motau

там одной из треугольных матриц заранее дать отличные от нуля значения.

Искомые элементы треугольных матриц Т1								и R2 находим следующим
образом.
1.	Пусть A	T1 R2 , где
				r11	r12	r13
			R2	0	r22	r23 .
				0	0	r33
2.	Задаем	диагональные коэффициенты матрицы R2 , отличные от
нуля, например, r11			r22	r33	1.
3.	Перемножаем треугольные матрицы между собой:
			t11	0	0	1	r12	r13
		T1 T2	t21	t22	0	0	1 r23
			t31	t32	t33	0	0	1

t11		t11	r12		t11	r13
t21	t21	r12	t22	t21	r13	t22 r23	.
t31	t31	r12	t32	t31 r13	t32 r23 t33

4. Приравнивая соответствующие элементы матрицыпроизведения элементам матрицы А, получаем систему уравнений, из которой можно найти искомые коэффициенты треугольных матрицсомножителей:

t11	a11;	t11	r12	a12;		t11	r13	a13;
t21	a21;	t21	r12	t22	a22;	t21	r13	t22	r23	a23;	(1.9)
t31	a31;	t31	r12	t32	a32.	t31	r13	t32	r23	t33 a33;

Примечание. Если задавать диагональные элементы матрицы Т2 равными единице, то определитель матрицы А будет равен произведению диагональных элементов матрицы Т1.

31

Пример 1

Вычислить определитель по формуле:

a11	a12	a13	1	2	3
det A a21	a22	a23	4	5	6 .
a31	a32	a33	7	8	9

			Решение
1.		Подсчитываем возможные	инверсии индексов столбцов всех
членов определителя (табл.1.1).
	Таблица 1.1 – Расчет числа инверсий в перестановках определителя
		Возможные перестанов-			Число инверсий (t)
		ки индексов столбцов
		[1, 2, 3]			0
		[2, 3, 1]			2
		[3, 1, 2]			2
		[3, 2, 1]			3
		[1, 3, 2]			1
		[2, 1, 3]			1

2.Для определителя третьего порядка записываем формулу расчета (1.5) в развернутом виде:

det A	(	1)0	a	a	a	(	1)2	a	a	a		(	1)2	a	a	a
			1,1	2,2	3,3			1,2	2,3	3,1				1,3	2,1	3,2
(	1)3	a1,3	a2,2	a3,1	(	1)1	a1,1	a2,3	a3,2	(	1)1		a1,2	a2,1	a3,3.

3. Подставляем числовые выражения и вычисляем определитель:

det A=1. 5.9+2.6.7+3.4.8-3.5.7-1.6.8-2.4.9=0.

32

Пример 2

Вычислить определитель методом разложения его по элементам строки (столбца):

5 7 6 det B 3 4 1 .

2 9 8

Решение

1.Выбираем строку (столбец) разложения. В нашем примере производим разложение определителя по элементам первой строки.

2.Записываем разложение определителя по формуле (1.6) и производим расчет:

det B ( 1)1 1 5	4	1	( 1)1 2 7	3	1	( 1)1 3 6	3	4	75 .
	9	8		2	8		2	9

Пример 3

Вычислить определитель методом единственного деления:

2 18 14 det C 10 4 16 .

8 6 3

Решение

1.В качестве ведущего элемента выбираем первый элемент первой строки а11=2;

2.Выносим его за знак определителя, производя деление элементов

первой строки на а11: 3.

1 9 7 det C 2 10 4 16 .

8 6 3

33

4. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на первый элемент второй строки (а21=10):

	1	9	7		1	9	7
det C 1	10 10	4 90 16	70	1	0	86	54	.
	8	6	3		8	6	3

5. Из третьей строки вычитаем первую, умноженную на первый элемент третьей строки (а31=8):

		1.		9		7		1	9	7
det C 1		0		86		54	1	0	86	54	.
	8	8	6	72	3	56		0	66	53

6.Разлагаем определитель по элементам первого столбца:

det C 1 1	86	54	.
	66	53

Если бы определитель был более высокого порядка, мы бы взяли в качестве ведущего элемента а11= – 86 и повторили расчет, начиная с пункта 2 . В нашем случае мы просто вычислим определитель и получим окончательный результат:

det C 1 ( 86) ( 53) ( 66) ( 54) 944 .

Пример 4

Вычислить определитель Вандермонда по рекуррентному соотношению:

	1	a1	a12			5	25
					1
det V	1	a	a2		1	2	4	.
		2	2
	1	a3	a32		1	3	9

34

Решение

Для определителя третьего порядка записываем рекуррентную формулу (1.7) и получаем результат:

det V a2 a1 a3 a1 a3 a2

2 5 3 5 3 2 6 .

