 6 3) = 0; 91;
P( > 2) = 0; 5; P( = 1) > P( = 2);	1,68 среднее количество автомобилей,
подъехавших к заправке в течение 2 минут.

14