3.ПРЕДЕЛЫ

3.1Краткие сведения из теории

Основное определение предела функции:

Число А называется пределом функции f (x) при x стремящимся к a , если для любого малого ε >0 существует такое малое δ>0, что неравенство

f (x) − А <ε	наступает, как только наступает x − a < δ.
Обозначается:	lim f (x) = A.
	x→a
Очень удобным для понимания этого определения является
определение предела функции		«на	языке окрестностей»: точка А
называется пределом функции		у= f (x)	в точке a ( т.е. x → a ), если по

любой ε-окрестности (•)А найдется δ-окрестность (•) a такая, что для любого х, принадлежащего δ-окрестности (•) a ( x ≠ a ), соответствующее значение функции у= f (x) попадает в ε-окрестность (•)А.

Оба эти равноценные определения иллюстрируются на рис. 3.1

y

у= f(x)

А+ε

А

А-ε

а-δ а а+δ	x
Рис. 3.1

Эти определения охватывают все возможные ситуации, когда А и a конечны, равны 0 или бесконечны (одно их них или оба). Для вариантов А=∞ и a =∞ соответствующие неравенства выглядят так: f (x) >М; x >N,

где М>0, N>0 – сколь угодно большие. На рис. 3.2 приводится геометрическая «трактовка» остальных восьми определений пределов функции без самих определений.

36

y

y

у=f(x)

у=f(x)

ε

M

- ε

а-δ

а

а+δ х

а-δ а а+δ

х

lim f (x) =0

lim f (x) = ∞

x→a

x→a

y

y

у= f(x)

ε

у= f(x)

A+ ε

A

- δ

δ

x

A- ε

- ε

- δ

0 δ

х

lim f (x) =0

lim f (x) = А

x→0

x→0

y

y

M

у= f(x)

у= f(x)

ε

x

- δ

δ

x

-ε

N

lim f (x) = ∞

lim f (x) =0

y

x→0

y

x→∞

A+ε

A

M

у= f(x)

A-ε

y=f(x)

N	х	N	x
lim f (x) = А		lim f (x) = ∞
x→∞		x→∞
		Рис.3.2

37

Свойства пределов

Если существуют конечные пределы								lim f (x) = A,	lim g(x) = B, то:
1.	lim C=C							x→a	x→a
	x→a	[С f (x)]=C lim				f (x)
2.	lim
	x→a				x→a
3.	lim	[f (x) ± g(x)]= lim					f (x) ± lim g(x)
	x→a				x→a		x→a
4.	lim	[f (x) g(x)] = lim					f (x) lim g(x)
	x→a				x→a		x→a
			f (x)		lim f (x)
5.	lim			=	x→a	;	lim g(x) ≠ 0
			g(x)		lim g(x)
	x→a						x→a
					x→a
6.	lim ϕ[f (x)] = ϕ lim					f (x) , где ϕ		- непрерывная в (•)a функция.
	x→a				x→a

Тогда предел и функцию можно менять местами.

7. lim	lim g ( x)
	[f (x)]g ( x) = lim f (x)x→a
x→a	x→a
Если А и В являются нулями или бесконечностями, то существуют
		0		∞		∞
следующие виды неопределенностей:		0	,	∞	, 0 ∞,	∞ − ∞, 1 .

Их неопределенность заключается в том, что пределы этих выражений могут быть любым числом или бесконечностью. Это зависит от интенсивности стремления каждой из бесконечно-малых к нулю и каждой из бесконечно-большой к бесконечности. Раскрытие (устранение) неопределенностей, а значит и вычисление таких пределов и составляет основное содержание контрольных заданий.

Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших

Если С≠0 ;		limα =lim β =limγ =0, то
1.	С = ∞;	С =0 .
2.	0	∞	∞ + ∞ = ∞ ; ∞ ± С = ∞.
	α + β =γ ;
3.	α β =γ	; α С = β или 0 С =0 ; ∞ ∞ = ∞, ∞ С = ∞.
4.	∞ = ∞ ∞ = ∞;			0	=0 0 =0 .
	0			∞

38

Замечательные пределы

1. lim sin x =1. Первый замечательный предел.

x→0 x

На основе этого предела существуют следующие эквивалентные бесконечно-малые:

При х→0

x ≈ sin x ≈ tg

x ≈ arcsin

x ≈ arctg x ,

1 − cos x ≈

x2

или

cos x ≈1 −

x2

.

2

2

1

x

1

1

+

= 2,71... = e ,

а

также

lim (1 +α)α = e . Второй

2. lim

x

x→±∞

α→0

замечательный предел .

3. lim	logа(1 + x)	=		1		. При	x →0 ,	logа(1 + x) ≈		x
	x			ln a					ln a
x→0
Если a = e ,	то lim ln(1 + x)					=1 . При	x →0,	ln(1 + x) ≈ x .
	x→0		x

4.

lim ax −1

= ln a , при x →0,

ax −1 ≈ x ln a, ax ≈ xln a +1.

x→0

x

Если a = e :

lim ex −1

=1 .

При

х→0 , ex −1 ≈ x,

ex

≈ x +1 .

x→0

x

5.

lim (1 + x)m −1

=1,

при

x →0, (1 + x)m −1 ≈ mx,

где

m >0 –

любое.

x→0

mx

На

основе

1,3,4,5

пределов

можно

записать

общую

формулу

эквивалентных

преобразований :при х→0

x ≈sin x ≈ tg

x ≈ arcsin

x ≈ arctg

x ≈ ln (1 + x) ≈ ln a loga (1 + x) ≈

≈ ex −1 ≈

1

(ax −1)≈

1

(1 + x)m −1 .

ln a

m

На

рис.

3.3.

приводится

геометрическая

интерпретация

преобразования

эквивалентных

бесконечно

малых

на

основе

перечисленных пределов в окрестностях нуля.

39

y

y

y

у=x

y=tg(x)

y=argsinx

у=sinx

у=х

х

x

x

у=х

y

у

y

y=x

y=ln(1+x)

y=argtg x

y=cos x

x

x

х

y=x

х2

y=1 −

2

y

y = eх −1

y

y=x

y

1 x

y=x

y = (1 + x)2 −1

y=

х

2

-1

-1

1

-1

x

x

-1

y=

-1

1 + х −1

Рис. 3.3.

Следует подчеркнуть: в окрестностях

нуля трансцендентные функции

sin x , tg x ,

arcsin x,

arctg x ,

ln x, exp x,

а также

двучлен в степени m

можно заменить на линейную функцию, а cos x

на квадратичную функцию.

Это обстоятельство имеет место, если аргумент

х

простой.

Если

аргумент

функции

сложный,

т.е

в

свою очередь

является

функцией, то рассмотренные ранее эквивалентные замены справедливы, но

при условии стремления этого сложного аргумента к нулю, а сама						замена
должна быть соответствующей.
Так, если	u=u(x),	то sin u ≈u , при u→0; еu ≈ u+1, при u →0				и т.д.
Пример:	х→0 ,	7 x3	≈7 x	3	+1.
		sin(3x) ≈ 3х , e

40

3.2. Вычисление типовых пределов

Приводятся типовые пределы с неопределенностями и некоторые способы их вычисления.

	Неопределенности		0	,	∞	, 0 ∞, ∞ − ∞, содержащие алгебраические
выражения.			0		∞
			0 ∞
0	Неопределенности					и ∞ − ∞	преобразованиями переводятся в
	или	∞ . Последние			разрешаются		единым подходом: необходимо
0		∞

выделить в числителе и знаменателе тот множитель, который дает

неопределенность и его сократить.

Иногда выделение такого

множителя

достаточно «головоломное».

Пример 1.

lim

x2

− 4

=

0

= lim

(x − 2)(x + 2)

=

4

= 2 .

− 2x

0

x(x − 2)

2

x→2 x2

x→2

1

3x2 + 4x +1

0

3(x +1)(x +

)

= −2 = −2 .

Пример 2.

lim

=

= lim

3

0

(x +1)(2x2 −1)

x→−1 2x2 + 2x2 − x −1

x→−1

1

Пример 3.

lim

x3

− 8

=

0

= lim

(x − 2)(x2 + 2x + 4)

= lim

x2 + 2x + 4

=

12

= ∞ .

0

x(x

− 2)2

x(x − 2)

2 0

x→2

x3 − 4x2 + 4x

x→2

x→2

Пример 4.

lim

3 −

2x +7 =

0

.

x→1

x2 + 6 x −7

0

Дающий неопределенность множитель (х-1) в знаменателе

выделить

легко,

в числителе – труднее. Нужно весь предел умножить и разделить на

сопряженный числитель, т.е

на (3 + 2x +7 ) .

lim

(3 −

2x +7 )(3 +

2x +7 )

= lim

9 − (2x +7)

=

(x −1)(x +7)(3 + 2x +7 )

x→1

x→1 (x −1)(x +7)(3 + 2x +7 )

= lim

(−2)(x −1)

= −

1

.

