Методика вычислений инструментальных погрешностей прямых (непосредственных) измерений

Прямыми называются измерения, при которых результат измерения получается путем непосредственногосравнения измерения величины с эталоном или его эквивалентом, принятым за единицу измерения.X=n·[x],

где n– число, целое или дробное,

[x]– единица измерения.

Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины называется абсолютной погрешностью∆X; численно она равна разности между результатом измеренияХ и истинным значениемХ₀измеряемой величины:

∆Х = Х - Х₀. (1)

Если абсолютная погрешность по модулю не превышает некоторого положительного числа ∆X_м, то это число называется максимальной абсолютной погрешностью:

|Х – Х₀| = |∆Х |≤ ∆X_м . (2)

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

. (3)

Аналогично максимальная относительная погрешность равна отношению максимальной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

. (4)

Точность измерительных инструментов, приборов принято оценивать величиной приведенной погрешности, равной отношению максимальной абсолютной погрешности к верхнему пределу измерения для данного прибора (к пределу шкалыX_м):

. (5)

Приведенная погрешность, выраженная в процентах, называется классом точности прибора. Всего ГОСТом установлено восемь классов точности для измерения электрических величин: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности проставляется по шкале прибора. По известному классу точности можно найти максимальную абсолютную погрешность отдельного измерения:

. (6)

Например, вольтметр с классом точности 1,0 и шкалой до 30 В измеряет приложенное к нему напряжение с максимальной абсолютной погрешностью:

.

Это означает, что если результат измерения, например, 15,2 В, то истинное значение отличается от 15,2 В не больше, чем на 0,3 В, т.е.

или в другой записи .

Если на приборе не указан класс точности, то его максимальная абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления шкалы. В некоторых случаях, например, при измерении времени секундомером, за величину максимальной абсолютной погрешности принимается целое деление (например, 0,02 с). В приборах с выдачей результатов измерения непосредственно на цифровом индикаторе за максимальную погрешность часто принимается единица младшего разряда.

В общем случае результаты прямых измерений содержат систематические, случайные и грубые погрешности. Систематические погрешности могут быть устранены либо в процессе измерения, либо учтены введением поправок в результаты. Поэтому условимся считать, что результаты прямых измерений содержат только случайные и грубые погрешности.

Методика оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений

Измерения называются равноточными, если они проведены одинаковыми по точности методами, или одним и тем же методом в одинаковых условиях. В результатеn измерений некоторой физической величиныx, истинное значение которойX₀ = m_x(если нет систематических погрешностей) неизвестно, из-за наличия случайных погрешностей получается ряд численных значенийx₁;x₂, … ,x_n, которые в общем случае отличаются друг от друга и отX₀.

При обработке результатов этих измерений возникают две задачи:

1. Нахождение по результатам отдельных измерений наилучшей оценки истинного значения, т.е. значения, наиболее близкого к истинному;

2. Определение погрешности полученной оценки.

Для большого числа практических случаев, когда грубые погрешности (промахи) встречаются редко, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое отдельных результатов измерения:

. (7)

Отдельные результаты измерений являются случайными величинами, поскольку содержат случайные погрешности ∆Х_i:

∆х_i = х_i - х₀.

Среднее арифметическое также является случайной величиной, как функция случайных величин. Поэтому абсолютная погрешность среднего арифметического, равная:

(8)

также будет случайной.

Это говорит о том, что истинное значение абсолютной погрешности найти невозможно, можно лишь тем или иным способомприближенно оценить ее значение. Например, можно считать, что с определенной вероятностью значение абсолютной погрешности по абсолютной величине будет меньше некоторой заданной величины, т.е.

. (9)

Отсюда следует, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью накрывается интервалом, т.е.

. (10)

Интервал называется доверительным, а вероятность- доверительной вероятностью. Очевидно, чем больше- ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью доверительный интервал заключает в себеХ₀.

Таким образом, для характеристики случайной погрешности необходимо знать два числа, а именно – величину оценки абсолютной погрешности , которую часто называют просто абсолютной погрешностью, и величину доверительной вероятности.

В качестве ширины доверительного интервала можно взять - среднеквадратичную погрешность. Для отдельного измерения она равна:

. (11)

Среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание и соответственно его среднеквадратичная погрешность будет меньше в раз.

. (12)

В физических, биологических, медицинских, физиологических и др. измерениях обычно пользуются значениями доверительной вероятности = 0,9;= 0,95;=0,99. При заданной доверительной вероятности ширину доверительного интервала (оценка погрешности) удобно находить в виде долей, т.е.:

, (13)

где - коэффициент, зависящий от величины доверительный вероятностии от объема выборкиn. Принаходится по таблице Стьюдента, приn>30 он очень мало отличается от таблицы нормального распределения и в этом случаеможет быть найден по той же таблице приn= ∞.

Если взять величину абсолютной погрешности , то вероятность того, что доверительный интервалсодержитХ₀будет равна= 0,997. Это очень большая вероятность и поэтому говорят, что с практической уверенностью можно утверждать, что отклонениеотХ₀больше чем наневозможно. Это правило известно под названием “правила трех сигм”.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью для оценки случайной погрешности пользуются и среднеарифметической погрешностьюr, вычисленной по формуле:

. (14)

Все приведенные выше результаты теории случайных погрешностей применимы для характеристики точности измерения лишь в случае, если измерение многократно повторено.

Последовательность действий при оценке истинного значения измеряемой величины и оценки случайной погрешности следующая:

1. находится среднее арифметическое по результатам измерений:

, (15)

2. находится среднеквадратическая погрешность отдельного результата измерения:

, (16)

3. находится максимальная абсолютная погрешность отдельного измерения:

, (17)

4. проверяется, все ли результаты измерений укладываются в интервал , если да, то переходим к следующему пункту, если нет, то такое значение отбрасыватся (тем самым мы избавляемся от промахов) и вычисления следует начать сначала.

5. находится среднеквадратическая погрешность среднего арифметического:

(18)

6. находится из таблицы коэффициент по заданнымипи определяется оценка абсолютной погрешности:

(19)