4. Скорость точки при естественном способе задания её движения

При естественном способе задания движения радиус-вектор точки является сложной функцией:

rr	rr			t		(16)
		s

21

Чтобы найти скорость точки продифференцируем (16) по

времени:			dr			dr ds
	r
	v		dt	ds dt .					(17)
Модуль производной			dr	равен:
			ds
	dr		= lim			r		=1.	(18)
	ds		s 0			s

dr

Таким образом, производна является единичным вектором, который принято обозначать так: ds

dr	r
ds	.	(19)

22

	С учётом (19) вектор скорости точки равен:
			r	r ds	r
		ds	v	dt	= v,	(20)
	где		─ проекция вектора скорости на касательную к
		v
		dt
	траектории точки, рис. 9.

Рис. 9	23

5. Ускорение точки при векторном способе задания её движения

Величина, характеризующая изменение скорости точки называется ускорением.

Рассмотрим движение точки по траектории, рис. 10.

Рис. 10

Допустим, что в момент времени t1 точка занимает положение M1 и имеет скорость V1. В момент времени t2 точка

занимает положение М2 и имеет скорость V2.

24

Рис. 11 Перенесём вектор в точку М2.

В соответствии с правилом параллелограмма вектор скорости равен , рис. 12.

v2 v1 v.	(21)
	25

Отношение приращения скорости			к промежутку времени		t
			v
равно вектору среднего ускорения точки, который по
направлению совпадает с вектором v, рис.10.
r	v	.		(22)
aср	t

Ускорение точки в данный момент времени, равно пределу вектора среднего ускорения точки при стремлении промежутка времени t к нулю.

r	lim	v		dv	.	(22)
a		t		dt
	t 0

26

Рис. 13	Рис. 14
При стремлении t	к нулю точка M2 приближается к точке

M1, при этом вектор среднего ускорения по величине

приближается к величине мгновенного ускорения точки в данный момент времени и в пределе, поворачиваясь, располагается в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости

осей и n, рис. 14.

27

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй

производной от радиус-вектора точки по времени.
r	r	d	2 r
	dv		r
a	dt	dt2 .		(23)

28

6. Ускорение точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости точки при векторном способе задания движения точки равен:

v =ivx + jvy +kvz .

(24)

В соответствии с формулой (23)

r dvr

r

r

r

r dvx

r dvz

d ivx jvy kvz

r dvy

a dt

i dt

j

k

.

(25)

dt

dt

dt

Учитывая, что

dv

dvy

dv

x

ax ;

ay ;

z

az ;

dt

dt

dt

vx dx ;

vy dy

;

vz dz .

dt

dt

dt

29

Из (25) получим:	r dvx	r dvy				r dvz
r
a	i dt	j			k			;
			dt				dt
r	r d 2 x	r d 2 y				r d 2 z
a	i dt2	j dt2				k dt2 .			(26)

С другой стороны, вектор ускорения можно разложить по

координатным осям:
a iax jay kaz .	(27)

Сравнивая в формулах (26) (27) величины, стоящие при одинаковых единичных векторах, приходим к выводу: проекции ускорения точки на координатные оси x, y, z равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат.

ax

dv

x

d 2 x

; ay

dvy

d 2 y

; az

dv

z

d 2 z

.

(28)

dt2

dt

dt

2

dt2

dt

dt

30