−1)(x +7)(3 + 2x +7

)

24

x→1 (x

Пример 5.

lim

( 5 − x) − (

3 + x) =

0

.

x→1

8 + x − 3

0

Нетрудно догадаться, что неопределенность дает множитель (х -

1), но

выделить его непросто. Нужно всё выражение умножить и разделить и на

41

сопряженный числитель (

5 − x +

3 + x)

и на сопряженный знаменатель

( 8 + х +3) .

lim

(

5 − x − 3 + x )(

5 − x + 3 + x )( 8 + x + 3)

=

( 8 + x − 3)( 5 − x +

3 +x)(

8 + x + 3)

x→1

= lim

[(5 − x) − (3 + x)](

8 + x + 3) =

x→1

(8 + x − 9)( 5 − x + 3 + x )

= lim

(−2)(x −1)( 8 + x + 3)

= −12

= −3

(x −1)( 5 − x + 3 + x)

x→1

4

Пример 6. lim

3

1 + x −1

=

0

.

0

1 + x −1

x→0

Обычное выделение множителя х,

дающего неопределенность, не приводит

к решению, т.к. опять получается неопределенность. Решение кроется в устранении радикалов любым способом, например, самым простым – заменой переменной, с дальнейшим выделением и сокращением множителя, дающего неопределенность.

lim

3

1 + x −1

=

1 + x =t6

= lim

t2 −1

= lim

(t −1)(t +1)

=

2

.

1 + x −1

x

→0 , t →1

t

3 −1

(t −1)(t2

+ t +1)

3

x→0

t→1

t

→1

3

3

7

2x

3

3x

2

+7

x

2 −

+

2

1

−

x

x2

Пример 7.

lim

= lim

=

= −

.

4

3

−4

2

x→∞ 4x + 3x2 − 4x3

x→∞

x

3

+

−

4

x

x2

4 5

4

4

x

+

−1

5 + 4x − x

4

x3

∞(−1)

Пример 8.

lim

= lim

x

=

=

∞.

3x − 2x2

3

(−2)

x→∞

x→∞

x

2

− 2

Пример 9.

x

1 3

4 2

2

3

3

2

3

3

2

n

2

+

−

+

n

3

−

(2n

+ 3n

−1)

+ (3n

− 4)

n

n

2

n

3

lim

= lim

=

(

2

2

− 3n +1)

6

6

n→∞

4n

+7

+ 9n

x→∞

n

2

4 +

7

+ n

2 9 −

3

+

1

2

2

n

n

n

42

n

6

2 +

3

1 3

+ n

6

3 −

4

2

−

n

n2

= lim

n3

=

n→∞

7

3

1

6

n

4 +

+ n

9 −

+

n2

n

n2

.

3

1 3

4

2

6

n

2 +

−

+

3

−

n

n2

n3

17

= lim

=

6

5

6

n→∞

7

3

1

n6

4 +

+

9 −

+

n2

n

n2

Пример 10. lim (x −1)

3x2 −1

−

3x + 5

=

∞(

∞

−

∞

)

, здесь несколько видов

x2

x

∞

∞

x→∞

неопределенностей, которые устраняются последовательно, аналогично

арифметическим действиям

=

2

1

5

x

3 −

x

3 +

1

5

x2

(x −1)

x

= lim

−

=

∞ 0

= lim

(x −1)

3

−

− 3 −

=

x2

x

x2

x

x→∞

x→∞

2

1

1

(−1 −

5x) =

∞

x

1

−

−5 −

x

x

=

∞ 0

= lim

(x −

1)

= lim

= −5

x2

∞

x2

x→∞

x→∞

Пример 11.

lim

(n

3

+

1)(n

3

+ 3) −

n(n

5

+

=

∞ − ∞

,

для перевода

2)

n→∞

этой

неопределенности

в

∞

необходимо

разделить

и

умножить

на

∞

сопряженное выражение

=

( (n

3

+1)(n

3

+ 3)

+

n(n

5

2) )

+ 2) )

= nlim←∞ ( (n3 +1)(n3 + 3) −

n(n5 +

=

(

3

3

5

(n

+1)(n + 3) +

n(n + 2)

)

43

= lim

(n3 +1)(n3 + 3) − n(n5 + 2)

=

(n3 +1)(n3 + 3) + n(n5 + 2)

n→∞

= lim

n6 + 4n3 + 3 − n6 − 2n

=

n→∞

n

3

1

+

1

n

3

1 +

1

+

n

6

1

+

2

3

3

n

n

n

5

n

3

4 −

2

+

3

4

∞

n2

n3

=

= lim

=

= 2 .

∞

3

1

3

2

2

n→∞

n

1

+

1 +

+

1 +

3

3

5

n

n

n

Пример

12.

lim

(3 n + 2 −

3 n − 3 )

=

∞ − ∞

,

для

устранения

( n +7 −

n − 3 )

∞ − ∞

n→∞

неопределенности вида

( ∞ − ∞)

в числителе

нужно все выражение

умножить и разделить на неполный квадрат суммы ,

а

в

знаменателе -

нужно

все

выражение

умножить

и

разделить

на

сопряженный

знаменатель.

= lim

(3 n + 2 − 3 n − 3 )

×

( n +7 − n −

3 )

n→∞

×

(3 (n + 2)2 + 3 (n + 2)(n − 3) + 3 (n − 3)2 )

( n +7 + n − 3 )

=

( n +7 + n − 3 )

(3 (n + 2)2 + 3 (n + 2)(n − 3)2 + 3 (n − 3)2 )

= lim

((n + 2) − (n − 3))

( n +7 + n − 3 )

=

n→∞ ((n +7) − (n − 3)) (3 (n + 2)2 + 3 (n + 2)(n + 3) + 3 (n − 3)2 )

7

3

5

n

1

+

+

n

1 −

= lim

n

n

=

2

n→∞

2

2

2

3

3

10

3

n2

1 +

+

3 n2

1 +

1

−

+ + 3 n2

1 −

n

n

n

n

n

1 +

7

+

1

−

3

n

n

= lim

=

2

n→∞

2

2

2

3

3

2 3 n2 3 1

+

+

3

1 +

1 −

+ 3

1 −

n

n

n

n

44

1 +

7

+

1

−

3

n

n

2

= lim

=

=0 .

2

2

∞ 3

n→∞

2

2

2

3

3

2 6 n

3 1

+

+ 3

1 +

1 −

+

3 1

−

n

n

n

n

Разрешение неопределенности

1∞ .

В конечном счете, эта неопределенность сводится ко 2му

замечательному пределу:

1

1 u

lim

1 +

= е

или

lim(1 +V )

V

= e ,

где

u = u(x),

V =V (x)

u→+∞

u

v→0

−

х.

- любые непрерывные функции от

7м

свойством

пределов:

Иногда полезно воспользоваться

lim

[

f (x)

g ( x) =

lim f (x)

)

lim g( x)

.

x→∞

x→∞

]

f (x)

(x→∞

Вот типичный пример,

когда

и

g(x) -

алгебраические выражения.

Пример. 13

lim

5x −1

3x+1

=

lim

5x + 6 −7 3x+1

=

5x +6

x→∞

5x +6

x→∞

3x+1

(−7)

3x+1

1

= lim

1

+

= lim

1

+

=

5x + 6

5x + 6

x→∞

x→∞

(−7)

lim

(−7)(3x+1)

−7 5x+6

5x+6

3x+1)

x→∞

5x+6

(

(−7)

5x+6

−7

1

1

= lim

1 +

= lim

1 +

=

5x +

6

5x + 6

x→∞

x→∞

(−7)

(−7)

1

(−7) x

3+

x

lim

6

21

x→∞

x

5+

−

1

= e

x

= e

5 =

.

5 e21

45

Разрешение неопределенностей с помощью замечательных пределов.

Общий подход: неопределенность	0	, выраженная	известными
	0

трансцендентными функциями, с помощью 1, 3, 4, 5 важных пределов

преобразуется

в

неопределенность

0 , выраженную

алгебраическими

0

функциями, которая разрешается сокращением

в числителе и знаменателе

множителя, дающего эту неопределенность.

Пример 14.

2

sin 3x tg

2

x

sin 3x ≈ 3x,

arсsin

2x ≈ 2x

3x

x

3

lim

5

=

x

x

= lim

5

=

.

x→0 (arcsin 2x)3

tg

≈

,

x

→0

x→0

(2x)3

200

5

5

Пример 15. lim cos 3x − cos x = Эквивалентные замены тригонометрических x→π tg2 (2x)

функций на алгебраические производить нельзя, т. к сам аргумент х не является бесконечно малой. Нужно перейти к новой переменной, которая была бы бесконечно малой и далее действовать по известному плану:

t = x −π, x →π,t →0

= lim

cos 3(t +π) − cos(t +π)

=

t→0

tg2[2(t +π)]

= lim

cos 3t cos 3π −sin 3t sin 3π − cost cosπ + sin t sinπ

= lim cost − cos 3t

=

t→0

tg2 (2t + 2π)

t→0

tg2 (2t)

cos 3t ≈1 −

(3t)2

;

t2

1 −

t2

−1 +

(3t)2

8t

2

2

=

2

cos t ≈1 − 2

= lim

2

= lim

=1.

