Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения

Середина класса	Эмпирическая Частота			Теоретические частоты
234	2	3,36	0,0344	1,373	2
198	4	2,85	0,0578	2,306	3
162	3	2,33	0,0973	3,882	4
126	9	1,81	0,1636	6,528	7
90	8	1,30	0,2725	10,873	11

Продолжение прил. 1

Середина класса	Эмпирическая Частота			Теоретические частоты
54	23	0,78	0,4584	18,290	19
18	28	0,26	0,7710	30,763	31
Всего	77			74,015	77

Рис. 4. Выравнивание статистического ряда по

экспоненциальному закону распределения

3. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений

Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.

Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле

(18)

где стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы[1];

эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.

Первичное и вторичноечисла степеней свободы определяют по следующим формулам:

где числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.

Крайние классы с частотой объединяют с соседними классами (минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы (принимается по табл. 6).

Т а б л и ц а 6

Число степеней свободы и минимально допустимая теоретическая частота

	1	2	3 6	> 6
	4	2	1	0,5

Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности .Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований; при обычной; при большой.

П р и м е р. Оценить различие распределений по данным примера для закона распределения Вейбулла. Схема определения различия распределений приведена в табл. 7.

Т а б л и ц а 7

Определение различий законов распределения

3214	2	0,98	1,02	1,04	1,060
2778	3	2,27	0,73	0,55	0,240
2342	4	4,78	0,78	0,66	0,125
1906	6	7,33	1,33	1,77	0,240
1470	7	9,87	2,87	8,24	0,834
1034	14	10,42	3,58	12,82	1,230
598	10	7,91	2,09	4,37	0,552
Всего	46	43,56			4,281

Число классов в распределениях до и после объединения равно

Число степеней свободы (первичное и вторичное)

По таблицам [1] находим стандартное значение критерия : 9,5; 13,3; 18,5 присоответственно 0,95; 0,99; 0,999.

Таким образом, при любой ответственности испытаний , то есть различия недостоверны. Можно считать, что эмпирическое распределение не противоречит распределению Вейбулла.

Если проверка дает отрицательный результат, необходимо принять другой вид теоретического закона и повторить процедуру проверки. Если проверки по всем приведенным в настоящих методических указаниях законам (нормальному, Вейбулла и экспоненциальному) не дали положительных результатов, следует на этом ограничиться и сделать заключение о том, что эмпирическое распределение не соответствует ни одному из предложенных теоретических законов.

После этого следует вычислить границы доверительного интервала для математического ожидания ресурса, поскольку его истинное значение заменяем его приближенным значением (средним арифметическим), полученным из опыта (наблюдения).