motau

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профес-

сионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

М.Д. Кац

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Издательство Томского политехнического университета

2010

УДК 66.012–52:51 (075.8)

ББК 32.965в6я73 А 65

Кац М.Д.

А 65 Математические основы теории управления: учебное пособие для практической и самостоятельной работы / М.Д. Кац. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. –

107с.

Вучебном пособии приведены основные положения методов линейной алгебры и теории идентификации систем, их применение для решения задач управления. Приведены примеры решения задач, варианты заданий для практической и самостоятельной работы.

Пособие подготовлено на кафедре автоматизации теплоэнергетических процессов теплоэнергетического факультета ТПУ и предназначено для студентов специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств (энергетика).

УДК 66.012–52:51 (075.8)

ББК 32.965в6я73

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Рецензенты

Доктор технических наук, профессор ТГУ

Ю.И. Параев

Доктор технических наук, профессор С.В. Шидловский

©Кац М.Д., 2010

©Томский политехнический университет, 2010

©Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………

4

1.Основы методов линейной алгебры и их применение для

	решения задач управления………………………………..	3
1.1.	Действия над матрицами………………………………….	4
1.2.	Матричные операции …………………………………….	14
1.3.	Методы вычисления определителей ……………………	28
1.4.	Матричные вычисления…………………………………..	44
2.	Дифференциальные уравнения звеньев и систем………	72

2.1.Решение линейных однородных систем дифференци-

альных уравнений………………………………………...

74

2.2.Решение линейных неоднородных систем дифференци-

альных уравнений………………………………………….	86
3. Управляемость и наблюдаемость линейных систем……	95
Список литературы………………………………………………..	106

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для выработки студентами навыков применения математического аппарата в теории автоматического управления. Пособие состоит из трех разделов.

В первом разделе приведены основы методов линейной алгебры и их применение для решения задач управления (определение устойчивости линейных систем автоматического управления, нахождение экстремумов функционалов оптимальных систем).

Во втором разделе рассматриваются методы решения дифференциальных уравнений звеньев и систем.

Третий раздел пособия посвящен основам теории идентификации систем управления.

В пособии приведены необходимые справочные материалы к каждому занятию, прилагаются варианты заданий на работу. Ссылки на формулы, таблицы, графики даны в пределах каждого раздела.

Выполнение практических заданий предполагает широкое использование средств вычислительной техники от инженерных микрокалькуляторов до персональных компьютеров.

Учебное пособие может быть полезным не только студентам специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств (энергетика), но и всем изучающим применение математического аппарата к решению прикладных задач теории автоматического управления.

1. ОСНОВЫ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Практическое занятие №1

Основные положения

Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Такая таблица, состоящая из m строк и n столбцов, называется m n матрицей. Числа или любые объекты, расположенные в клетках матрицы, называются ее элементами. Величины m и n называются порядками матрицы.

Две матрицы, имеющие одинаковое число m строк и одинаковое число n столбцов, называются матрицами одинакового размера.

4

Различают следующие типы матриц: прямоугольная, квадратная, столбец, строка, диагональная (у которой отличны от нуля элементы главной диагонали), верхняя треугольная (ненулевые элементы расположены на главной диагонали и над ней), нижняя треугольная (ненулевые элементы расположены на главной диагонали и под ней), единичная (диагональная матрица с единицами по главной диагонали).

Рассмотрим операции над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) матриц A и B одинакового типа называется матрица C того же типа, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц A и B.

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число называется матрица C того же типа, что и A, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число . Возможно сделать и обратную операцию: упростить элементы матрицы вынесением за матрицу общего множителя.

3. Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы A размера (m1 n1) на матрицу B размера

(m2 n2)называется матрица C размера (m1				n2) , элементы которой оп-
ределяются по формуле:
	n1		, ( i=1,2....m1;	j=1,2...n2).
C	a	b			(1.1)
i, j	k 1 i,k	k, j

Умножение матриц возможно в случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

4. Операция транспонирования матрицы.

Операция транспонирования заключается в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров.

Пример 1

Из элементов (a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, 8a, 9a) составить:

a)квадратную матрицу и произвести ее упрощение вынесением общего множителя;

b)нижнюю треугольную матрицу размера (3 3) из любых элемен-

тов списка.

5

Решение

Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов. Поэтому производим заполнение матрицы D исходными элементами:

a 2a 3a D 4a 5a 6a .

7a 8a 9a

Матрицу D можно упростить вынесением общего множителя (а) за знак матрицы:

1 2 3 D a 4 5 6 .

7 8 9

Составляем нижнюю треугольную матрицу. Заполняем главную диагональ и ниже ее элементами списка; вверху от главной диагонали ставим нули:

a	0	0
F 4a	2a	0 .
5a	6a	3a

Пример 2

Выполнить действия:

	1	3	5		5	8	4
6	9	4	0	2	6	3	3 .
	6	5	1		8	9	2

6

Решение

Приоритетность операций над матрицами остается такой же, как и с числами: сначала умножение матриц на соответствующие числа, затем вычитание результирующих матриц.