(2t)2

8t2

tg 2t ≈ 2t

t→0

t

→0

Пример 16.

lim ln(1 + 4x) =

ln(1 + 4x) ≈ 4x

= lim

4x = 2 .

x→0 e2x −1

e2x −1 ≈ 2x

x→0

2x

lg x −1

lg

x

lg e ln

x

Пример 17.

lim

= lim

10

=

lim

10

=

x − 9 −1

x − 9 −

x→10

x→10

1

x→10

x − 9 −1

t +10

t

t = x −10 ,

x →10

lg eln

ln 1 +

10

10

=

= lim

= lg e

lim

=

x =t +10 , t →0

1 + t −1

t→0

t +10 − 9 −1

t→0

46

t

t

t

t

lg e

10

=

ln 1

+

≈

,

1 + t −

1 ≈

= lg e

lim

=

.

10

10

2

5

t→0

t

Пример 18.

lim ln(x −

2x − 3) =

2

Непосредственный переход к новой

x→2

sin

2 π x

t= x -

2

переменной

2,

с последующей заменой эквивалентных бесконечно

малых

приведет

опять

к неопределенности

0 .

Нужно

предварительно

0

«разрушить»

скрытый

ноль

в числителе

с

помощью

сопряженного

выражения.

=

= lim

x→2

= lim

t→0

			x +		2x − 3
ln	(x −	2x − 3)
			x +		2x − 3		= lim
			2 π x
		sin					x→2
			2

ln x2 − 2x + 3 x + 2x − 3

sin2 π x 2

=t = x − 2 , x →2 =

x=t + 2 , t →0

ln

t2

+ 4t + 4 − 2t −4 + 3

ln

t2

+ 2t + 3

t + 2

+

2t + 4 − 3

= lim

t + 2 +

1 + 2t

=

1 + 2t

≈

1

2t +1

=

π

2

2

t→0

2

πt

sin

(t + 2)

sin

+π

2

2

t2 + 2t + 3

t2

+ 2t + 3

1 +

t

2

ln

ln

ln

2t +

3

= lim

t + 2 + t +1

= lim

2t + 3

= lim

=

2 πt

t→0

−sin

πt 2

t→0

sin

2 πt

t→0

sin

2

2

2

1 +

t2

t2

πt

πt

t2

4

=

ln

≈

, sin

≈

= lim

=

.

2t + 3

2t + 3

2

2

πt 2

3π 2

t→0

(2t

+ 3)

2

	Пример 19.
	lim	2x +7 − 2x+1 + 5	=		t = x −1 ,	x = t + 1		= lim	2t+1 +7 − 2t+2 + 5	=
		x2 −1				t →0			t 2 + 2t +1 −1
	x→1				x →1 ,			t→0

47

= lim

( 2 2t

+7 − 4 2t + 5)( 2 2t +7 + 4 2t + 5)

=

t(t + 2)( 2 2t +7 + 4 2t + 5 )

t→0

= lim

2 2t +7 − 4 2t

− 5

= lim

−2 2t + 2

=

t→0 t(t + 2)( 2 2t +7 + 4 2t + 5 )

t→0 t(t + 2)( 2 2t +7 + 4 2t + 5 )

=

2t

≈t ln 2 +1

== lim

(−2)(t ln 2 + 1) + 2

= −ln 2 .

t→0 t(t + 2)( 2 2t +7 + 4 2t + 5 )

6

Пример 20.

1

x

1

sin

x

≈

x

x2

ln(1+9 x2 )

2

ln(1+tg2 3x)

lim

1

− sin

=

2

2

= lim

1 −

=

x→0

2

tg 3x ≈ 3x

x→0

4

4

x

2

1

−

−

x2

4

9 x2

ln(1 + 9x2 ) ≈ 9x2

1

=

= lim

1

+

=

4

x→0

−

x

2

−x2

4

lim

4 9 x

x→0

2

−

x2

1

−

1

1

= lim

1 +

= e

36

=

.

4

x→0

36 e

−

x

2

3.3. Задания на контрольную работу

1.

1.

lim

3x2 + 2x −1

6.

lim

2x − 5 3x−2

2

+ 3x + 1

x→−1 2x

x→∞

2x +1

2.

lim

3x2 − 2x + 2

x tg

2 x

2x2 −7 x + 6

x→∞

7.

lim

3

x2 − 8x − 9

3.

lim

x→0 cos 2x sin3 (2x)

2x +7 − 5

1

x→9

(

)

4.

lim

25x

2

+ 2x +

1 − 5x

8.

lim x

e

x

−

1

x

→∞

x→∞

5.

lim

x + 13 − 2 x +1

9.

lim

(1 + 2x)m −1

3 x2 − 9

sin x

x→3

x→0

48

	2.	lim			4x2 + 3x −1
	1.
				2x	3 + 2x2 + 2x + 2
		x→−1
	2.	lim	7 x2 +12x + 9
				5x	2 + 6 x + 9
		x→∞
	3.	lim	x2 − 5x + 4
			3 −		2x +1
		x→4

4.

lim

(

x(x + 2) −

x2 − 2x + 3

)

x→∞

5.

lim

1 − x − 3

2 + 3 x

x→−8

3

lim

4x2 − x − 3

.

1.

3 − x2 + 2x − 2

x→1 x

2.

lim

(3x +7 )(5x2 + 3x +1)

4x3 + 5x +6

x→∞

3.

lim

3 − 2x +7

x→1

x2 +6 x −7

)

4.

lim

81x2 +7 x + 81 − 9x

x→∞(

5.

lim

3

x −6 + 2

x3 + 8

x→−2

4.

1.

lim

x2 + 4x + 3

x→−3 x3 + 3x2 + 4x +12

2.

lim

(x2 + 5x +1)(3x + 4)

3x3 + 4x2 + 2x +1

x→∞

3.

lim

x2 − 3x −10

5 − 2x − 3

4.

x→−2

(x + 2)(x +1) −

(x −1)(x + 3)

lim

x→∞

4

x − 2

5.

lim

x − 4

x→16

3x + 4 4 x−5

6.xlim→∞ 3x −1

		cos x sin		2	x
7.	lim				4
			tg(2x2 )
	x→0
8.	lim	ex2	− cos x
			6 x2
	x→0
9.	lim	n 1 + ax − m 1 + bx
			sin (3x)
	x→0

9x − 2 2x+5

6.xlim→∞ 9x +1

			x
			sin		tg 3x
	7.	lim		2
			sin6 x sin 5x
		x→0
	8.	lim	(e x	−1)3
			x tg2 (4x)
		x→0
	9.	lim	3 1 + x3 −1
				+ 2x3 )
		x→0 ln (1

3x −7 4 x+3

6.xlim→∞ x + 2

						x
		sin2 2x tg
7.	lim					2
					x
	x→0	x	2
				sin
						3
8.	lim	ex3	−1
		x2 sin x
	x→0
9.	lim	1 + x −				1 − x
				tg x
	x→0

49

5.

lim

3x2 + 4x +1

1.

x→−1 2x3 + 2x2 − x −1

2.

lim

4x4 + 2x3 −1

(3x2 +1)(3x2 + 2)

x→∞

3.

lim

x2 + 2x −15

2x + 19 − 5

x→3

(

)

4.

lim

6 x −

36 x2

+7 x + 49

x→∞

5.

lim

x −1

3 x2 −1

x→1

6.

lim

2x2 − 2

1.

x→1 4x2 −11x +7

2.

lim

2x3 − 3x2 +1

(3x2 −7 )(9x +1)

x→∞

3.

lim

x2 + 2x − 8

16 + 3x − 2

x→−4

4.

lim x

2

4

−1)− x

5

− 8

x(x

x→∞

5.

lim

x +13 − 2

x +1

x2 − 9

x→3

7.	lim	2x		2	+ 5x + 2
1.
	x→2	4x2 +7 x − 2
2.	lim	(6 x3 − 9)(3x + 2)
			17 x4 +19x3 −1
	x→∞
3.	lim		x2 + 2x − 3
	x→−3 1 − 5x − 4								)
4.	lim	(		x2 + 4x − x2				− 8x
	x→∞
5.	lim	3 x2 + 3x + 8 − 2
					x2 + x
	x→0

3x − 4 5x−2

6.xlim→∞ 3x +1

		sin 2x tg						x
7.	lim							3
					x
	x→0		tg	2
					4
8.	lim		ex		−1
	x→0 ln (1 + 5 tg x)
9.	lim	xm	− xn
		1	− x
	x→0

7 x + 3 4 x+5

6.xlim→∞ 7 x − 5

x3 sin x

7. lim ( 4)

x→0 tg2 3x2

	8. lim	e(x−1)2 − cos(x −1)
		(x −1)2
	x→0

4 1 + x −1

9. lim tg2 (4 x )

x→0

4x + 9 9 x−5

6.xlim→∞ 4x +1

		sin 3x tg		2	x
7.	lim				2
			xsin2 (2x)
	x→0
8.	lim	ln	(1 + sin x)
			tg(2x)
	x→0
9.	lim	(1 + 2x)4 −1
			8x
	x→0

50

8.

lim

x2 + 2x − 8

1.

3x3 −6 x2 + x − 2

x→2

2.

lim

(3x2 + 4x −1)(x2 −1)

9x4 + 3x2 −1

x→∞

3.

lim

x2 − 5x + 6

13 − 2x − 3

x→2

(

)

4.

lim

5x − 25x2 + 8x +16

x→∞

5.

lim

3 27 + x − 3 27 − x

x + 23 x4

x→0

9.

lim

x2 +6 x + 8

1.

