11.5. Задачи
Доказать, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:
1. |
, . |
2. |
, . |
3. |
, . |
4. |
, . |
5. |
, . | ||
6. |
, . |
7. Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие соотношения:
1) ; 2).
8. Зная общее решение дифференциального уравнения, найти и построить его интегральные кривые, проходящие через точки,,.
Составить дифференциальные уравнения семейства линий:
9. |
. |
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
16. |
. |
17. |
. |
Решить уравнения с разделяющимися переменными:
18. |
. |
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
25. |
. |
Решить задачу Коши для уравнений с разделяющимися переменными:
26. |
, . |
27. |
, . |
28. |
, . |
29. |
, . |
30. |
, . |
31. |
, . |
32. |
, . |
33. |
, . |
Решить однородные дифференциальные уравнения:
34. |
. |
35. |
. |
36. |
. |
37. |
. |
38. |
. |
39. |
. |
40. |
. |
41. |
. |
Решить задачу Коши для однородных дифференциальных уравнений:
42. |
, . |
|
|
43. |
, . | ||
44. |
, . |
Решить линейные уравнения:
45. |
. |
46. |
. |
47. |
, . |
48. |
. |
49. |
, . |
50. |
. |
Решить уравнения Бернулли:
51. |
. |
52. |
. |
53. |
, . |
54. |
. |
Решить уравнения в полных дифференциалах:
55. |
. |
56. |
. |
57. |
. |
| |
58. |
. |
|
Решить уравнения, имеющие интегрирующий множитель, зависящий только от или только от:
59. |
. |
60. |
. |
Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:
61. |
. |
62. |
. |
63. |
. |
64. |
. |
65. |
. |
66. |
. |
67. |
. |
68. |
. |
69. |
, ,. |
70. |
. |
Решить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
71. |
. |
72. |
. |
73. |
. |
74. |
. |
75. |
. |
76. |
. |
77. |
. |
78. |
. |
79. |
. |
80. |
. |
81. |
. |
82. |
. |
Решить неоднородные уравнения:
83. |
. |
84. |
. |
85. |
. |
86. |
. |
87. |
. |
88. |
. |
89. |
. |
90. |
. |
91. |
. |
92. |
, ,. |
Методом исключения неизвестных решить системы уравнений:
93. |
94. |
Решить системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
95. |
96. |
97. | |||
98. |
99. |
|
| ||
100. |
|
|
Методом вариации постоянных решить неоднородные системы уравнений:
101. |
102. |
Задание 11.1. Найти решение дифференциального уравнения:
1. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
2. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
3. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
4. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
5. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
6. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
7. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
8. |
а) |
, . |
|
б) | |
9. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
10. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
11. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
12. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
13. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
14. |
а) |
, . |
|
б) | |
15. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
16. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
17. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
18. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
19. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
20. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
21. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
22. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
23. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
24. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
25 |
а) |
, . |
|
б) |
. |
Задание 11.2. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. |
а) |
. |
|
б) |
. |
2. |
а) |
. |
|
б) |
. |
3. |
а) |
. |
|
б) |
. |
4. |
а) |
. |
|
б) |
. |
5. |
а) |
. |
|
б) |
. |
6. |
а) |
. |
|
б) |
. |
7. |
а) |
. |
|
б) |
. |
8. |
а) |
. |
|
б) |
. |
9. |
а) |
. |
|
б) |
. |
10. |
а) |
. |
|
б) |
. |
11. |
а) |
. |
|
б) |
. |
12. |
а) |
. |
|
б) |
. |
13. |
а) |
. |
|
б) |
. |
14. |
а) |
. |
|
б) |
. |
15. |
а) |
. |
|
б) |
. |
16. |
а) |
. |
|
б) |
. |
17. |
а) |
. |
|
б) |
. |
18. |
а) |
. |
|
б) |
. |
19. |
а) |
. |
|
б) |
. |
20. |
а) |
. |
|
б) |
. |
21. |
а) |
. |
|
б) |
. |
22. |
а) |
. |
|
б) |
. |
23. |
а) |
. |
|
б) |
. |
24. |
а) |
. |
|
б) |
. |
25. |
а) |
. |
|
б) |
. |
Задание 11.3. Найти решение дифференциального уравнения:
1. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
2. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
3. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
4. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
5. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
6. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
7. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
8. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
9. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
10. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
11. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
12. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
13. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
14. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
15. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
16. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
17. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
18. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
19. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
20. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
21. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
22. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
23. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
24. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
25. |
а) |
, . |
|
б) |
. |
Задание 11.4. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. |
. |
8. |
. |
9. |
. |
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
16. |
. |
17. |
. |
18. |
. |
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
25. |
. |
Задание 11.5. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
2. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
3. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
4. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
5. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
6. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
7. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
8. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
9. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
10. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
11. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
12. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
13. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
14. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
15. |
а) |
. |
б) |
. |
|
|
|
в) |
. | ||||
16. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
17. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
18. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
19. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
20. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
21. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
22. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
23. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
24. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
25. |
а) |
. |
б) |
. |
в) |
. |
Задание 11.6. Найти решение дифференциального уравнения:
1. |
а) |
б) |
, ,. | |
2. |
а) |
. |
б) |
,,. |
3. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
4. |
а) |
. |
б) |
,,. |
5. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
6. |
а) |
б) |
, ,. | |
7. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
8. |
а) |
. |
|
|
|
б) |
, ,. | ||
9. |
а) |
. |
|
|
|
б) |
, ,. | ||
10. |
а) |
. |
|
|
|
б) |
, ,. | ||
11. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
12. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
13. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
14. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
15. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
16. |
а) |
. |
|
|
|
б) |
, ,. | ||
17. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
18. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
19. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
20. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
21. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
22. |
а) |
. |
|
|
|
б) |
, ,. | ||
23. |
а) |
б) |
, ,. | |
24. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
25. |
а) |
. |
б) |
, ,. |
Задание 11.7. Решить систему дифференциальных уравнений а) методом исключения неизвестных, б) методом Эйлера:
1. |
2. |
3. | |||
4. |
5. |
6. | |||
7. |
8. |
9. | |||
10. |
11. |
12. | |||
13. |
14. |
15. | |||
16. |
17. |
18. | |||
19. |
20. |
21. | |||
22. |
23. |
24. | |||
25. |
|
|
|
|
Интервал может быть как конечным, так и бесконечным в одну или обе стороны.
Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения