Модуль ускорения точки равен корню квадратному из суммы квадратов проекций ускорения на координатные оси:

a = ax2 +ay2 +az2

(29)

Направление вектора ускорения определяется направляю- щими косинусами.

cosa1 =	a	x ; cosb1	=	ay	; cos g1	=	a	z	.	(30)
				a
	a						a

Из формул (30) определяются значения углов, которые составляет вектор ускорения с координатными осями x, y, z.

	æa	ö		æay		ö		æa	ö
	ç	÷		ç		÷		ç	÷
a	=arccosç x	;	b	=arccosç		;	g	=arccosç z	. (31)
1	èa	ø	1	èa		ø	1	èa	ø
				ç

31

7. Ускорение точки при естественном способе задания её движения

При естественном способе задания движения вектор

скорости точки равен:
v =tvt .	(32)

Здесь проекция скорости точки на касательную равна первой

производной от криволинейной координаты s этой точки по

времени:

vt

= ds = s&.

(33)

dt

Продифференцируем по времени равенство (32) и найдём

ускорение точки.

r

dv

d

r

r dv

dt

a

=

=

(tvt

) =t

+

v.

(34)

dt

dt

dt

dt

32

Здесь производная	dv
	равна проекции вектора ускорения точки
на касательную.	dt
	a = dv .		(35)
	t	dt

Учитывая, что единичный вектор является функцией дуговой
								t
координаты, которая			в		свою			очередь,	является		функцией
времени, производную								dt
					представим так:
								dt
r		d		r é		t	ù	r	r
			{	t	s		)û}
dt	=				ë(			= dt ds = dt		v.	(36)
					dt
dt								ds dt	ds

33

Модуль производной ddst равен:

dt		= lim		Dt		=	Dj	= 1	=k.	(37)
							rDj
ds		Ds®0		Ds				r

34

r		æ	ö	Dj
	=2	Dj				@Dj
Dt		×t ×sinç	@2××1
		ç	÷		2
		è 2	ø

dt		= lim		Dt		=	Dj	= 1	=k.
							rDj
ds		Ds®0		Ds				r	35

Вектор ddst направлен по нормали к центру кривизны. Таким образом производная (36) равна:

r	r
dt	= n v.	(37)
dt	r

Подставим производную (37) в равенство(34).

r	r dv	r v2
a	=t dt	+n r .	(38)

Как видим, ускорение точки равно сумме двух векторов. :

a a an .

(39)

Первый вектор направлен по касательной. Его проекция на касательную равна:

a = dv = d 2s .		(40)
t	dt dt2	36

Второй вектор направлен по нормали. Его проекция на нормаль равна:

an =	v2			.	(41)
		r
Модуль вектора ускорения равен
a = a2 +a			2 .		(42)
t		n
Угол отклонения вектора			ускорения от нормали Mn
определяется по формуле
tanm= at		,			(43)
a
n

аего значения могут быть в интервале

-p2 £ m£ p2.

37

КОНЕЦ

38