10) Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные полиномы.

Интерполяция – частный случай аппроксимации. Решение задачи интерполирования заключается в:

1)построении интерполирующей ф-ции

2)вычислении значений таблично заданной ф-ции с пом. интерполирующей ф-ции в точках, отличных от узлов интерполяции. При этом если аргумент лежит вне отрезка наблюдения, то это экстраполяция.

Пусть дана f(х), у_i = f(х_i), i=0..n. Найдем ф-ю φ(х). Критерии: φ(х_i)=у_i – интерполяционная.

Выберем полином степени не выше n. И покажем, что в такой постановке задача им. единств реш-е. P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...a_nxⁿ

P_n(x)= у_i i=0..n

a₀ + a1x0 + a2x02 + ... a_nx₀ⁿ = y₀

a₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + ... a_nx₁ⁿ = y₁

. . . . .. . . . . . . . . . .

a₀ + a₁x_n + a₂x_n² + ... a_nx_nⁿ = y_n

x_i ≠ x_j (попарно различны) при i≠j Определитель Вандермонда.

Система имеет единст решение, след-но, задача может иметь единст решение. Задача интерполяции свелась к решению системы ур-ий. Интерполяцию используют, когда известно, что погрешности очень малы и ф-я f принадл. классу полиномов степени ≤ n.

Интерполяционный полином Лагранжа.

L_n (x) = , гдеP_i(x) – вспомогат полиномы степени не выше n, уд условию

P_i(x_j)= 0, i≠j

1, i=j (1)

Покажем, что удовл-ет критерию интерполяции.

Расс-рим L_n(x_j) = . В соответствии со св-вом (1), все полиномы, кроме с индексомj, равны 0.

P_i(x) =

P₀(x) = (x – x₁) ... (x – x_n)

P₁(x) = (x – x₀) (x – x₂) ... (x – x_n)

P₁(x_j)=0.

Коэфф-т определим из 2ой части усл-я (1). P_i(x_i)=1.

=1 

А_i =

P_i(x) =  L_n(x)=

Погрешность интерполяц. полиномов R(x) = *

Для интерполирования в начале отрезка применяется 1я интерп ф-ла Ньютона.

P1_n(x) = y₀+ ,

x € [x_0, x₁]

Когда агрумент нах-ся в конце отрезка инт-ции, применять 1ю ф-лу невыгодно. Тогда используется 2я интерп ф-ла, подкулючающая узлы в обратн порядке от последнего к первому.

P2_n(x) = y_n+ , x € [x_n-1, x_n]

11) Численное интегрирование. Квадратурные формулы.

Нужно вычислить f(x)dx. Есть интегралы, к-ые нельзя вычислить за конечное число шагов. Во многих случаях достаточно вычислить приблизительно.

Идея:

1) замена непрерывного мн-ва значений отрезка интегрирования дискретным мн-вом

f(x)dxS_i

2) упрощаем подынтегральную ф-ию так, чтобы легко вычислить элементарную ф-ую S_i. В результате получаем формулу, к-ая сводит задачу интегрирования к суммированию.

- формула Ньютона - Котеса, где

Метод трапеций.

Исп-ся полином Лагранжа 1 степени.

n=1. два узла интерполяции совпадают с границей интегрирования.

Н₀=1/2

Н₁=1/2

- формула трапеции

Ошибка метода: E<(h²/12)(b-a)M

M=f(), [a,b]

Суть метода: интервал [a,b] разбивают на мн-во подынтервалов и в каждом вычисляют свой интеграл, потом суммируют.

Метод Симсона (парабол)

n=2-кол-во разбиений.

Коэф-ты Котеса:

H₀=1/6

H₁=2/3

H₂=1/6

- формула Симсона

ошибка метода: ,h=x1-x0

Метод Монте-Карло

При вычислении многократных интегралов, рассм-мая методика приводит к большим вычислительным затратам.

Суть метода: интеграл вычисляется: I=y_ср, y_ср- среднее значение функции в многомерной области интегрирования. Нек-ый многомерный объем области интегрирования.

Для опр-ния у_ср случайным образом задаются тоже многомерные абсциссы в области интегрирования, тогда для этих абсцисс и ординат получаем:

у_ср=1/nM_i

n- кол-во случайных опытов

M_i- ордината в многомерном пространстве

f(x)- ф-ия; x_i=a+(b-a)RND(1)- получаем случайные абсциссы, для них вычисляем y_i:

y_ср=1/nf(x_i):

f(x)dx(b-a)y_cр

Чем больше величина n, тем точнее.