− x − 2

x→−2 x3 + 2x2

2.

lim

(2x2 −1)(2x2 +1)

8x4 −1

x→∞

3.

lim

x2 + x − 20

3x + 4 − 4

x→4

4.

lim

3

(x + 2)

2 − 3 (x

− 3)2

x→∞

5.

lim

3 x −1

1 + x −

2x

x→0

10.

lim

x

2

− 2x − 3

1.

x→3 x2 + 2x −15

2.

lim

(2x2 −1)(2x2 +1)

8x4 −1

x→∞

3.

lim

x2 + 4x −12

7 x − 5 − 3

x→2

(

)

4.

lim

x2 + 3x − 2 −

x2 − 3

x→∞

5.

lim

1 + x −

1 − x

3 1 + x − 3 1 − x

x→0

6 x − 2 4 x+3

6.xlim→∞ x + 5

		sin 2x tg	2		x
7.	lim				5
		arcsin3 (2x)
	x→0
8.	lim	earctg x −1
		3arctg x
	x→0
9.	lim	1 + x −1
		x
	x→0

8x + 3 5x−2

6.xlim→∞ 8x + 2

					x
			tg2 3x sin
7.	lim				2
				x2 sin 2x
	x→0
		(earcsin(x) −1)2
8.	lim			xsin x
	x→0
9.	lim			x −1
				x −1
	x→1

5x −1 8 x+1

6.xlim→∞ 5x + 3

							x
		sin 2x tg
7.	lim						3
					x
	x→0		tg	2
					4
8.	lim		(1 − e2x )3
	x→0 sin2 x tg 2x
	3		1 + x −1
9.	lim
			sin 4x
	x→0

51

4.Непрерывность функций.

4.1Краткие сведения из теории.

Вконтрольной работе на эту тему студенту предстоит построить график непрерывной функции путем преобразований графика элементарной упрощенной функции, хорошо известной со школы. В продолжении темы предстоит также исследовать функции на непрерывность и разрыв.

4.1.1. Преобразование графиков.

Графики функций можно приблизительно построить, используя график элементарной упрощенной функции, при этом нужно применять правила преобразования графиков, приведенные ниже.

• График функции y = f (x + a) строится, если график функции y = f (x) переместить по Ox вправо на a , если a < 0 и влево на a , если a > 0

y

y = (x + 5)2 y = x2 y = (x − 5)2

x

- 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

•	График функции y = f (x) +b строится, перемещением графика функции
	y = f (x)	по Oy вверх на b при b > 0 и вниз на b , если b < 0.
			y	y = 2x
				y = 2x − 2
			1
		0		x
			-1
•	График	функции		y = kf (x) строится, если график функции y = f (x)
	сжать по Oy при k <1 и растянуть при k >1.

52

		y							y
			y = x3
					1	x3
				y =			2
					27
						x			1 y = 2 cos x
0	1		2	3
										x
							0		y = cos x

	• График функции	y = f ( px)	строится, если график			функции y = f (x)
	сжать по Ox (по горизонтали) при p >1 и растянуть при p <1
	y			y			y = 2x	y = 2 x 3
	y = sin x	y = sin 2x
			2
	0	x	1					x
			0
				1		2	3

•График функции y = − f (x) есть зеркальное отражение относительно оси Ox графика функции y = f (x) .

y

		y = (0.5)x
0		x
		y = −(0.5)x

•График функции y = f (−x) есть зеркальное отражение относительно оси Oy графика функции y = f (x) .

	y						y
y = ln(−x)						y = tg(−x)
	y = ln x
0			x			0	x
						y = tgx
• График функции y =			f (x)			есть повторение графика функции y = f (x) в

той части, для которой f (x) 0 . Остальная часть графика, для которой f (x) 0 зеркально отражается относительно оси Ox

53

y

y

y =

ln x

x

y =

sin x

x

0

0

y = ln x

y = sin x

• График функции

y = f (

x

)

есть повторение графика функции y = f (x) в

той части, для

которой

x > 0 .

Остальная

часть графика

функции

y = f (x) , для которой

x < 0 ,

устраняется.

Вместо нее

строится

зеркальное отражение относительно оси Oy той части графика функции y = f (x) , для которой x > 0

	y		y
	y = 2 x
y = 2x			y = sin x
0	x	0	x

Замечание. При одновременном преобразовании графика по горизонтали (смещение и сжатие (растяжение)) можно допустить ошибку в смещении графика.

Например, график функции y = sin(3x − 4) ошибочным образом можно

построить так: сначала сжать график	функции	y = sin x в 3 раза по
горизонтали и получить график функции	y = sin 3x ,	а затем сдвинуть его по

горизонтали на 4 единицы влево.

Правильное построение будет такое: сжать график функции y = sin x по горизонтали в 3 раза, а затем сместить его по горизонтали влево на 43

единицы, а не на 4 единицы, т.к.:

y= sin(3x − 4) = sin 3(x − 4)

3

Смещение графика и, вообще, любое преобразование графика нужно производить при «очищенном» аргументе x .

В контрольной работе предстоит построить график функции y = kf ( px + a) +b . Для этого необходимо построить график функции y = f (x) последовательными преобразовании согласно изложенных правил довести до искомого:

54

•График функции y = f (x) сжать по Ox в p раз и получить график функции y = f (xp) ;

	•	График функции	y = f (xp) сместить по Ox на величину					a	в нужную
								p
					a
		сторону и получить график функции y = f p(x +				)	= f ( px + a);
					p
	•	График функции	y = f ( px + a) растянуть по	Oy в			k раз и получить

график функции y = kf ( px + a);

•График функции y = kf ( px + a) сместить по Oy на величину b в нужную сторону и получить искомый график функции y = kf ( px + a) +b;

Типовой пример построения графика функции путем преобразования графика упрощенной функции в данном пособии не рассматривается т.к. автор считает, что после приведенных объяснений студент сможет самостоятельно выполнить данное задание.

4.1.2. Исследование функций на непрерывность в точке

Функция y = f (x)		называется	непрерывной	в точке	x0 , если она
определена в окрестностях точки x0			и в самой точке и если в этой точке
бесконечно	малому	приращению	аргумента	x = x − x0	соответствует
бесконечно	малое приращение функции y = y − y0 = f (x +				x) − f (x0 ), или
lim y = 0 .
x→0

Необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке.

1.Функции должна быть определена в окрестностях точки и в самой точке.

2.Функция должна иметь в точке равные односторонние пределы

lim	f (x) = lim	f (x)
x→x0 −0	x→x0 +0

3.Эти односторонние пределы должны быть равны значению функции

вточке

lim f (x) = lim f (x) = f (x0 )

x→x0 −0 x→x0 +0

Функция f (x) называется разрывной в точке, если она определена в

окрестностях точки, но в самой точке не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Разрыв функции f (x) в точке x0 называется конечным или I рода, если

существуют односторонние пределы.

Если эти пределы различны, то разность её односторонних пределов

lim f (x) − lim f (x) называется скачком функции.

x→x0 −0 x→x0 +0

55

Если в точке разрыва x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует, то это разрыв II рода.

4.2. Решение типовых примеров

Типовые примеры включают исследования функций на непрерывность в точке в соответствии с необходимыми и достаточными условиями. В случае нахождения точек разрыва, их нужно классифицировать.

Пример 1. Задана функция y = f (x). Найти точки разрыва функции и определить род разрыва. Сделать чертеж.

−(x + 2)2	+3,	x ≤ 0;
		0 < x < 3;
f (x) = x −1,
ln(x − 2),		x ≥ 3.

Решение. Функция f (x) кусочно-составная. Внутри заданных интервалов каждая из составляющих функций непрерывна. Возможный разрыв функции f (x) может быть только в граничных точках интервалов, т.е. в точках x = 0, x = 3 . Поэтому исследования на непрерывность в точке на основе трех достаточных условий непрерывности нужно провести только в этих точках.

x = 0

1. Значение функции в точке:

f (0) = −(x + 2)2

+3

0

= −1.

2. Односторонние пределы:

lim f (x) =

lim [−(x + 2)2 +3]= −(0 −0 + 2)2 +3 = −4 +3 = −1

x→0−0

x→0−0

lim f (x) =

lim (x −1) = 0 + 0 −1 = −1

x→0+0

x→0+0

3.

lim

f (x) =

lim

f (x) = f (0) = −1

x→0−0

x→0+0

В точке x = 0 все три условия непрерывности соблюдены, значит в этой

точке функция непрерывна.

x = 3

1.

f (3) = ln(x −2)

x=3 = ln(3 −2) = ln1 = 0

2.

lim

f (x) = lim (x −1) = 3 − 0 −1 = 2

x→3−0

f (x) =

x→3−0

ln(x − 2) = ln(3 + 0 − 2) = ln1 = 0

lim

lim

3.

x→3+0

x→3+0

lim

f (x) ≠

lim

f (x) ≠ f (3)

x→3+0

x→3−0

Функция

в

точке x = 3

определена

f (3) = 0 , но

имеет разные

односторонние пределы. Значит в точке x = 3 имеет место разрыв I рода или скачок функции.

Для построения чертежа функции f (x) воспользуемся правилами преобразования графиков простейших функций.

Для построения графика функции на интервале ]− ∞;0] необходимо график функции f (x) = x2 сместить влево на 2 единицы, получим график

56

функции f (x) = (x + 2)2 , затем этот график зеркально отобразить относительно оси Ox , получим график функции y = −(x + 2)2 и, наконец, последний график сместить вверх на 3 единицы, получим график функции f (x) = −(x + 2)2 +3 .

На интервале ]0;3[ необходимо график функции f (x) = x сместить вниз на 1 единицу, получим график функции f (x) = x −1.

На интервале [3; ∞[ необходимо график функции f (x) = ln x сместить вправо на 2 единицы, получим график функции f (x) = ln(x −2) .

Результирующий график функции имеет вид: y

y = −(x + 2)2 + 3	y = (x −1)
3
2	y = ln(x − 2)
1

-4 -3 -2 -1	1 2 3	4
	-1

x

Пример 2. Найти точки разрыва функции f (x) , определить их род, построить приблизительный график функции.

f (x) = arctg	x − 2
	x 2 + x −12

Решение. Функция ϕ(u) = arctg u - непрерывная и возрастающая на всей числовой оси, если сложный аргумент u = u(x) непрерывен и возрастает на числовой оси. В нашем случае сложный аргумент – функция

u(x) =

x − 2

=

x − 2

имеет разрыв в точках

x = −4,

x = 3,

т.к. в этих

(x −3)(x + 4)

x2 + x −12

точках u(x) не существует:

u(−4) =

x − 2

=

− 4 − 2

=

−6

= ∞;

(x −3)(x + 4)

x=−4

(−4

−3)(−4 + 4)

(−7) 0

u(3) =

x − 2

3 − 2

1

=

=

= ∞

(x −3)(x + 4)

(3 −3)(3 +

4)

0

7

x=3

В остальных точках числовой оси функция

u(x) непрерывна, т.к.

многочлены, входящие в функцию непрерывны на всей числовой оси

Искомая функция

f (x) = arctg

x − 2

то же будет непрерывна на всей

x 2 + x −12

числовой оси кроме точек x = −4, x = 3.

x = 3.

Проведем исследования непрерывности f (x) в точках x = −4,

x = −4

1.

x − 2

− 4 − 2

−6

f (−4) = arctg

= arctg

= arctg

= arctg(−∞)

x

2

+

x

−

−

2 +

− −

16 −16

12

x=−4

(

4)

(

4)

12

57

Функция f (x)

в точке x = −4

не определена,

т.к. не определен

arctg(−∞) по

той

простой причине, что сам аргумент для arctg

не

определен.

x − 2

− 4 −

− 2

2.

lim

f (x) = lim

arctg

= lim arctg

=

x

2 + x −12

(−4 − )2 + (−4 − ) −

12

x→−4−

x→−4−

→0

= lim arctg

−6 −

= lim arctg −6 −

= lim arctg(−∞) = −π

+8

→0

16

+ 2 −4 − −12

→0

7

2

lim

f (x) =

lim

arctg

x − 2

= lim arctg

− 4 +

− 2

=

(−4

x→−4+

x→−4+0

x2 + x −12

→0

+ )2 + (−4 + ) −12

= lim arctg

−6 +

= lim arctg

−6 +

= lim arctg(∞) = π

−8

+ 2 −

4 + −12

−7

→0

16

→0

2

Замечание. Здесь символ

обозначает бесконечно-малую величину,

при этом бесконечно малой высшего порядка

2

пренебрегают.

3.

lim

f (x) ≠

lim

f (x)

x→−4−

x→−4+

в точке x = −4 существуют, т.к.

Односторонние пределы функци f (x)

существуют пределы lim arctg(−∞) = −

π

, lim arctg(∞) =

π .

2

2

Эти пределы разные, значит в точке x = −4

функция f (x) имеет разрыв

I первого рода в виде скачка.

x = 3

1.

f (3) = arctg

x − 2

= arctg

3 −2

= arctg

1

= arctg

1

= arctg(∞).

x2 + x −12

32 +3 −

x=3

12

12

−12

0

Функция f (x)

в точке x = 3 не определена.

2.

lim f (x) =

lim arctg

x − 2

= lim arctg

3 −

− 2

=

(3

− )2 + (3 − ) −

12

x→3−

x→3−

x2 + x −12

→0

= lim arctg

1 −

= lim arctg

1

= lim arctg(−∞) = −π .

9 −6 + 2 + 3 − −12

(−7)

→0

→0

2

lim

f (x) = lim arctg

x − 2

= lim arctg

3 +

− 2

=

x

2 + x −

12

(3 + )2 + (3 +

x→3+

x→3+

→0

) −12

= lim arctg

1

== lim arctg

1

= lim arctg (∞) =

π

9 + 6

+ 2 −3 + −12

7

2

3.

→0

→0

lim f (x) ≠

lim

f (x)

x→3−

x→3+

В

точке

x = 3

функция

f (x)

не

определена,

имеет

разные

односторонние пределы, т.е. в этой точке имеет место разрыв I рода в виде

скачка.

Для

построения

графика

функции f (x)

определяем её поведение

в

бесконечно удаленных точках

x = ±∞ ,

для чего нужно определить пределы

lim

f (x), lim f (x) .

x→−∞

x→∞

58

2

x − 2

x − 2

x 1

−

x

lim f (x) =

lim

arctg

= arctg lim

= arctg lim

=

x2 + x −12

1

12

x→−∞

x→−∞

x→−∞ x2 + x −12

x→−∞

x x

+

−

x

x2

1 −

2

1 + 0

1

−∞

= arctg

= arctg

(−∞ −0 −12 02 )= arctg

= arctg(−0)

= −0

−∞ +

1

−

12

−∞

−∞

∞2

Функция f (x) стремится к нулю, оставаясь меньше нуля.

1

2

x − 2

x − 2

x

−

x2

lim f (x) = lim arctg

= arctg lim

= arctg lim

x

=

x2 + x −12

2 + x −12

1

12

x→∞

x

→∞

x→∞ x

x→∞

x

2

+

−

1

x

x2

1

−

2

0

= arctg

∞

∞2

= arctg

= arctg(0) = 0

+

1

−

12

1

1

∞

∞2

Функция стремится к нулю сверху, оставаясь больше нуля.

При построении графика учтем, что он пересекается с осью Ox в точке

x = 2 , т.к. f (2) = arctg	x − 2			= arctg		2 − 2	= arctg(0) = 0 .
	x2 + x −12					2 + 2 −12
			x=2	2

Приближенный график функции f (x) имеет вид: y

π 2

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

−π 2

x

Пример 3. Для функции f (x) установить, является ли функция непрерывной или разрывной в двух точках x1 и x2 . В случае разрыва определить род разрыва. Сделать схематический чертеж.

	1	, x = −2 ,			= −1 .
y = f (x) = 7	2+x		x	2
	1

Решение. На основании трех достаточных условий непрерывности функции в точке проведем данные исследования в точках x1 и x2 .

1.

1

1

= 7∞

= ∞ .

x = −2.

f (−2) = 7

2−2

= 7

0

1

2.

1

1

1

= 7−∞ =

1

1

= 0 .

lim

f (x) =

lim

7

2+x

= 7

2−2−0

= 7

−0

=

7∞

∞

x→−2−0

x→−2−0

59

1

1

1

= 7∞ = ∞.

lim

f (x) =

lim

7

2+x

= 7

2−2+0

= 7

0

x→−2+0

x→−2+0

Функция в точке

x1 = −2

не существует, её предел справа также не

существует. Это разрыв второго II рода.

1

1

x2 = −1 .

1. f (−1) = 7

2+x

= 7

2−1

= 7.

2.

x=−1

1

1

1

lim

f (x) =

lim

7

2+x

= 7

2−1−0

= 7

1−0

= 7.

x→−1−0

x→−1−0

1

1

1

lim

f (x) = lim

7

2+x

= 7

2−1+0

= 7

1+0

= 7.

x→−1+0

x→−1+0

3.

lim

f (x) =

lim

f (x) = f (−1) = 7 .

x→−1−0

x→−1+0

Вточке x2 = −1 функция непрерывна, т.к. все три условия

непрерывности соблюдены.

Для построения графика определим поведение функции в бесконечно удаленных точках x = ±∞ .

			1		1		1		= 7−0 =	1		1
	lim	f (x) = lim	7	2+x	= 7	2−∞	= 7	−∞			=			=1.
										70		1
	x→−∞	x→−∞

Функция стремится к 1 снизу, оставаясь меньше 1.

	1		1		1		= 70 =1
lim f (x) = lim 7		2+x	= 7	2+∞	= 7	∞
x→∞	x→∞

Функция стремится к 1 сверху, оставаясь больше 1. График функции имеет вид:

y

1

-2

-1

0

x

				4.3. Задания на контрольную работу
Задание			1.	Построить	график	функции			y = kf ( px + a) +b
преобразованием графика функции y = f (x) .										x
1.	y = 2sin(3x −3) −1.					2.	y = −3cos(				+1) +1.
		x						2
3.	y = −3sin(		+ 2) +1.			4.	y =	1	cos(3x −2) −1.
								2
	2

60

5.y = 12 sin(2x −1) − 12 .

7.y = 14 sin(3x + 12) + 2 .

9.y = −2sin(3x −2) − 12 .

Задание 2. В заданной функции определить род разрыва. Сделать чертеж.

		− x,			x ≤ 0;
1. а)
	f (x) = −(x −1)2 , 0 < x < 2;
		x −3,			x ≥ 2.
		(x + 6)2 −1, x ≤ −4;
2. а)				3, − 4 < x < −2;
	f (x) =
			e x+2 ,			x ≥ −2.
		arctg x,				x ≤1;
3. а)			- x +1, 1 < x < 3;
	f (x) =
	−(x −5)2 + 2, x ≥ 3.
	- (x + 2)2 +5, x ≤ 0;
4. а)		2x +3, 0 < x < 2;
	f (x) =
		−1 + x − 2,				x ≥ 2.
			2
				− 4,		x ≤ 0;
	(x + 2)								π
5. а)	f (x) =	sin2x,				0 < x <				;
							π		2
				− 2,		x ≥		.
							2
		cos x,		x ≤ 0;
6. а)
	f (x) = x 2 +1, 0 < x <1;
		x,		x ≥1.
		(x +1)3 ,			x ≤1;
7. а)		- 4(x - 3), 1 < x < 3;
	f (x) =
				2,	x ≥ 3.
	x + 4,			x ≤ −1;
8. а)
	f (x) = x2 + 2, -1 ≤ x <1;
		2x,		x ≥1.

6.

y = 2 cos(

x

+1) −2 .

3

8.

y = 3cos(2x −3) +1.

10. y = −

1

cos(

x

−3) −2 .

2

4

y = f (x) найти точки

разрыва и

б)

f (x) = arctg

1

.

x 2 + x − 6

б)

f (x) = arctg

x

.

x2 − 2x −3

б)

f (x) = arctg

1

.

x2 + x − 2

б)

f (x) = arctg

1

.

3 + 2x − x 2

б)

f (x) = arctg

1

.

6 − x − x 2

б)

f (x) = arctg

1

.

2 − x − x 2

б)

x +1

f (x) = arctg

.

x 2 + x − 6

б)

x +1

f (x) = arctg

.

x 2 + 2x −8

61

2

, x ≤ 0;

− x

x

9. а)

0 < x ≤π

б)

.

f (x) = tgx,

4

;

f (x) = arctg

4 + 3x − x

2

x ≥π

2,

.

4

x + 2,

x ≤ −1;

10. а)

2

б)

x −1

.

f (x) =

x

+1,

−1 < x ≤1;

f (x) = arctg

9 − x

2

− x +3, x >1.

Задание 3.

установить, является

ли

функция

Для функции

y = f (x)

непрерывной или

разрывной

в

двух

точках

x1 и x2 . В случае

разрыва

определить род разрыва. Сделать схематический чертеж.

1

,

= −3 .

1. f (x) = 3

x = −5, x

5+x

2

1

1

2. f (x) = 4

7−x

,

x = 5, x

2

= 7 .

1

1

3. f (x) = 5

,

x = −4, x

= −1 .

4+x

2

1

1

,

= 3 .

4. f (x) = 6

x =1, x

3−x

2

1

1

5. f (x) = 7

,

x = −2, x

= −1 .

2+x

2

1

1

6. f (x) = 8

4−x

,

x = 3, x

2

= 4 .

1

1

7. f (x) = 9

,

x = −7, x

= −3 .

7+x

2

1

1

,

= 5 .

8. f (x) =10

x = 2, x

5−x

2

1

1

9. f (x) =11

,

x =1, x

= 2 .

2−x

2

1

10. f (x) =12

1

,

= 2 .

3+x

x

= −3,

x

2

1

62

5.Дифференциальное исчисление функции одной переменной

5.1 Краткие сведения из теории Определения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная функции y=f(x) обозначается через y/, или f /(x), или

dydx .

dy	= y/ = f / (x) = lim	y	= lim	f (x + x0 ) − f (x)
dx		x		x
	x→0		x→0
Операция нахождения производной			f /(x)	от функции f(x) называется
дифференцированием этой функции.
Геометрически значение производной функции y=f(x) в точке						x=x0
равно тангенсу угла,	образованного положительным направлением оси Ох
и касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой						x0, то

есть f /( x0)=tgα

(рис 5.1).

Число tgα

называют угловым

нормаль

коэффициентом

касательной

и

y

обозначают k, то есть

k =f /( x0)=tgα.

М0

y=f(x)

В

прямоугольной

системе

касательная

координат уравнения касательной и

α

нормали к некоторой кривой

y =f (x)

х0

х

в точке М0(x0; y0)

имеют вид

Рис 5.1

y − y

= f

/ (x ) (x − x )

– уравнение касательной,

0

0

0

y − y

= −

1

(x − x ) – уравнение нормали.

f / (x

)

0

0

0

Производной второго порядка (второй производной)функции

y=f(x)

называется

производная от

первой

производной.

Вторая

производная

//

, или f

//

(x), или

d 2 y

обозначается: y

.

dx2

Производная третьего порядка (второй производной)

функции

y=f(x) есть производная от производной второго порядка: y/// = (y//)/.

Производной n-го

порядка

функции y=f(x) называется производная от

(n–1)-го порядка: y(n)= (y(n–1))/. Производная n-го порядка обозначается: y(n),

или f(n)(x), или d n y . dxn

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

63

Если функция y=f(t) описывает какой–либо физический процесс во времени, то производная y/ есть скорость протекания этого процесса.

Если функция y=f(x) выражает связь между физическими величинами x и y, то производная yx/ выражает интенсивность изменения y по отношению к x (количество величины y приходящееся на единицу величины x). Вычисленная в точке производная показывает мгновенные или точечные значения этих интенсивностей.

Например: мгновенная скорость V = dsdt , мгновенный ток i = dqdt ,

плотность вещества в точке d = dVdm , мгновенная мощность p = dAdt и т.д.

Основные правила дифференцирования

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные и c=const, то имеют место следующие правила дифференцирования:

1.	(c)/ =0				5.	(u v)/ = u / v + u v/
2.	x/ =1				6.	u /	=	u / v − u v/
3.	(c u )	/	= c u	/				v2
						v
4.

(u ± v)/ = u / ± v/

7. если дана сложная функция y=f(u), где u=u(x), то есть y=f[u(x)],

где функции

f(u)

и

u(x)

имеют производные,

то

yx/ = fu/

ux/ (правило

дифференцирования сложной функции).

Таблица производных элементарных функций

1.

(un )/

= n un−1 u /

11.

(tg u )/

=

1

u /

cos2 u

1

/

1

2.

= −

u/

12.

(ctg u )

/

= −

1

u /

u2

u

sin2 u

3.(

u )/

=

1

u/

13.

(arcsin u)/

=

1

u/

1 −u2

2

u

4.

(n u )/ =

1

14.

(arccos u)/

= −

1

u/

n n u n−1

1 −u2

(au )/

1

5.

= au ln a u/

15.

(arctg u )/ =

u /

2

6.

(eu )/ = eu u /

16.

(arcctg u )

/

1 + u 1

u

/

= −

1

+ u2

7.

(loga u)

/

=

u

/

(sh u)/

1

u ln a

17.

= ch u u /

64

8.

(ln u)

/

1

u

/

18.

(ch u )/ = sh u u /

= u

19.

(th u )/ =

1

u /

9.

(sin u )/ = cos u u/

ch 2 u

10.

20.

(cth u )/ = −

1

u/

(cos u)/

= −sin u u/

sh2 u

При дифференцировании функций необходимо выполнять правила дифференцирования и применять соответствующие формулы таблицы производных элементарных функций.

/

1 + x3

Пример 1. Найти y

функции

y = 1 − 2x .

Решение. Дифференцируем как частное из правил дифференцирования

и применяем соответствующие формулы.

y

/ =

(1 + x3 )/

(1 − 2x)−(1 + x3 )

(1 − 2x)/

3x2 (1 − 2x)− (−2) (1 + x3 )

(1 − 2x)2

=

=

(1

− 2x)2

3x2 (1 − 2x)+ 2 (1

+ x3 )

3x

2 −6 x3 + 2

+ 2x3

−4x3

+ 3x2 + 2

=

=

=

− 2x)2

(1 − 2x)2

(1 − 2x)2

(1

Логарифмический метод Иногда, прежде чем находить производную от заданного выражения,

лучше выражение преобразовать так, чтобы процесс дифференцирования упрощался. Например, прежде чем дифференцировать функцию нужно взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции.

Такой прием называется способом логарифмического дифференцирования.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет находить производную от сложной показательной функции вида y = uv , где u,v-

функции аргумента x. Логарифмируя обе части исходного равенства, получаем

ln y = v ln u .

	Дифференцируя последнее равенство, имеем		y/	= v/ ln u + v u/ .
			y
				u
	Умножая обе части равенства на y и заменяя y через uv, окончательно
	получаем	y/ = uv ln u v/ + vuv−1u / .