Пример 5

Вычислить определитель:

								1	3	3
					det A			5	1	3	.
								5	5	1
						Решение
Учитывая, что x		3	и y		5, используем рекуррентную формулу
(1.8):
	(1	3)	(1		3)2	5	(1		5)2	3				(1	5)2	3	76 .
3						5	3
						Пример 6
Вычислить определитель методом разложения исходной матрицы
на две треугольные:
									2	3
							1
					det A		3		2	4			.
							2		1	1

Решение

1.Введем обозначения: A T1 R2 ,

35

t11

0

0

r11

r12

r13

где:

T1

t21

t22

0

;

R2

0

r22

r23 .

t31

t32

t33

0

0

r33

2.

Задаем

диагональные

коэффициенты

матрицы

R2

равные

единице:

r11

r22

r33

1.

3.

Для

нахождения

коэффициентов

матриц

используем

систему

уравнений (1.9):

t11

a11;

t11

r12

a12;

t11

r13

a13;

t21

a21;

t21

r12

t22

a22;

t21

r13

t22

r23

a23;

t31

a31;

t31 r12

t32

a32;

t31

r13

t32 r23

t33

a33;

4.Решаем систему алгебраических уравнений методом подстановки:

t11	1;	t11	r12	2;		t11	r13	2;
t21	3;	t21	r12	t22	2;	t21	r13	t22	r23	4;
t31	2;	t31	r12	t32	1;	t31	r13	t32	r23	t33 1;

5.Таким образом, имеем:

1	0	0		1	2	3
T1 3	4	0	; R2	0	1	1.25 .
2	5	0.75		0	0	1

6.Вычисляем определители от каждой треугольной матрицы:

det T1	1 ( 4)	0.75	3;
det R2	1 1 1	1;

7.Вычисляем искомый определитель:

det A detT1 det R2 3 1 3.

36

Задания практического занятия № 3. Часть 1.

Произвести вычисления определителей следующими методами:

1.По выражению (1.5).

2.Разложением определителя по элементам строки или столбца.

3.Приведением определителя к треугольному виду.

4.Методом единственного деления.

	№							Задания
	вариан-
			1				2					3				4
	та
		8	9	9	1	8	9	8	1		1	1	1	1	9	4	5
					3	0	5	9	5		4	3	2	8	8	0	4
	1.	9	8	9
					1	1	2	9	8		9	1	3	1	1	2	2
		7	4	3
					1	9	8	7	4		5	7	8	3	5	7	4
		5	6	5	5	8	1	2		4	2	6	8	3	3	8	9
					9	8	2	1		5	4	1	1	5	1	1	4
		8	4	2
					7	5	4	3		3	6	9	12	5	9	3	2
		1	8	6
					1	1	2	3		8	5	3	3	4	3	1	1
		8	2	7	1	3	1	5		1	9	4	5	1	8	9	8
					4	3	8	6		8	8	0	4	3	0	5	4
	3.	8	7	1
					1	1	3	7		1	1	2	2	1	1	2	9
		9	1	9
					4	5	6	7		3	5	7	4	1	9	8	7
		7	4	4	3	3	9	6		1	1	2	3	3	5	7	9
					5	4	3	1		4	5	6	7	2	8	4	2
	4.	6	9	3
					0	4	3	2		8	9	0	1	1	5	3	7
		4	5	7
					0	5	3	1		3	5	6	7	8	2	2	4
		5	4	3	1	2	5	7		9	8	7	0	8	9	9	1
					3	4	8	9		1	3	5	4	9	8	9	8
	5.	0	4	8
					4	2	6	8		8	1	3	5	7	4	3	3
		3	0	9
					9	1	7	5		1	1	4	2	2	1	4	5

37

Варианты практического занятия № 3. Часть 1 (продолжение)