Производим следующие действия:

1) умножаем число на первую матрицу:

	1	3	5	6	18	30
6	9	4	0	54	24	0	;
	6	5	1	36	30	6

2) умножаем число на вторую матрицу:

	5	8	4	10	16	8
2	6	3	3	12	6	6	;
	8	9	2	16	18	4

3) производим операцию вычитания матриц:

6	18	30	10	16	8	16	2	22
54	24	0	12	6	6	42	18	6 .
36	30	6	16	18	4	20	12	2

Пример 3

Найти произведение матриц по формуле умножения:

2	3	1	2	1 .
5	1	3	4	2

Решение

1)Проверяем возможность умножения матриц; первая матрица имеет размерность (2 2) , а вторая (2 3) . Число столбцов

первой матрицы равно числу строк второй, следовательно, умножение матриц возможно.

7

2) Согласно (1.1), имеем:

2

C	a	b	, ( i=1,2; j=1,2, 3),	(1.2)
i, j	k 1 i,k	k, j

где ci, j -элементы результирующей матрицы С.

3) запишем выражение (2) в развернутом виде и произведем расчет элементов матрицы C:

2
c11	a1k	bk1	a11	b11	a12	b21	2 1 3 3 11;
k	1
2
c12	a1k	bk 2	a11	b12	a12	b22	2 2 3 4 16 ;
k	1
2
c13	a1k	bk3	a11	b13	a12	b23	2 1 3 2 8;
k	1
2
c21	a2k	bk1	a21 b11		a22	b21	5 1 1 3 8 ;
k	1
	2
c22	a2k	bk 2	a21 b12		a22	b22	5 2 1 4 14 ;
k	1
	2
c23	a2k	bk3	a21 b13		a22 b23		5 1 1 2 7 .

k1

4)Окончательно получим:

C	11	16	8 .
	8	14	7

8

Задания практического занятия № 1

1.Из предложенных элементов составить матрицы: квадратную, столбец, строку, верхнюю треугольную, нижнюю треугольную.

2.Вычислить элементы результирующей матрицы.

3.Произвести умножение двух матриц по формуле (1.1).

4.Вынести общий множитель за знак матрицы.

	№ ва-								Задания
	рианта	1					2							3				4
				4	1	5		1		8	4				9	a	3a	5a	6a
																4b	5c	7d	8e
	1	(9; 8; 7; 6; 5; 4;	2	8	3	9	3	1		2	3	4	5	6	8
		3; 2; 1)														3	8	7	4
				0	1	3		8		7	9				7
																3k	2k	2k	k
			1	3	4			1		8	9					18	4	22	28
9												1	3	8	4	38	2	4	56
		(a; b; c; d; e; f; g;
	2		5	8	7	: 4	5	4		0	5
		i; k)										7	9	3	0	78	34	6	8
			9	2	6			8		8	4
																10	30	42	88
																a	4a	8a	4a
				1	3	8		0	2	5		3 2		3 4		10d 2d 14d 2d
		(1; 1; 1; 1; 1; 1;
	3		6 9 4 5					9 3 2				5 4		2 5		c 6d 4a 3a
		1; 1; 1)
				1 8 7				0 4 7
																6d	fa	at	ca

Варианты практического занятия №1 (продолжение)

	№ ва-							Задания
	рианта	1					2						3			4
			8	10		5		1	3	8	2		4	9	18	38	6	12
		(i; 2i; 3i; 4i; 5i;	16	8		4	5	9	4	5					4	2	7	14
	4										3		6	6
		6i; 7i; 8i; 9i)	1	3		2		3	4	0					22	4	5	10
															28	16	9	2
			4		3	4		3	4	8					9	12	3	6
											a	b	e	f
		(2; 4; 6; 8; 10;	2	1		3		3	1	0					0	3	9	15
	5
											c	d	g	k
		12; 14; 16; 18)	0		5	6		5	4	4					18	9	3	0
10															21	3	9	3
															9a	3	6	12
		(sin(x); sin(2x);	1	3	8		6	4	0		3	5	x	y	14	6b	9ab 15
		sin(3x); sin(4x);
	6		4 4 5				3 8 8 : 4
															12b 15 3a 6b
		sin(5x); sin(6x);									8	9	z	k
			1	3	4		5	3	3
		sin(7x);													9	3	0	6
				7	5	8	9	5	4						2	4	6	8
											1	4	3	5
		(-1; -2; -3; -4; -5;	2 4 3 1				8 8 6			4					10	11	14	16
	7
											8	6	0	4
		-6; -7; -8; -9)		2	2	5	1	2	3						18	23	24	20
															8	8	4	4