65

/	y = (ctg x)	x3	.
Пример 2. Найти y , если

Решение. Логарифмируя, получим ln y = x3 ln (ctg x).

Продифференцируем обе части последнего равенства по x. Так как y является функцией от x, то ln y есть сложная функция x и

(ln y)/ =

1

y/ . Следовательно,

y

(ln y)/ = (x3 lnctg x)/ = (x3 )/

lnctg x + x3 (lnctg x)/

или

y/

= 3x2 lnctg x − x3

1

.

ctg x sin2 x

y

Умножив последнее равенство на

y, получим

1

x3

y/ = y

3x

2 lnctg x − x3

= (ctg y)

3x2 lnctg x

ctg x sin 2 x

− x3	1
			.
		ctg x sin 2 x

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если y как функция от x задается посредством соотношения F(x,y)=0, где F(x,y) – выражение, содержащее x и y, то y называется неявной функцией от x. В некоторых случаях уравнение F(x,y)=0 удается разрешить относительно y, и тогда можно перейти от неявного способа задания функции к явному y=f(x), в других случаях такой переход

невозможно

осуществить.

Независимо

от

возможности

перехода

производная от y по x для

функции,

заданной неявно,

может

быть

определена следующим образом:

F(x,y)=0,

Находим производную от левой части равенства

учитывая

при этом y

как функцию от x,

и приравниваем ее к нулю.

Разрешаем полученное

уравнение относительно

y/;

в

результате

будем иметь выражение производной от неявной функции в виде

y/= ϕ(x,y).

Пример 3.

Найти y/ , если

arctg y – y + x = 0.

Решение.

Дифференцируем

данное выражение, рассматривая y

как

функцию от

x :

(arctg y)/

− (y)/

+ (x)/ =0

y/

− y/ + 1 =0 ,

или

y/

− y/ (1 + y2 )+ 1 + y2 =0 ,

2

1 + y

y/ − y/ − y/ y2 + 1 + y2 =0

,

y/ y2 =1 + y2

,

откуда

y/ = 1 + y 2 =1 +

1

.

y2

y2

66

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция y аргумента x задается при помощи параметрических

соотношений

x= x(t), y= y(t)

причем, x(t)

и

y(t)– дифференцируемые функции

t

и

x(t)≠0, то

производные y/ , y

//

y /// ,…, вычисляются по формулам

y /

y /

//

(yx/

)/

,

=

t

,

y

xx

=

t

,

xx

x/

x/

x

xxx

x

(y//

)/

t

t

y/// =

xx

t .

xxx

x/

t

Производную второго порядка можно вычислить и по формуле :

yxx//

y//

x/

− x// y/

=

tt

t

tt

t

(xt/ )3

Пример 4.

Найти yxx// , если x=lnt, y=sin2t

Решение. Дифференцируем исходные соотношения:

x/ =

1

, y

/ = 2 cos 2t

t

t

t

yt/

Отсюда

yx/ =

=

2cos 2t

= 2t cos 2t

xt/

1

t

Найдем производную второго порядка

yxx//

=

(yx/

)t/

=

(2t cos 2t)t/

=

(2t)t/ cos 2t + 2t(cos 2t)t/

=

2cos 2t + 2t(− 2sin 2t)

=

1

xt/

1

1

t

t

t

= 2cos 2t − 4t sin 2t

= t(2cos 2t − 4t sin 2t).

1

t

5.2 Решение типовых задач и примеров

Пример 1. Найти y/ функции y = 3 x4 + x33 x + (2x)2

67

Решение.

3

/

3

1

/

1 4

3

1

−1

2 3

2 3

/

4

2

4

3

x

+

+ (2 x )

=

x

+

+

(2 x )

=

x +

+ (2 x )

3

3

3

y =

x

x

x

3

x

x

x

−

4

/

−

2

−

4

/

x 4 + 3 x

+ (2 x )2

1

x

3

+ (2 x )2

3

(x 4 )/ +

+ ((2 x )2 )/

3

=

4 +

3 x

3

=

3

x3

x

1

3

−

2

4

−

4

−1

2 /

4

2

3

3

=

3

x

+

+

(2 x )

4 x

+

3

−

x

3

+ 4(x

)

=

x3

x

3

1

3

−

2

4

−

7

4

2

3

3

=

x

+

+

(2 x )

4 x

+

3

−

x

3 + 4 2 x

=

3

3

x

x

3

2

1

3

−

4

4

2

3

3

=

x

+

+

(2 x )

4 x

−

+

8 x

=

3

x3

x

x 2 3

x

1

3

4

=

4 x

−

+ 8 x =

x

2 3 x

3

3 x 4

+

3

+ (2 x )2 2

x3 x

1

4 x

5

3

x −

4 +

8 x

3

3

x

=

=

x 5

3 x + 3 + 4 x 3

3 x

2

x

2

3

x

3

3

3

x

x

=

4 x 5 3 x − 4 + 8 x 3 3 x

=

4 x 5 3 x − 4 + 8 x 3 3 x

=

3 x

2

3

x

3

(x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3

x )2

3 x 2 3 x

3

(x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3 x )2

x 2 3 x 2

3 x 2 3 x 2

=

4 x 5 3 x − 4 + 8 x 3 3 x

=

4 x 5 3 x − 4

+ 8 x 3 3 x

=

3 (x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3 x )2

13

7

3 (x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3 x )2

3 x

3 x

9

3

8

x

9

=

4 x 5 3 x − 4 + 8 x 3 3 x

=

4 x 5 3 x − 4 + 8 x 3 3 x

13

3

(x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3 x )2

3 x 9 x 4 3 (x 5 3 x + 3 + 4 x 3 3 x )2

3 x

9

Замечание. Пример считается вычисленным (решенным) до конца,

если:

дробь содержит только два этажа, отсутствуют отрицательные степени, отсутствуют дробные степени.

Пример 2. y = 2ctg7 x ln3 (5x2 + 2 x ).

68

Решение.

x )+ 2ctg 7 x

y /

= (2ctg 7 x ln 3

(5x 2 + 2 x ))/ = (2ctg 7 x )/ ln 3 (5x 2

+ 2

(ln 3 (5x 2

+ 2

x ))/

= 2ctg 7 x ln 2(ctg 7 x)/ ln 3 (5x 2

+ 2

x )+ 2ctg 7 x 3 ln 3−1 (5x 2 + 2 x )

2

/

ctg 7 x

1

/

3

2

ctg 7 x

(ln (5x

+ 2 x ))

= 2

ln 2

−

(7 x)

ln

(5x

+ 2 x )+ 2

sin 2

7 x

2

2

1

2

/

ctg 7 x

1

3 ln

(5x

+ 2 x )

(5x

+ 2 x ) =

2

ln 2

−

7

5x 2 + 2

x

sin 2 7 x

)=

ln 3 (5x 2

+ 2

x )+ 2ctg 7 x 3 ln 2 (5x 2

+ 2

x )

1

((5x 2 )/

+ (2 x )/

5x 2 + 2

x

= −

7 ln 2

2ctg 7 x

ln 3 (5x 2

+ 2

x )+ 2ctg 7 x 3 ln 2 (5x 2

+ 2

x )

sin 2 7 x

1

2 x + 2

1

7 ln 2

ctg 7 x

3

(5x

2

+ 2 x )+

5

= −

2

ln

5x

2 + 2

x

sin 2

2

x

7 x

ctg 7 x

2

(5x

2

+ 2 x )

1

1

7 ln 2

ctg 7 x

3

(5x

2

+ 2 x )+

+ 2

3 ln

10 x +

= −

2

ln

5x 2 + 2

x

x

sin 2 7 x

+ 2ctg 7 x 3 ln 2 (5x 2

+ 2

x )

10 x

x +1

= −

7 ln 2

2ctg 7 x ln 3 (5x 2 + 2

x )+

(5x 2 + 2

x ) x

sin 2 7 x

+ 2ctg 7 x 3 ln 2 (5x 2

+ 2

x )

10 x

x +1

5x 2

x + 2 x

1

(tg6 x

3 ).

Пример 3.

Найти

y/

функции

y =

arcsin2

2

Решение.

3 ) /

y /

= 1 arcsin 2 (tg 6 x

=

1 (arcsin 2 (tg 6 x 3 ))/

=

2

2

=

1

2 arcsin 2−1 (tg 6 x 3 ) (arcsin (tg 6 x 3 ))/ = arcsin (tg 6 x 3 )

1

2

1 − (tg 6 x 3 )2

(tg 6 x 3 )/

= arcsin (tg 6 x 3 )

1

1

(6 x 3 )/ =

1 − (tg 6 x 3 )2

cos 2

(6 x 3 )

= arcsin (tg 6 x 3 )

1

6

(x 3 )/

=

1 − (tg 6 x 3 )2

cos 2

(6 x 3 )

= arcsin (tg 6 x 3 )

1

6 3 x 3−1

=

1 − (tg 6 x 3 )2

cos 2

(6 x 3 )

= arcsin (tg 6 x 3 )

1

18 x 2

1 − (tg 6 x 3 )2

cos 2

(6 x 3 )

69

Пример 4.