	№ вари-							Задания
	анта		1				2				3				4
		9	8	7	1	1	2	3	5	8	1	2	5	6	5	1
					9	8	7	0	9	8	2	1	8	4	2	2
	6.	1	3	5
					3	5	7	1	7	5	4	3	1	8	6	3
		8	1	3
					4	8	2	2	1	1	2	3	9	8	7	6
		1	1	2	3	5	7	9	1	1	1	1	8	2	7	7
					2	8	4	2	5	4	3	2	8	7	1	8
	7.	4	5	6
					1	5	3	7	8	9	1	3	9	1	9	8
		8	9	0
					8	2	2	4	4	5	7	8	8	7	4	8
		1	9	2	1	8	9	8	1	3	1	5	7	4	4	9
					3	0	5	4	4	3	8	6	6	9	3	2
	8.	8	5	6
					1	1	2	9	1	1	3	7	4	5	7	6
		1	9	0
					1	9	8	7	4	5	6	7	7	3	1	0
		3	3	9	8	9	9	1	1	3	1	5	5	4	3	1
					9	8	9	8	4	3	8	6	0	4	8	2
	9.	5	1	1
					7	4	3	3	1	1	3	7	3	0	9	1
		6	9	4
					2	1	4	5	4	5	6	7	1	2	3	5
		4	2	9	5	6	5	0	1	2	5	7	9	8	7	0
					8	4	0	2	3	4	8	9	1	3	5	4
	10.	5	4	1
					1	8	1	6	4	3	6	8	8	1	3	5
		3	9	8
					7	1	0	3	9	1	7	5	1	1	4	2
		1	8	9	8	2	7	7	5	4	3	1	1	1	2	3
					8	7	1	8	0	4	8	2	4	5	6	7
	11.	3	0	1
					9	1	9	8	3	0	9	1	8	9	0	1
		3	1	8
					8	7	4	8	1	2	3	5	3	5	6	7

38

Варианты практического занятия № 3. Часть 1 (продолжение)

	№ вари-							Задания
	анта		1				2				3				4
		5	8	9	7	4	4	9	8	2	7	7	1	9	4	5
					6	9	3	2	8	7	1	8	8	8	0	4
	12.	2	3	8
					4	5	7	6	9	1	9	8	1	1	2	2
		1	5	8
					7	3	1	0	8	7	4	8	3	5	7	4
		5	1	4	5	4	3	1	5	6	5	1	3	3	8	9
					0	4	8	2	8	4	2	2	5	1	1	4
	13.	9	1	8
					3	0	9	1	1	3	4	1	5	9	3	2
		3	6	8
					1	2	3	5	0	1	8	6	4	3	1	1
		1	2	4	9	8	7	0	8	9	9	1	4	2	6	8
					1	3	5	4	9	8	9	8	5	4	1	1
	14.	3	1	8
					8	1	3	5	7	4	3	3	3	6	9	12
		5	7	8
					1	1	4	2	2	1	4	5	8	5	3	3
		4	2	3	1	1	2	3	8	2	7	7	1	8	9	8
					4	5	6	7	8	7	1	8	3	0	5	4
	15.	5	1	3
					8	9	0	1	9	1	9	8	1	1	2	9
		0	4	8
					3	5	6	7	8	7	4	8	1	9	8	7
		4	3	1	1	9	4	5	7	4	4	9	3	5	7	9
					8	8	0	4	6	9	3	2	2	8	4	2
	16.	5	7	3
					1	1	2	2	4	5	7	6	1	5	3	7
		7	4	8
					3	5	7	4	7	3	1	0	8	2	2	4
		1	3	1	3	3	8	9	5	4	3	1	1	1	2	3
					5	1	1	4	0	4	8	2	9	8	7	0
	17.	5	4	3
					5	9	3	2	3	0	9	1	3	5	7	1
		9	4	8
					4	3	1	1	1	2	3	5	4	8	2	2

39

Варианты практического занятия № 3. Часть 1 (продолжение)

	№ вари-							Задания
	анта		1				2				3				4
		5	3	1	4	2	6	8	9	8	7	0	8	9	9	1
					5	4	1	1	1	3	5	4	9	8	9	8
	18.	9	4	5
					3	6	9	12	8	1	3	5	7	4	3	3
		7	4	8
					8	5	3	3	1	1	4	2	2	1	4	5
		8	3	9	1	8	9	8	1	1	2	3	1	2	5	7
					3	0	5	4	4	5	6	7	3	4	8	9
	19.	9	4	7
					1	1	2	9	8	9	0	1	4	2	6	8
		3	4	8
					1	9	8	7	3	5	6	7	9	1	7	5
		5	3	7	8	9	9	1	1	2	5	7	3	3	8	9
					9	8	9	8	3	4	8	9	5	1	1	4
	20	9	8	9
					7	4	3	3	4	3	6	8	5	9	3	2
		3	4	8
					2	1	4	5	9	1	7	5	4	3	1	1

Задания практического занятия № 3. Часть 2.

Произвести вычисления определителей следующими методами:

5.По первому рекуррентному соотношению (1.7).

6.По второму рекуррентному соотношению (1.8).

7.Разложением исходной матрицы на две треугольные.

	№ вари-						Задания
	анта			5				6			7
		1	3	9	27	1	7	7	7	2	3	1
		1	2	4	8	2	1	7	7
	1.									6	1	3
		1	9	81	729	2	2	1	7
										5	7	3
		1	5	25	125	2	2	2	1

40