Найти

y/

функции y =(sin x)tg x .

Решение.

Логарифмируя, получим ln y = tg x ln(sin x).

Дифференцируем

обе

части равенства по x.

Так

как

y

является

функцией от x, то lny есть сложная функция от x и (ln y)

/

y/

=

.

y

Тогда получим

(ln y)/

=(tg x ln(sin x))/

=(tg x)/ ln(sin x)+ tg x (ln(sin x))/

y/

1

1

/

1

1

=

ln(sin x)+ tg x

(sin x)

=

ln(sin x)+ tg x

cos x =

y

cos2 x

sin x

cos2 x

sin x

=

1

ln(sin x)+ tg x

tg x

=

ln(sin x)

+ tg2 x

cos2

x

cos2 x

Умножив последнее равенство на y, получим

ln(sin x)

=(sin x)tg x

ln(sin x)

y/ = y

+ tg2 x

+ tg2

x

cos2 x

cos2 x

Пример 5.

y/

функции arctg

xy =ln

y3

Найти

.

x

Решение.

Дифференцируем данное выражение, рассматривая y как

функцию от x.

3

arctg

xy −ln

y

=0

x

3 /

/

y

3

/

y

xy −ln

=0

/

(arctg

xy)

=0

arctg

x

− ln

x

1

/

1

y3 /

1

1

/

x

y3 /

2 (

xy ) −

3

=0

(xy) −

3

=0

1 + ( xy )

y

x

1 + xy

2 xy

y

x

x

(y3 )/ x − y3 x/

1

(x/ y + xy/ )−

x

=0

2 xy(1 + xy)

y3

x2

1

(y + xy/ )−

x

3y2 y/ x − y3

=0

2 xy(1 + xy)

y3

x2

y + xy/

−

1

y2 (3y/ x − y)

=0

y + xy/

−

3y/ x − y

=0

2 xy(1 + xy)

y3

x

2 xy(1 + xy)

xy

70

y

xy/

3y/ x

y

=0

+

−

+

2 xy(1 + xy)

2 xy(1 + xy)

xy

xy

xy/

3y/ x

y

y

−

xy

= −

−

2 xy(1 + xy)

2 xy(1 + xy)

xy

/

x

3x

y

y

y

−

= −

−

2 xy(1 + xy)

2 xy(1 + xy)

xy

xy

x xy −6x(1 + xy)

− y xy − 2y(1 + xy)

y

/

=

2xy(1 + xy)

2xy(1 + xy)

/

x( xy −6(1 + xy))

y(− xy − 2(1 + xy))

y

=

2xy(1 + xy)

2xy(1 + xy)

xy −6(1 + xy)

− xy − 2(1 + xy)

y

/

=

2y(1 + xy)

2x(1 + xy)

−

xy − 2(1 + xy)

− xy − 2(1 + xy)

2y(1 + xy)

y

/

=

2x(1 + xy)

=

=

xy −6(1 + xy)

2x(1 + xy)

xy −6(1 + xy)

2y(1 + xy)

y(− xy − 2(1 + xy)) x( xy −6(1 + xy))

y/ =

− y

xy − 2y − 2xy2

x

xy

−6x −6x2 y

Пример 6.

Найти

y//

функции y =5tg 2x .

Решение.

y/ =(5tg 2x )/

=5tg 2x ln5(tg 2x)/

=5tg 2x ln5

1

(2x)/ =

cos2 2x

=5

tg 2 x

ln5

1

2

=5

tg 2 x

2 ln5

cos2 2x

cos2 2x

71

//

tg2x

2 ln5 /

5tg2x

/

(5tg2x )/ cos2 2x −5tg2x (cos2 2x)/

y

= 5

=2ln5

=

2

2

2

2

=2ln5

cos 2x

cos 2x

(cos 2x)

tg2x

2 ln5

2

tg2x

2−1

/

5

cos 2x −5

2cos

2x(cos2x)

2

cos 2x

=2ln5

cos4 2x

=

5

2 ln5

−5

2cos2x (−sin2x)(2x)

tg2x

tg2x

/

=2ln5

=

4

cos 2x

5

tg2x

2 ln5

+5

tg2x

tg2x

2 ln5+

tg2x

2cos2x sin2x 2

5

5

4sin4x

=2ln5

=2ln5

4

4

cos 2x

cos 2x

Пример 7.

Найти yxx// функции

x = t 3 +t

Решение.

y = t 4

(yx/ )/

yx/ =

y/

, yxx// =

t

t

xt/

xt/

Найдем составляющие

yt/ =

(t 4 )/ = 4t 3

xt/ = (t 3 + t)/ = 3t 2 +1

Тогда

yx/ =

y /

4t 3

t

=

xt/

3t

2 +1

4t 3 /

(4t 3 )/ (3t 2 +1)−4t 3 (3t 2

+1)/

(4t

+1)−4t

(3t

/

/

(3t

2

/

/

3t

2

2

3

2

3

2

+

//

(yx )t

+1

+1)

) (3t

1)

yxx

=

=

=

=

=

xt/

3t 2 +1

3t 2

+1

(3t 2 +1)3

=

4 3t 2 (3t 2 +1)−4t 3 3 2t

=

12t 2 (3t 2 +1)−24t 4

=

36t 4

+12t 2 −24t 4

=

12t 4 +12t 2

(3t 2 +1)3

(3t 2 +1)3

(3t 2 +1)3

(3t 2 +1)3

5.3.Задания на контрольную работу

Задание 1. Найти производные данных функций

72

1

а)

3

12 3 x

1

y =

+

−55

x

4

5 4

x3

4x

б)

y = (sin 3 2x + 5)2

в)

y = ln(3−x + tg 1 − x2 )

г)

y = (2 + ln x)cos x

д) tg(xy)= 2x3 + 5xy2

3

а)

3

5

x

3

−1

y =

1 x8 −

5

4

б)

y =

2

x sin2 3 x

+

x2

x5

4

в) y = ln 4 1 − x4

1 + x4 г) y = (2 − x)ln x

д)

xy − sin x = cos(x + y)

5	а)	y =			3	+ 6 x
				3 + 2x − 5x2
	б)	y = e		2 x3		3x
						3 x4
	в)	y =arctg(sin2 4x)
	г)	y = (1 + sin 2x)ln x
	д)	x3 − y3 + 3xy =0

7	а)
y = 3	1		+ 66 x4 +1
	1 + x2
	б)	y =		arctg4 5x3
				2x6

2

а)

4

1

x

3

+ 4

4

x

5

−

y =

2

3

cos3x

б)

y =

+

3

3

2 x

в)

sin 2 3x

e3 x+2 )

y = arcsin(3 x2

г) y = (tg x)5 x+1

д)

x − y2 = sin(xy)

4

а)

1

x6 −8x 4 x +

y = 4

5

6

б)

y =

x

3ctg2 3x

в)

y = ln cos(3x2 + 6 x)

г) y = (1 + ln x) x

д) cos(xy)= y2 − sin x

6	а)			6		4		2x	3
		y =	6		x		+		−3
								x

б) y = 3x tg 2 x3

в)

y = arcsin ln(1 + 3x5 )

г)

y = (arctg6 x + 1) x

д) xy2 − x2 y = e

y

x

8

а)

1

4

4x

5

y =

x

−

+ 2

3

4

x

б) y = x2 tg 3 (7x −3x4 )

в)

1

2

y = 3cos

3

x

−

1

2

73

в) y = 3cos2 4 x 3

x5

г) y = (tg 2x)1 / x

д) x3 − y2 + exy =0

9

а)

y = 3 3 x

3 +

5

−

10

x

x

x3

б)

y = ln 3

7x −3

x + 2

в)

y = arctg(log32 5x)

г)

y = (

x )cos x

x

д)

arcsin(xy)= ln

y

		г) y = (2 + ln x)x2
		д)	x − y = e y arcsin x
10		а)						2
		3	2		3x
y =	3	x −1 − 3			x	2 +		5

б)

y = ecos 4 x

в) г)

д)

log 42 (3x2 − 4)

y = 5 5 arcsin3 (tg 2x)

y = (2 + x)ln x

tg x = x2 + y3y

	Задание 2.Найти	dy	и	d 2 y	для заданных функций а) y = f(x); б) x = x(t), y
		dx		dx2

= y(t).

1

3

5

7

9

а)	y = (ecos x −1)2							2
б)	x = cos 2t
	y = t +sin 2t
а)	y = artg e4 x						+ 6t)	4
б)						2
	x = cos(3t
							2
	y = (6t + 6)
а)	y = e2 x				cos x			6
б) x = 2 cos3 t
	y = 4 sin3 t
а) y = x2 (1 + ln x)								8
б) x = sin 2t
	y = t cos 2t
а) y = (x2					+3x) cos 4x			10
				2t
	x = 5
б)		1
	y =
			t

а)

б)

а)

б)

а)

б)

а)

б)

а)

б)

y = x 1 − x4

x = t 3 −t 5

y = t 4

y = 3cos 5 x

= t

x cos 2

y = t −sin t y = 51/ x

x = sin t 2

y = cos 2t

y = x ctg 5x

x = 1ty = et

y = 2cos2 3x

x = arctg 2t

y = t 2

74